北师大版数学必修三课件：1.7 相关性.ppt

1、7 相关性 如图：两个图像中的两个变量具有什么样的关系？如图：两个图像中的两个变量具有什么样的关系？ 1.1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种函数是研究两个变量之间的依存关系的一种 数量形式数量形式. .对于两个变量，如果当一个变量的取对于两个变量，如果当一个变量的取 值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则 这两个变量之间的关系就是一个函数关系这两个变量之间的关系就是一个函数关系. . 如：如：（1 1）正方形的边长正方形的边长a a和面积和面积S S，有着，有着S=aS=a2 2的的 关系；关系； （2 2）真空中做自由落体运动的物体，其下）真

2、空中做自由落体运动的物体，其下 落的距离落的距离h h和下落的时间和下落的时间t t有着有着h= gth= gt2 2的关系的关系. . 1 2 2.2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的 数学成绩好，那么你学习物理就不会有什么大问数学成绩好，那么你学习物理就不会有什么大问 题题.”.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学 成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物 理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的 关系是函数关系吗

3、？关系是函数关系吗？ 3.3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地 断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、 教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这 两个变量是有一定关系的，它们之间是一种两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定不确定 性性的关系的关系. .类似于这样的两个变量之间的关系，有必类似于这样的两个变量之间的关系，有必 要从理论上进行一些探讨，如果能通过数学成绩对要从理论上进行一些探讨，如果能通过数学成绩对 物理成绩进行合理估计，将

4、有着非常重要的现实意物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意 义义. . 1 1通过收集现实问题中两个变量的数据作出散通过收集现实问题中两个变量的数据作出散 点图，利用散点图直观认识变量间的相关关点图，利用散点图直观认识变量间的相关关 系系( (重点重点) ) 2 2经历用不同的估算方法来描述两个变量线性经历用不同的估算方法来描述两个变量线性 相关的过程相关的过程( (难点难点) ) 探究点探究点1 1 变量之间的相关关系变量之间的相关关系 思考思考1 1：考察下列问题中两个变量之间的关系：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1 1）商品销售收入与广告支出经费；）商品销售收入与广告支出经

5、费； （2 2）粮食产量与施肥量；）粮食产量与施肥量； （3 3）人体内的脂肪含量与年龄）人体内的脂肪含量与年龄. . 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 提示：提示：不是函数关系不是函数关系 思考思考2 2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高， 学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教 学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描 述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？述生活中两个变量之间的这种关系

6、的成语吗？ 生活中还有很多类似的描述这种相关关系的成语，生活中还有很多类似的描述这种相关关系的成语， 如：如：“虎父无犬子虎父无犬子”“”“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”等等. . 提示：提示：不是函数关系不是函数关系. . 思考思考3 3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关上述两个变量之间的关系是一种非确定性关 系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 提示：提示：自变量取值一定时，因变量的取值带有一自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系. . 例如，由人的身高并不

7、能确定体重，但一般例如，由人的身高并不能确定体重，但一般 说来说来“身高越高，体重越重身高越高，体重越重”，我们说身高与体，我们说身高与体 重这两个变量具有相关关系重这两个变量具有相关关系. . 常见的变量与变量之间的关系有两类：常见的变量与变量之间的关系有两类： 一类是确定性的函数关系，像正方形的边长一类是确定性的函数关系，像正方形的边长 a a和面积和面积S S的关系；的关系； 另一类是相关关系，但不具备函数关系所要另一类是相关关系，但不具备函数关系所要 求的确定性，它们的关系是带有随机性的求的确定性，它们的关系是带有随机性的. . 探究点探究点2 2 散点图散点图 【问题问题】在一次对人

8、体脂肪含量和年龄关系的研在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研 究中，研究人员获得了一组样本数据：究中，研究人员获得了一组样本数据： 年龄年龄 2323 2727 3939 4141 4545 4949 5050 脂肪脂肪 9.59.5 17.817.8 21.221.2 25.925.9 27.527.5 26.326.3 28.228.2 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪 含量的样本平均数含量的样本平均数. . 年龄年龄 5353 5454 5656 5757 5858 6060 6161 脂肪脂肪 29.629.6 30.230.2 31.

9、431.4 30.830.8 33.533.5 35.235.2 34.634.6 思考思考1 1：对某一个人来说，他体内的脂肪含量不对某一个人来说，他体内的脂肪含量不 一定随年龄的增长而增加或减少，但是如果把很一定随年龄的增长而增加或减少，但是如果把很 多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性. . 观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加， 人体脂肪含量怎样变化？人体脂肪含量怎样变化？ 提示：提示：根据上表中的数据，大体上看，随着年龄根据上表中的数据，大体上看，随着年龄 的增加，人体脂肪含量呈增加趋势的增

10、加，人体脂肪含量呈增加趋势. . 思考思考2 2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确 的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对 两个变量之间的关系有一个直观的认识两个变量之间的关系有一个直观的认识. .以以x x轴表示年轴表示年 龄，龄，y y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样 本数据对应的图形吗？本数据对应的图形吗？ 思考思考3 3：上图叫作散点图，你能描述一下散点图上图叫作散点图，你能描述一下散点图 的含义吗？的含义吗？ 提示：提示：在考虑两个变量的关

