2022新浙教版九年级上册《数学》《圆的基本性质-圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结.docx

1、圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理知识点总结1. 圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O” 2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2） 弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条 弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用和两个字母表示）。（3） 等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（

2、5）点和圆的位置关系： 如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则： （1）dr 圆外 （6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。三角形的外心到各顶点距离相等。一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。对应点到旋转中

3、心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。旋转作图基本步骤： 1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）； 2、找出关键点； 3、找出关键点的对应点； 4、作出新图形； 5、写出结论。4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt，再结合勾股定理求解.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等选择题1.如图，已知O的直径AE=10 cm，B=EAC，则AC的长为（ ）【A】5c

4、m【B】52cm【C】53cm【D】6cm【答案】B.【解答】连接EC，由圆周角定理得，E=B，ACE=90,B=EAC，E=EAC，CE=CA， AC=22AE=52 cm，故选B2. 如图，BC是O的弦，OABC，AOB=70，则ADC的度数是（ ） 【A】70【B】35【C】45【D】60【答案】B【解答】A、B. C.D是O上的四点，OABC，弧AC=弧AB(垂径定理)，ADC=12AOB(等弧所对的圆周角是圆心角的一半)；又AOB=70，ADC=35.故选B.3在O中，弦AB的长为，圆心O到AB的距离为1cm，则O的半径是（ ）【A】2cm【B】3cm【C】3cm【D】2cm【答案】

5、A【解答】解：过点O作ODAB于思安D，连接OA，AB=23cm, ODAB，AD=12AB=1223=3cm,在直角AOD中，OA=AD2 +OD2=2cm，故选A填空题1. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若AOB绕点O按逆时针方向旋转到COD的位置，则旋转角为_ 【答案】90【解答】AOB绕点O按逆时针方向旋转到COD的位置，对应边OB、OD的夹角BOD即为旋转角，旋转的角度为90.故答案为：90.2. 如图，点A、B、C、D都在O上，AB是直径，弦AC=6，CD平分ACB，BD=52，则BC的长等于_ 【答案】8【解答】连接ADAB是直径，ACB=ADB=90，CD平分ACB

6、，ACD=BCD=45，BAD=ABD=45，AD=BD，BD=52AB=BD2 +AD2=10BC=AB2 -AC2=83. 如图，在O中，直径AB弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是 cm 【答案】1.5cm【解答】连结OC,如图设O的半径为R，AB弦CD，CE=DE=12CD=124=2，在RtOCE中，OC=R，OE=R1，OC2=OE2+CE2，r2=(R-1)2+22,解得R=2.5，OE=2.5-1=1.5(cm).故答案为1.5.解答题1.如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接BC，AC，ODBC于E（1）求证：ODAC（2）若BC=8，DE=3，求

7、O的直径 【答案】详见解答【解答】（1）证明：AB是O的直径，C=90， ODBC，OEB=C=90， ODAC；（2）解：令O的半径为r， 根据垂径定理可得：BE=CE=12BC=4， 由勾股定理得：r2=(r-3)2+42， 解得：， 所以O的直径为2. 如图，AC为O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，BAD=90，BD与AC的交点为E （1）求点O到BD的距离及OBD的度数；（2）若DE=2BE，求COSOED的值和CD的长 【答案】详见解答【解答】（1）解：作OFBD于点F，连接OD， ， ， 又， ， 为的直径， 在中， ， 即点到的距离等于1；（2）解：，于点， 由，设，则， ， 在中， ， ， ，