2022新人教版九年级上册《数学》一元二次方程全章(基础)专题复习讲义无答案.doc
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1、一元二次方程及其解法(一)直接开平方法【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程要点诠释:识别一元二次方程必须抓住三个条件:(1)整式方程;(2)含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程,缺一不可.2一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程,都能化成形如,这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项要点诠释:(1)只有当时,方程才是一元二次方
2、程;(2)在求各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式,指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论(1)若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1;反之也成立,即若x=1是一元二次方程的一个根,则a+b+c=0.(2)若ab+c=0,则一元二次方程必有一根x=1;反之也成立,即若x=1是一元二次方程的一个根,则ab+c=0.(3)若一元二次方程有一个根x=0,则c=0;反之也成立,若c=0,则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1
3、直接开方法解一元二次方程:(1)直接开方法解一元二次方程: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据: 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类: 形如关于x的一元二次方程x2=a,可直接开平方求解. 若,则;表示为,有两个不等实数根; 若,则x=0;表示为x1=x2=0,有两个相等的实数根; 若,则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程,可直接开平方求解,两根是要点诠释:用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义,应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负数的形式,就可以直接开平方求这个方程
4、的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定【例1】判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ; (2) 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程 ; ; ; ; ; 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定【例2】把下列方程中的各项系数化为整数,二次项系数化为正数,并求出各项的系数:(1) 3x24x+2=0; (2)【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项: (1); (2)类型三、一元二次方程的解(根)【例3】如果关于x的一元二次方程x2+px+q0的两根分别为x12,x21,那么p,q的值分别是( ) A3,2 B3,2 C2,3 D2,3
5、类型四、用直接开平方法解一元二次方程【例4】解方程(1)3x224=0; (2)5(43n)2=320 【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根: (1) x2=361; (2) 2y272=0; (3) 5a21=0;(4) 8m2+36=0【变式2】解下列方程: (1) (x+5)2=225; (2) (3y2)2=27; (3) 3(b+4)2=96. 一元二次方程的解法(二)配方法【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程: (1)配方法解一元二次方程: 将一元二次方程配成的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元
6、二次方程的理论依据是公式:. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤: 把原方程化为的形式; 将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1; 再把方程左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; 若方程右边是非负数,则两边直接开平方,求出方程的解;若右边是一个负数,则判定此方程无实数解.要点诠释:(1)配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方; (2)配方法关键的一步是“配方”,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. (3)配方法的理论依据是完全平方公式知识点二、配方法的应用1用于比较大小:在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于
7、零(或小于零)而比较出大小.2用于求待定字母的值:配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值:“配方法”在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明:“配方法”在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用要点诠释: “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程【例1】用配方法解方程x27x1=0
8、【变式】用配方法解方程. (1) x24x2=0; (2) x2+6x+8=0. 类型二、配方法在代数中的应用【例2】若代数式,则的值()A一定是负数 B一定是正数 C一定不是负数D一定不是正数【例3】用配方法说明: 代数式 x2+8x+17的值总大于0.【变式】求代数式 x2+8x+17的最小值【例4】已知,求的值一元二次方程的解法(三)公式法,因式分解法【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程,当时,.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式: 当时,原方程有两个不等的实数根; 当时,原方程有两个相等的实数根; 当时,原方程没有实数根.3.用
9、公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤: 把一元二次方程化为一般形式; 确定a、b、c的值(要注意符号); 求出的值; 若,则利用公式求出原方程的解; 若,则原方程无实根.要点诠释: (1)虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选择.(2)一元二次方程,用配方法将其变形为:. 当时,右端是正数因此,方程有两个不相等的实根: 当时,右端是零因此,方程有两个相等的实根:. 当时,右端是负数因此,方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0;(2)将方程左边分解为两个一次式
10、的积;(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.要点诠释: (1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次 因式的积;(2) 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点:必须将方程的右边化为0;方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程 (1) x2+3x+1
11、=0; (2) ; (3) 2x2+3x1=0【变式】用公式法解方程:3x2=4x+1【例2】用公式法解下列方程: (1); (2) ; (3)2x22x5=0【变式】用公式法解下列方程: ;类型二、因式分解法解一元二次方程【例3】用因式分解法解下列方程: (1) 3(x+2)22(x+2); (2) (2x+3)2250; (3)x(2x+1)=8x3【例4】解下列一元二次方程: (1)(2x+1)2+4(2x+1)+40; (2)【变式】(1)(x+8)25(x+8)+6=0 (2)【例5】探究下表中的奥秘,并完成填空: 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解 x22x+1=0 x1=1,
12、x2=1 x22x+1=(x1)(x1) x23x+2=0 x1=1,x2=2 x23x+2=(x1)(x2) 3x2+x2=0 x1=,x2=13x2+x2=3(x)(x+1) 2x2+5x+2=0 x1=,x2=2 2x2+5x+2=2(x+)(x+2) 4x2+13x+3=0 x1=,x2= 4x2+13x+3=4(x+)(x+)将你发现的结论一般化,并写出来一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”来表示,即(1)当0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;(2)当
13、=0时,一元二次方程有2个相等的实数根;(3)当0时,一元二次方程没有实数根.要点诠释:利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:把一元二次方程化为一般形式;确定a,b,c的值;计算的值;根据的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中,(1)方程有两个不相等的实数根0;(2)方程有两个相等的实数根=0;(3)方程没有实数根0.要点诠释:(1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件;(2)若一元二次方程有两个实数根则 0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根
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