23.4：构造三角形的中位线解题-2022新华师大版九年级上册《数学》.doc

1、构造三角形的中位线解题连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 三角形中位线定理是初中几何的重要定理，巧妙运用中位线定理，可以帮助我们解决许多问题.图1一、证明线段平行例1 如图1 ，在ABC中，BD平分ABC，ADBD，垂足为D，AE=EC.求证：DEBC. 分析：要证明DEBC，由于E为AC中点，所以联想到三角形中位线，故可延长AD交BC于F，再证明点D为AF的中点即可.证明：延长AD交BC于F， BD平分ABC，ABD=CBD. ADBD，BDA=BDF=. BDABDF ，AD=FD.又AE=EC，DEFC. 即DEBC.点评：在三角

2、形中位线定理中有两条线段互相平行，所以利用这一点可以证明线段平行.图2二、证明线段相等例2 如图2，已知在ABC中，E是BC的中点，D是CA的延长线上的点，DE交AB于F.求证：DF=FE.分析：取AC中点G，则EG为ABC的中位线，可证得EGAB，而A为DG的中点，从而F为DE中点. 证明：取AC的中点G，连结EG. ，DA=AG.又E、G分别为BC、AC的中点， EGAB.即EGFA. DF=FE.点评：本题还可以过点E作EHAC交AB于H，从而可证EH为ABC的中位线，再证EHFDAF，可得DF=FE.三、证明线段倍数关系例3 如图3，在ABC中，AD是边BC边上的中线，F是AD的中点，

3、BF的延长线交AC于点E.图3求证：CE=2AE. 分析：本题取EC的中点G，连结DG，得DG是CBE的中位线，再证明点E是AG中点，进而得AE=EG=GC.证明：取EC的中点G，连结DG. AD是BC边上的中线，DG是CBE的中位线，EFDG.又F是AD的中点，E为AG的中点，即AE=EG. 又G是EC的中点，AE=EG=GC. CE=2AE.图4点评：三角形中位线定理不但反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系.四、证明线段的和或差例4 如图4，若BD、CE分别平分ABC、ACB，AMCE于M，ANBD于N.求证：.分析：要证，即证ABACBC=2MN，找到以MN为中位线的三角形的底边，故延长AM交BC于F，延长AN交BC于G，易证2MN=FG，而FG=BGFCBC.又BG=AB，FC=AC易证.证明：分别延长AM、AN交BC于F、G. BD平分ABC，ANBD，ABD=CBD，ANB=GNB=.又NB=NB，ANBGNB . AN=NG，AB=BG.同理ACMFCM ，AM=MF，AC=CF. .又FG=BGFCBC=ABACBC，.点评：证明与线段的一半有关的问题，可把它作为中位线，找对应三角形的底边，转化为求底边线段长的问题，再转化为所求证的问题.