11、系时，为了对变量之在考虑两个变量的关系时，为了对变量之 间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所 对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一 个图，通常称这种图为变量之间的散点图个图，通常称这种图为变量之间的散点图. . 思考思考1 1：观察探究点观察探究点2 2中散点图的大致趋势，人的中散点图的大致趋势，人的 年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？年龄与人体脂肪含量具有什么相关关系？ 提示：提示：根据人的年龄与人体脂肪含量的散点图，根据人的年龄与人体脂肪含量的散点图， 从整体上看，它们是线性相关的从整体上看，

12、它们是线性相关的. . 探究点探究点3 3 两个变量之间的关系两个变量之间的关系 由上面的散点图可以看出，这些点散布在从由上面的散点图可以看出，这些点散布在从 左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相 关关系，我们将它称为关关系，我们将它称为正相关正相关. . 什么是负什么是负 相关？相关？ 思考思考2 2：一般地，如果两个变量成正相关，那么从一般地，如果两个变量成正相关，那么从 整体上看，这两个变量的变化趋势如何？整体上看，这两个变量的变化趋势如何？ 提示：提示：从整体上看，自变量增加时，因变量呈增从整体上看，自变量增加时，因变量呈增 加趋势加趋势

13、. . 提示：提示：一个变量随另一个变量的变大而变小，一个变量随另一个变量的变大而变小， 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. . 这就像函数中的减函数这就像函数中的减函数. .即一个变量从小到大，即一个变量从小到大， 另一个变量从大到小另一个变量从大到小. . 思考思考3 3：如果两个变量成负相关，从整体上看这如果两个变量成负相关，从整体上看这 两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？ 思考思考4 4：你能列举一些生活中的变量成正相关或负你能列举一些生活中的变量成正相关或负 相关的实例吗相关的实例吗

14、? ? 提示：提示：在一定范围内，粮食产量与施肥量之间呈正在一定范围内，粮食产量与施肥量之间呈正 相关；汽车的重量和汽车每消耗相关；汽车的重量和汽车每消耗1 L1 L汽油所行驶的汽油所行驶的 平均路程呈负相关平均路程呈负相关. . 提升总结：相关关系与函数关系的异同点：提升总结：相关关系与函数关系的异同点： （1 1）相同点：）相同点：两者均是指两个变量的关系两者均是指两个变量的关系; ; （2 2）不同点：）不同点：相关关系是一种非确定的关系，如一相关关系是一种非确定的关系，如一 块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，事实上，函块农田的水稻产量与施肥量之间的关系，事实上，函 数关系是两个非随机

15、变量的关系，而相关关系是非随数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随 机变量与随机变量的关系机变量与随机变量的关系. .函数关系是一种因果关系，函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 思考思考5 5：如何分析变量之间是否具有相关的关系？如何分析变量之间是否具有相关的关系？ 提示：提示：分析变量之间是否具有相关的关系，我们可分析变量之间是否具有相关的关系，我们可 以借助日常生活和工作经验对一些常规问题进行定以借助日常生活和工作经验对一些常规问题进行定 性分析，如儿童的身高随着年龄的增长而增长，但性分析，如儿童的身

16、高随着年龄的增长而增长，但 它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们它们之间又不存在一种确定的函数关系，因此它们 之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系之间是一种非确定性的随机关系，即相关关系. .但仅但仅 凭这种定性分析不够，一来定性分析有时会给我们凭这种定性分析不够，一来定性分析有时会给我们 以误导以误导, , 二来定性分析无法确定变量之间相互影响二来定性分析无法确定变量之间相互影响 的程度有多大的程度有多大. .因此，我们还需要进行定量分析因此，我们还需要进行定量分析. . 如何进行定量分析呢？由于变量间的相关关如何进行定量分析呢？由于变量间的相关关 系是一种随机关系，因此，我们只

17、能借助统计这系是一种随机关系，因此，我们只能借助统计这 一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据，一工具来解决问题，也就是通过收集大量数据， 在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规 律，并对它们之间的关系作出推断律，并对它们之间的关系作出推断. . 曲线拟合曲线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某 种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋 势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的 过程称为过程称为曲线拟合

18、曲线拟合. . 家庭年收入家庭年收入/ /万元万元 从图中可以看出家庭年收入和年饮食支出之间具从图中可以看出家庭年收入和年饮食支出之间具 有相关关系，而且是线性相关的有相关关系，而且是线性相关的. . 年饮食支出年饮食支出/ /万元万元 例例 一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大， 相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右 手一拃长之间存在着一定的关系手一拃长之间存在着一定的关系. .为了对这个问题进行调为了对这个问题进行调 查，我们收集了北京市某中学查，我们收集了北京市某中学20032003

