2022新人教版九年级上册《数学》 第24章圆知识完整归纳.doc
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1、第24章 圆第一节 圆的有关性质知识点一:圆的定义 1、圆可以看作是到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合。 2、圆的特征 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径)。 (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 注意:(1)圆指的是圆周,即一条封闭的曲线,而不是圆面。 (2)“圆上的点”指圆周上的点,圆心不在圆周上。知识点二:圆的相关概念1、 弦与直径:连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。注意:直径是过圆心的弦,凡是直径都是弦,但弦不一定是直径。因此,在提到到“弦”时,如果没有特殊说明,不要忘记直径这种特殊的弦。2、 弧、半圆、优弧、劣弧:圆上任意
2、两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧(用三个点表示)叫优弧;小于半圆的弧叫做劣弧 注意:半圆是弧,但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧,也不是劣弧。3、等圆:能够重合的两个圆叫做等圆周。4、等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。注意:等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧。知识点三:圆的对称性1、 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 注意:(1)圆的对称轴有无数条 (2)因为直径是弦,弦是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴
3、是经过圆心的直线”。2、 圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心,不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合。知识点四:垂径定理及推论(重点)1、垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图,AB是的直径,CD是的弦,AB交CD于点E,若ABCD,则CE=DE,CB=DB,AC=AD注意:(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质是“过圆心”。(2)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立。 2、垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。如图:CD是非直径的弦,AB是直径,若CE=DE,则ABCD,CB=DB,
4、AC=AD。 注意:被平分的弦不是直径,因为直径是弦,两直径互相平分,结论就不成立,如图直径AB平分CD,但AB不垂直于CD。重点剖析(1) 垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法的理论依据。(2) 一条直线如果具有:经过圆心;垂直于弦;平分弦(被平分的弦不是直径); 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧, 这五条中的任意两条, 那么必然具备其其余三条。 即:是直径 中 任意2 个条件推出其他3个结论。3、垂径定理的推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在中,知识点五:弧、弦、圆心角之间的关系(重点、难点)1、圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的
5、圆心角所对的弦相等,所对的弧也相等。如图,在中,若AOB=COD,则AB=CD,AB=CD. 2、推论:(1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。定理和推论可概括为:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所以的其余各组量也相等。知识点六:圆周角定理及其推论 1、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。如图:ACB=AOB,ADB=AOB. 2、圆周角定理的推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角相等。(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角
6、;90的圆周角所对的弦是直径.如图,若AB为直径,则C=D=90;若C或D为90,则AB是直径。注意:(1)同弧指同一条弧,同一条弧所对的圆周角有无数个,它们的度数都相等。等弧是指同一个圆内能重合的弧或等圆中能重合的弧。(2)“同弧或等弧”改为“同弧弦或等弦”结论就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类,它们一般不相等。知识点七:圆内接多边形 1、圆的内接四边形性质:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在中, 四边形是内接四边形 第二节 点和圆、直线和圆的位置关系知识点一:圆的确定1、 过一点作圆:只要以点A外的任意一点为圆心,以这一点与点A的距离为半径作圆就可以 作出,这样的
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