2022新苏科版九年级上册《数学》第2章 对称图形-圆有关的知识点.doc

1、圆圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”注意：圆的的位置由圆心决定，圆的大小由圆的半径决定。 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 图文：点和圆的位置关系: 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。图文：点P在圆O内 dr 点P在圆O上 d=r 点P在圆O外 dr 圆的有关概念：同心圆：圆心相同，半径不相等的圆;等 圆：能够互相重合的圆叫等圆;（或者半径相等的圆）；弦： 连接圆上任意两点的线段 ； 直

2、 径：过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。（或者过圆心的弦）；弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示；优 弧：大于半圆的弧；劣 弧：小于半圆的弧；圆心角：顶点在圆心的角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；弓 形：由弦及其所对的弧组成的图形；弦心距：从圆心到弦的距离；注意：1、同圆或等圆的半径都相等，或者半径相等的圆叫等圆或同圆；2、 直径是最长的弦，直径是弦，但是弦不一定直径；3、 弧可以分为优弧、劣弧和半圆；优弧大于劣弧；4、 半圆是弧，但是弧不一定是半圆；5、 能够互相重合的弧叫等弧，若只是说度数或长度相等都不叫等弧；6、 圆周角必须要强调角的两边与圆有交点，而

3、圆心角不需要；图文：同心圆 等圆 弦：弦CD，弦AB 圆周角：BAC 直径：AB圆O的直径 圆心角：BOC 优弧： 劣弧： 弦心距：OE圆的对称性圆的对称性：1、 一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与自身重合。圆是旋转对称图形;2、 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；3、圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦和弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距，若有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（由一推三）。注意：比较这四组量，必须放到同

4、圆或等圆中，才能是一一对应的关系； 圆心角的度数与她所对的弧的度数相等的；比如说30的圆心角对应30的弧；图文说明：在同圆或等圆中：圆心角AOB所对的弦AB,弧，弦心距OE。圆心角DOC所对的弦CD,弧，弦心距OF若其中一个量相等，则剩下的量分别对应相等；如AOB=DOC，则AB=CD，=，OE=OF;弧的度数：10的圆心角所对的弧的度数为10 n的圆心角所对的弧的度数为n垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并

5、且平分弦所对的另一条弧。注意：垂直于的弦的直径平分弦、平分于弦的直径垂直弦(后者的弦不能为直径);总结： (1) 简单的理解成，对于任意一个圆，有一条直线。若这条直线满足：过圆心垂直弦平分弦平分弦所对的劣弧平分弦 所对的优弧弧：只要满足其中任意的两个条件，那么它也会满足剩下的三个条件；(2)在垂直定理中，常涉及弦长a、弦心距d.半径R及弓形高h (弦所对的弧的中心到弦中心的距离)，这四者之间的关系，如图：，；(3)在同圆中，團的两条平行线所夹的弧相等，如图，若AB/CD.则= 图文解释： 若一条直线过圆心，垂直于弦， AB=a 若ABCD,则= 那么这条直线就平分弦，平分弦 证明：如图由垂径定

6、理得：所对的劣弧和优弧； AOE=BOE COF=DOF（即由推出） 所以，AOC-BOB，若以其中任意两个作为条件，那么 即= 就会直接推出剩下的三个； （同圆中相等的圆心角所对的弧相等）（即由二推三）确定圆的条件确定圆的条件：1、 经过一点可以作无数个圆；2、 过两个定点可以作无数个圆；3、 不在同一条直线的三个点确定一个圆。三角形的外接圆：定义：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。注意：1、三角形的外心到三角形的三个顶点相等，对于三角形来说，圆叫做三角形的外接圆，对于圆来说，三角形叫做圆的内接三角形.2、任意一个三角形都有一个外接圆，而一个

7、圆有无数个内接三角形.3、锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形的外部。三角形外接圆的作法：1、 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；2、 以该交点为圆心，以交点到三个顶的中任意一点的距离为半径作圆。注意：我们可以以此方法确定任意一个圆或一段圆弧的所在的圆心。（在圆上或圆弧上任意画两条弦，分别做这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心）图文：ABC外接圆的做法： 确定圆弧所在圆的圆心的方法： 圆O是ABC外接圆的圆心。圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半，推论1：同弧或等弧所对的

8、圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；（简称：“等弧对等角，等角对等弧”）推论2：半圆或直径所对的圆周角是90；圆周角是90所对的弧是半圆，所对的弦是直径。（简称：“直径对直角，直角对直径”见直径找直角）推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。注意：（1）圆周角就是具有公共端点的两条弦所夹的角； （2）同一条弧所对的圆周角有无数个。 （3）一条弧只对应一个圆周角，而一条弦对应两个圆周角，是互补关系。图文说明：圆的的内接四边形： 定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边

9、形，这个圆叫做四边形的外接圆。 定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。图文说明： 如图圆的内接四边形ABCD， 对角互补 A+DCB=180，或B+D=180外角等于内对角DCE=A,直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：相交：直线与圆有两个公共点时； 相切：直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做圆的切点； 相离：直线与圆没有公共点时。 总结：如果O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d，那么： 直线L与O相交 dr 两个交点； 直线L与O相切 d=r 一个交点； 直线L与O相离 dr 无交点；图文说明：dr 直线L与圆O相交 d=r 直线L与圆O相切 dr 直线

10、L与圆O相离圆的切线：定义：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可图文说明： 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上定理及推论也称二推一定理： 过圆心；过切点；垂直切线。只要满足其中的两个条件，就可以推出剩下的一个条件。圆的切线判定方法：（1）如果已知直线上有一个点在圆上，连接圆心和圆上这个点，得到半径，再证这个半径与这条直线垂直。（简称：“连半径，证垂直”） （2）如果已知直线不确定是否与圆有交点，则过圆心作这条直线的垂线，得到垂线段，再证这条垂线段与半径