19、年高三年级年高三年级9696名学生名学生 的身高与右手一拃长的数据如课本的身高与右手一拃长的数据如课本48484949页表所示页表所示. . （1 1）根据课本表中的数据，制成散点图）根据课本表中的数据，制成散点图. .你能从散你能从散 点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？ （2 2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似 地表示这种线性关系地表示这种线性关系. . （3 3）如果一个学生的身高是）如果一个学生的身高是188 cm188 cm，你能估计他的，你能估计他的 右手一拃大概有多长吗？右手一

20、拃大概有多长吗？ 【思考交流思考交流】 根据表中的数据，制成的散点图如下图所示：根据表中的数据，制成的散点图如下图所示： 同学甲说：我从左端点开始，取两条直线，如下图同学甲说：我从左端点开始，取两条直线，如下图. .再再 取这两条直线的“中间位置”作一条直线取这两条直线的“中间位置”作一条直线. .根据我的想根据我的想 法，一个身高法，一个身高188cm188cm的学生，他的右手一拃长大概为的学生，他的右手一拃长大概为 21cm.21cm. 女生女生 同学乙说：这样做不准确同学乙说：这样做不准确. .我先求出相同身高同学我先求出相同身高同学 右手一拃长的平均数，画出散点图，如下图，再右手一拃长

21、的平均数，画出散点图，如下图，再 画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能 一样多一样多. .根据我的想法，一个身高根据我的想法，一个身高188 cm188 cm的学生，的学生， 他的右手一拃长大概为他的右手一拃长大概为22cm.22cm. 同学丙说：我先将所有的点分成两部分，一部分同学丙说：我先将所有的点分成两部分，一部分 是身高在是身高在170 cm170 cm以下的，一部分是身高在以下的，一部分是身高在170 cm170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”以上的；然后，每部分的点求一个“平均点” 身高的平均值作为平均身高，右手一拃长

22、的身高的平均值作为平均身高，右手一拃长的 平均数作为平均右手一拃长，即（平均数作为平均右手一拃长，即（164164，1919），）， （177177，2121）；最后，将这两点连接成一条直线）；最后，将这两点连接成一条直线. . 同学丁说：我先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排同学丁说：我先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排 列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学丙的方列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学丙的方 法求一个“平均点”，“最小点”为（法求一个“平均点”，“最小点”为（161.3161.3，18.218.2），“中），“中 间点”为（间点”为（170.517

23、0.5，20.120.1），“最大点”为（），“最大点”为（179.2179.2，21.321.3）. . 求出这三个点的“平均点”为（求出这三个点的“平均点”为（170.3170.3，19.919.9）. .我再用直尺我再用直尺 连接“最大点”与“最小点”，然后平行地推，画出过“平连接“最大点”与“最小点”，然后平行地推，画出过“平 均点”（均点”（170.3170.3，19.919.9）的直线（如图）的直线（如图）. . 在这里需要强调的是在这里需要强调的是, ,身高和右手一拃长之间没身高和右手一拃长之间没 有函数关系有函数关系. .我们得到的直线方程，只是对其变我们得到的直线方程，只是对

24、其变 化趋势的一个近似描述化趋势的一个近似描述. .对一个给定身高的人，对一个给定身高的人， 人们可以用这种方法来估计这个人的右手的一人们可以用这种方法来估计这个人的右手的一 拃长，这是十分有意义的拃长，这是十分有意义的. . 1.1.下列关系中，是相关关系的为下列关系中，是相关关系的为( )( ) 学生的学习态度与学习成绩之间的关系；学生的学习态度与学习成绩之间的关系； 教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； 家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系家庭的经济条件与学生

25、的学习成绩之间的关系. . A.A. B.B. C.C. D.D. A A 2.2.某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的 统计数据如下：统计数据如下： 施化肥量施化肥量x x 1515 2020 2525 3030 3535 4040 4545 水稻产量水稻产量y y 330330 345345 365365 405405 445445 450450 455455 画出散点图画出散点图 ，判断它们是否有相关关系，并考，判断它们是否有相关关系，并考 虑水稻的产量会不会随化肥使用量的增加而一直虑水稻的产量会不会随化肥使用量的增加而一直 增加增加. . 解：解

26、：散点图如下：散点图如下： x y 具有相关关系具有相关关系. .水稻的产量不会随化肥使用量的增加水稻的产量不会随化肥使用量的增加 而一直增加而一直增加. . 3.3.下表给出了某校下表给出了某校1212名高一学生的身高名高一学生的身高( (单位：单位：cm)cm) 和体重和体重( (单位：单位：kg)kg)的统计数据：的统计数据： 身高身高 151151 152152 153153 154154 156156 157157 158158 160160 160160 162162 163163 164164 体重体重 4040 4141 4141 41.541.5 4242 42.542.5 4343 4444 4545 4545 4646 45.545.5 画出散点图，并观察它们是否有相关关系画出散点图，并观察它们是否有相关关系. . 解：解： 身高身高/cm/cm 体重体重/kg/kg 具有相关关系具有相关关系 两个变量两个变量 间的关系间的关系 相关关系相关关系 函数关系函数关系 函数关系式函数关系式 散点图散点图 在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌； 在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光.