2022新人教版八年级上册《数学》《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc

1、初二全等三角形数学模型之“一线三等角”模型在初中数学全等三角形中有许多的模型，这些模型是数学重要知识点的总结与运用，很多几何题中都有数学模型的影子，掌握好这些模型，孩子们学习几何就会比较简单，成绩不会差。今天我要与大家分享是“一线三等角”模型，那么什么是“一线三等角”？顾名思义，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。这个模型贯穿初中几何的始终，初三讲相似三角形时这也是一个非常重要的知识点。下面我们具体分析一下这个模型。例题一：如图1=2=3，且它们的顶点在直线AB上，这就是一个一线三等角模型。模型分析：因为1=2=3，所以：ACE+AEC=CFB+BFC=ACE+BCF易得：ACE=

2、CFB，AEC=FCB进而有AECBCF（这是相似三角形一个重要的判定，我们将在初三学习），如果再添加一组对应边相等，如CE=CF，或者是AE=BC，那么就有AECBCF.模型性质总结1、题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似；2、题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等。模型常见背景：“一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等。1. 正方形ABCD，有一个直角的顶点在边AB上2. 等边三角形ABC，有一个60角的顶点在边AB上3. 等腰直角三角形ABC，有一个45角的顶点在边AB上4.一线三直角ACB90，ADCE，BECEADAC，ECAC，

3、DCEC典型例题(1)如图，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E证明：DEBDCE【解析】BD直线m，CE直线mBDACEA90BAC90BADCAE90BADABD90CAEABD又ABACADBCEAAEBD，ADCEDEAEADBDCE；（2）如图，将(1)中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBACa，其中a为任意锐角或钝角请问结论DEBDCE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由【解析】（2）BDABACDBABADBADCAE180DBACAEBDAAEC，ABA

4、CADBCEAAEBD，ADCEDEAEADBDCE；(3)拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDAAECBAC，试判断DEF的形状【解析】（3）易知，ADBCEA，BDAE，DBACAE，ABF和ACF均为等边三角形ABFCAF60DBAABFCAECAFDBFFAE，BFAFDBFEAF（如下图所示）DFEF，BFDAFEDFEDFAAFEDFABFD60DEF为等边三角形方法提炼1 若题目中有一线三等角，可以直接证明相似或全等实现边与角的转化；2 若题目中没有给出一线三等角，可以根据需要来构造。综上所述，“一线三等角”是一个非常重要的模型，孩子们遇到这种情况时千万不要惊慌，就朝着三角形全等和相似考虑，肯定是没有问题的