北师大版必修2数学课件：§4.2空间图形的公理(公理4、定理).ppt

1、 4.2 空间图形的公理（公理4、定理） 空间图形多种多样，但空间图形多种多样，但 它们的基本关系很容易观察它们的基本关系很容易观察 到，一个小小的长方体，就到，一个小小的长方体，就 包含了所有的基本关系包含了所有的基本关系. . 上节课我们学习了哪几个公理，它们怎么表示，上节课我们学习了哪几个公理，它们怎么表示， 又有什么作用呢？又有什么作用呢？ 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 公理公理1 1：过不在一条直线上的三点，：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面（即可以确定一个有且只有一个平面（即可以确定一个 平面平面. . A B C 作用：一确定平面作用：一确定平面

2、; ;二二 用来证明点、线共面用来证明点、线共面 A B C ABC 唯一 ， ， 不共线 A B A B ?a 蝍 蝍 l l l m B A . . l 作用：用来判断作用：用来判断 直线是否在平面直线是否在平面 内内 公理公理2 2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线在此平面内么这条直线在此平面内. . 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 公理公理3 3：如果两个不重合的平面有一个公共：如果两个不重合的平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过该点的公共点，那么它们有

3、且只有一条过该点的公共 直线直线. . P l P P l l a b= 蝍b? I I 作用作用: :一是一是 判定两个判定两个 平面是否平面是否 相交相交; ;二是二是 判断点在判断点在 直线上直线上. . 1.1.掌握公理掌握公理4 4及“等角定理”及“等角定理”. . ( (重点重点) ) 2.2.能正确应用公理能正确应用公理4 4判断空间两直线平行判断空间两直线平行. .( (重点重点) ) 3.3.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的 角角. .( (难点）难点） 思考思考1:1:设直线设直线a/ba/b，将直线，将直线a a在空间中

4、作平行移动，在空间中作平行移动， 在平移过程中在平移过程中a a与与b b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？仍保持平行吗（前提是二者不重合）？ 探究点探究点1 1 平行公理平行公理 提示：提示：平行平行. . 思考思考2:2:如图如图, , 在长方体在长方体ABCDABCD- -ABCDABCD中中,BB,BB AAAA，DDAADDAA，那么，那么BBBB与与DDDD平行吗平行吗 ? ? C B C A D B A D 提示：提示：平行平行. . 思考思考3 3：取一块长方形纸板取一块长方形纸板ABCDABCD，E E，F F分别为分别为ABAB，CDCD 的中点，将纸板沿的中点，将纸板沿E

5、FEF折起，在空间中直线折起，在空间中直线ADAD与与BCBC的的 位置关系如何位置关系如何 ? A F E D C B A B C D E F 提示：提示：平行平行. . 若若abab，bc,bc, 提示：提示：公理公理4 4 平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行. . 则则ac.ac. 思考思考4:4:通过上述实验可以得到什么结论？通过上述实验可以得到什么结论？ 问题：问题：观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？ 探究点探究点2 2 异面直线异面直线 （2 2） 如图中直线如图中直线a a和和b b在同一个平面内，但没有

6、在同一个平面内，但没有 公共点，这样的两条直线叫作公共点，这样的两条直线叫作平行直线平行直线，记作：，记作： abab； 空间两条直线的位置关系有三种空间两条直线的位置关系有三种: : （1 1） 如图中直线如图中直线a a和和b b只有一个公共点只有一个公共点A A，这样，这样 的两条直线叫作的两条直线叫作相交直线，相交直线，记作：记作：ab=Aab=A； (3)(3)如图中直线如图中直线ADAD与直线与直线BBBB1 1；直线；直线ADAD与直线与直线BDBD1 1， 它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作 异面直线异面直线. .为了表示异

7、面直线不共面的特点，作图时为了表示异面直线不共面的特点，作图时 通常用一个或两个平面衬托，如图通常用一个或两个平面衬托，如图: : a b a b 【提升总结提升总结】 对于异面直线的几点认识对于异面直线的几点认识 ( (1 1) )若直线若直线a a, ,b b 是异面直线是异面直线, ,则在空间中找不到一个平则在空间中找不到一个平 面面, ,使其同时经过使其同时经过a a, ,b b 两条直线两条直线. . ( (2 2) )不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面 直线直线. . ( (3 3) )画异面直线时画异面直线时, ,为了充分显示出它

8、们既不平行又不为了充分显示出它们既不平行又不 相交的特点相交的特点, ,常常需要以辅助平面作为衬托常常需要以辅助平面作为衬托, ,以加强直以加强直 观性观性. . 例例1 1 在正方体在正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，直线中，直线ABAB与与C C1 1D D1 1 ， ，ADAD1 1与与 BCBC1 1 ，AA AA1 1与与CCCC1 1，ACAC与与A A1 1C C1 1是什么位置关系？是什么位置关系？ C1 A B C D A1 B1 D1 解解: : ABCABC1 1D D1 1，ADAD1 1BCBC1 1 ， AAAA1 1