11、相等。 （简称：“作垂直，证半径”）总结：有交点连半径，无交点作垂直。图文说明：连半径，证垂直: 作垂直，证半径：点A是直线L上的一点，证明L是 不确定直线L与圆O是否有交圆O的切线，连接OA，OA=r,如果 点，可过点O作直线L的垂线，判断出OAL，可证明L是圆O的切线。 与直线L交于点A，如果判断出 OA=r，可证明L是圆O的切线。切线长和切线长定理： 定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。（区别于切线，切线是直线，切线长是线段） 定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆外的这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。图文说明： 图一 图

12、二如图一：PA是圆o的切线长。如图二：PA和PB是圆O的两条切线长，且由切线长定理，可得PA=PB。 可通过PA0PBO证明三角形的内切圆：定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心注意：1、三角形的内心到三角形的三条边距离相等，对于三角形来说，圆叫做三角形的内切圆，对于圆来说，三角形叫做圆的外切三角形.2、任意一个三角形都有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形.3、锐角、钝角、直角三角形的内心都在三角形的内部； 三角形内切圆的作法：1、作三角形任意两个角的平分线，确定其交点；2、过该交点分别作三角形三边的垂线；3、以该交点为圆心，交点到任意一边的距离为半径

13、作圆。图文：圆O是ABC内切圆的圆心 关三角形内切圆半径的计算：在ABC，AC=b ,BC=a, AB=c,三角形的面积为:，内切圆半径为：（1）一般三角形的内切圆的半径：=（2）若C=90则三角形内切圆的半径：r= ；（3）SABC= 其中：。正多边形与圆正多边形： 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成n（n3）等分，依次连接各个点就能得到这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。正多边形的概念： 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心：正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径：正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形各边的距离：（

14、注：边心距也叫正多边形内切圆的半径）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角。有关正多边形的计算： 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形； 正n边形的中心角为：； 如果一个正多边形的半径为R，边长为a，则边心距r为：。图文说明： 正三角形 正四边形 正六边形 正多边形的对称性 ： 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心。弧长与扇形的面积弧长公式：n的圆心角所对的弧长：注意：式子中、，是变量，知道了任意的两个量，就可以求出第三个量。图文：扇形面积公式： （是n

15、的圆心角所对的弧长，是扇形的半径）注意：扇形的计算公式有两个，做题时要灵活运用，已知圆心角和扇形的半径用公式：，已知扇形的弧长和扇形的半径用公式：。图文：扇形的侧面积公式： （是圆锥母线长，是圆锥底面圆的半径。）注意：(1)从圆锥到扇形要注意两个对应：1、圆锥的母线即侧面展开后所得扇形的半径；2、圆锥底面圆的周长即侧面展开后所得扇形的弧长； (2)若已知圆锥的高，底面圆的半径，则母线长= (3)圆锥的全(表）面积为圆锥的侧面积+圆锥的底面积，即： =+.图文：圆的知识点补充圆和圆的位置关系： 相离：如果两个圆没有公共点，分外离和内含两种；相切：如果两个圆只有一个公共点，分为外切和内切两种；相交

16、：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。圆和圆位置关系的判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么：两圆外离dR+r 图一两圆外切d=R+r 图二两圆相交R-rdr） 图四两圆内含dr） 图五注意：若两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；若两圆相交，两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦（两圆公共弦定理）。图文说明： 两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。图文说明： 定理：OO垂直平分AB（AB为两圆的公共弦）圆的公切线：和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。外公切线；两个圆在公切线

17、的同侧；内公切线：两个圆在公切线的异侧；两圆公切线长的计算公式：图文说明：内共切线： 外共切线： 圆幂定理：（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。图文： 定理：弦切角等于弦所对的圆周角，如图DEB为弦切角，弦AE所对的圆周角为A,则有弦切角的定理得DEB=A （2）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。图文： 定理：PAPB=PCPD 由ACPDBP可证明 （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。图文： 定理：PB=

18、PCPD 由PCBPBD可证明（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。图文： 定理：PAPB=PCPD 由PACPDB可证明 米勒定理：（求最大视角问题） 已知，点A，B是MON的ON边上的两个定点，点C是OM边上的一动点，当ABC的外接圆与ON相切时，此时点C为切点，ACB最大。 证明：在OM上任意取一点C连接BE AEBACB(三角形外角性质) AEB=ACB (同弧所对的圆周角相等) ACBACB圆有关的判断圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴：半径相等的圆是等圆：能够重合的圆叫等圆：

19、过圆心的线段是直径：在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合：三点确定一个圆：平分弦的直径垂直于这条弦：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧：连接圆上任意两点的线段叫弦：弦是直径：直径是弦：和半径垂直的直线是圆的切线半圆是弧：弧是半圆：小于半圆的弧是优弧：弧分为优弧和劣弧：半径相等的两个半圆是等弧：度数相等的弧叫等弧：长度相等的弧是等弧：能够互相重合的弧是等弧：优弧大于劣弧：一条弦所对的两条弧，不是优弧就是劣弧：一个三角形只有一个外接圆：三角形的内心到三角形的三个顶点相等：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点：三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点：三角形的内心不在三角形的内部：直角三角形的外心是其斜边的中点：等弧所对的圆心角相等：相等的圆心角所对的弧相等：相等的弦所对的弧相等：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等：顶点在圆心的角是圆心角：顶点在圆周上的角是圆周角：直径所对的圆周角是直角；在圆的内部的四边形是圆的内接四边形：四个顶点在圆上的是圆是圆的内接四边形；圆内接四边形对角相等；圆的内接四边形一个外角等于与它相邻的内对角；