9、CC CC1 1，ACAACA1 1C C1 1. . 例例2 2 在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，中，E,F,G,HE,F,G,H分别是边分别是边AB,BC, AB,BC, CD,DACD,DA的中点，求证：四边形的中点，求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . B C E D G F A H 证明证明: :如图，连接如图，连接BD.BD. 因为因为FGFG是是CBDCBD的中位线，所以的中位线，所以 . 2 1 ,/BDFGBDFG 又因为又因为EHEH是是ABDABD的中位线，所以的中位线，所以 .,/4 . 2 1 ,/ EHFGEHFG BDEHBDEH

10、 且，根据公理 所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . 思考思考1:1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的在平面上，如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 探究点探究点3 3 “等角”定理“等角”定理 提示：提示：相等或相等或 互补互补. . 思考思考2: 2: 如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCDABCD- -ABCDABCD的底面是平的底面是平 行四边形，行四边形，ADCADC与与ADC, ADCADC, ADC与与BADBAD 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何的两边分别

11、对应平行，这两组角的大小关系如何? ? B A D C A B D C B A D C A B D C 提示：提示：相等相等. . 提示：提示：互补互补. . 思考思考3:3:综上分析我们可以得到什么定理综上分析我们可以得到什么定理? ? 提示：提示：空间中空间中, ,如果两个角的两条边分别对应平行，如果两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. . 1 l 2 l P a b 探究点探究点4 4 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角 如图所示，如图所示，a a，b b是两条异面直线，是两条异面直线， 在空间中任选一点在空间中任选一点O O， 过过O O点

12、分别作点分别作a a，b b的平行线的平行线 aa和和 bb， a b a b O 则这两条线所成则这两条线所成 的锐角的锐角（或直角），（或直角）， 称为称为异面直线异面直线a a，b b所成的角所成的角. . 若两条异面直线所成角为若两条异面直线所成角为9090，则称它们互相垂直，则称它们互相垂直. . 异面直线异面直线a a与与b b垂直记作垂直记作:ab.:ab. 异面直线所成角异面直线所成角 的取值范围：的取值范围： . . 0 2 （ ， 例例3 3 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CDAB,CD在原在原 正方体中的位置关系是（正方体中的位置关

13、系是（ ）. . A B(D) C C A B D A.A.平行平行 B.B.相交且垂直相交且垂直 C.C.异面直线异面直线 D.D.相交成相交成6060 D D 解：解：选选D.D.将上面的展开图还原成正方体，将上面的展开图还原成正方体， 点点B B与点与点D D重合重合. .容易知道容易知道AB=BC=CAAB=BC=CA，从而，从而 ABCABC是等边三角形是等边三角形. .所以选所以选D.D. 例例4 4 在正方体在正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中指出下列各对线段中指出下列各对线段 所成的角：所成的角： （1 1）ABAB与与CCCC1 1

14、. . （2 2）A A1 1 B B1 1与 与ACAC. （3 3）A A1 1B B与与D D1 1B B1 1. . B1 C C1 A B D A1 D1 解解：（1 1）ABAB与与CCCC1 1所成的角所成的角 等于等于9090. . （2 2）A A1 1 B B1 1与 与ACAC所成的角所成的角 等于等于4545. . （3 3）A A1 1B B与与D D1 1B B1 1所成的角所成的角 等于等于6060. . 【提升总结提升总结】求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤: 异面直线所成角异面直线所成角 相交线所成的角相交线所成的角 解三角形求角解三角形求角( (取

15、锐角或直角取锐角或直角) ) 平移平移 构造三构造三 角形角形 即：“作即：“作证证算算答”答” 注意：对于有数据的题目，要注意勾股定理，三角函注意：对于有数据的题目，要注意勾股定理，三角函 数，边边关系，对于有关中点的题目要留意三角形中数，边边关系，对于有关中点的题目要留意三角形中 位线位线. 1.1.判断对错：判断对错： （1 1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直 线线.( ).( ) （2 2）空间两条不相交的直线一定是异面直线）空间两条不相交的直线一定是异面直线. ( ). ( ) （3 3）垂直于同一条直线的两条直线必平行）垂直于同一条直

16、线的两条直线必平行. ( ). ( ) （4 4）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它 一定与另一条直线垂直一定与另一条直线垂直. . ( ) 2.2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( ( ) ) A A异面异面 B B平行平行 C C相交相交 D D以上都有可能以上都有可能 【解析解析】选选D.D.如图，如图，abab，c c与与d d相交，相交，a a与与d d异面异面 D D 3 3直线直线a a，b b，c c两两平行，但不共面，经过其中两条两两平行，但不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为直线的平面的个数为( ( ) ) A A1 B1 B3 3 C C6 D6 D0 0 【解析解析】选选B.B.以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但 不共面，显然经过其中的两条直线的平面有不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3 3个个 B B 1. 1. 空间直线的平行关系及相关定理空间直线的平行关系及相关定理. . 2. 2. 异面直线的定义及两条异面直线所成的角异面直线的定义及两条异面直线所成的角. . 3.3. 求异面直线所成的角的一般方法求异面直线所成的角的一般方法. . “作“作证证算算答”答”