2022新人教版八年级上册《数学》第13章 轴对称 专题复习讲义（无答案）.doc

1、轴对称【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合成轴对称的两个图形一定全等

2、.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线要点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条

3、线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心.【典型例题】类型一、判断轴对称图形例1 在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ） A2个 B3个 C4个 D5个变式 下列图形中，对称轴最少的对

4、称图形是（ ） 例2 将一个正方形纸片依次按图的方式对折，然后沿图中的虚线裁剪，成图样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的 （ ） 变式 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ） 类型二、轴对称或轴对称图形的应用例3 如图，将矩形纸片ABCD（图）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图）；（3）将纸片收展平，那么AEF的度数为（ ） A60 B67.5 C72 D75变式

5、1 如图，ABC中，ABBC，ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的处，若点D为AB边的中点，A70，求BD的度数 变式2 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形. 若56，则AED的大小是_. 类型三、线段的垂直平分线的应用例4 如图所示，在ABC中，DE是AC的中垂线，AE3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长是 cm 作轴对称图形【要点梳理】要点一、对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴轴对称图形的对称轴作法相同要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图

6、形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、 用坐标表示轴对称1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系 已知P点坐标(a，b)，则它关于轴的对称点的坐标为(a，b)，如下图所示： 即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系 已知P点坐标为(a，b)，则它关于轴对称点的坐标为(a，b)，如上图所示 即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数3.关于与x轴（y轴）平行的

7、直线对称的两个点横（纵）坐标的关系 P点坐标(a，b)关于直线y=c的对称点的坐标为(a，2cb) P点坐标(a，b)关于直线x=c的对称点的坐标为(2ca，b)【典型例题】类型一、作轴对称图形例1 如图，ABC和关于直线MN对称，和关于直线EF对称.（1）画出直线EF； （2）直线MN与EF相交于点O，试探究与直线MN、EF所夹锐角之间的数量关系. 变式 在下图中，画出ABC关于直线MN的对称图形. 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）例2 如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N请为将军重新设计一条路线(即选择点P和

8、Q)，使得总路程MPPQQN最短 变式 如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MPPQ最短 例3 将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MPPQQN最短? a类型三、用坐标表示轴对称例4 若点M(2，a)和点N(，3)关于轴对称，则a ，b .变式1 已知点A(，)关于轴对称的点的坐标为点B(，)，则的值为（ ） A5 B1 C1 D

9、5 变式2 如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 等腰三角形性质及判定【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，A是顶角，B、C是底角 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .要点二、等腰三角形的性

10、质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化

11、为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1 如图，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度数. 变式 已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数 类型二、等腰三角形中的分类讨论例2 在等腰三角形中，有一个角为40，求其余各角例3 已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边变式 已知等腰三角形的底边BC8，且|ACBC|2，那么腰AC的长为（ ） A10cm或6cm B10cm C6cm D8cm或6cm类型三、等腰三角形性质和判定综合应用例4 已知：

12、如图，ABC中，ACB45，ADBC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，BADFCD 求证：（1）ABDCFD；（2）BEAC 变式 如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，ABBC，E是AB的中点，CEBD (1)求证：BEAD； (2)求证：AC是线段ED的垂直平分线； (3)DBC是等腰三角形吗?并说明理由 ADFECB 等边三角形【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等

13、，并且每一个内角都等于60.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形要点四、含30的直角三角形含30的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形例1 如图在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状，并说

14、明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程 变式 等边ABC，P为BC上一点，含30、60的直角三角板60角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转如图，当P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状. 例2 已知：如图，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度数. 例3 （1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求AEB的大小； （2）如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小

15、 变式 如图，已知ABC和CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求AFB 的度数. 类型二、含30的直角三角形例4 如图所示，A60，CEAB于E，BDAC于D，BD与CE相交于点H，HD1，HE2，试求BD和CE的长 变式 如图，ABC中，ACB90，ABC60，AB的中垂线交BC的延长线于F，交AC于E，已知EF2.则 AC的长为_. 轴对称【知识网络】 【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线

16、段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形

17、，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（，）关于轴对称的点的坐标

18、为（，）；点（，）关于轴对称的点的坐标为（，）；点（，）关于原点对称的点的坐标为（，）.要点三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60.（3）等

19、边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用例1 如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？变式 如图，是一只停泊在平静水面上的小船，它的“倒影”应是图中的（ ）. 例2 如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法 变式 已知M

20、ON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是G和H，GH分别交OM，ON与点A、B，已知GH15，则PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24例3 如图，ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ABD与ABC全等，求点D的坐标 变式 在直角坐标系xOy中，ABC关于直线1轴对称，已知点A坐标是（4，4），则点B的坐标是（ ） A.（4，4） B.（4，2） C.（4，2） D.（2，4）类型二、等腰三角形的性质与判定例4 已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（） A.5 B.4 C.3 D

21、.5或4变式 已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（） A.55，55 B.70，40 C.55，55或70，40 D.以上都不对 例5 如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BDBE，BADBCE，AD与CE相交于点F，试判断AFC的形状，并说明理由 变式1 如图，12，ABAD，BD90，请判断AEC的形状，并说明理由 变式2 如图，BAC90，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系 EADCMB 类型三、等边三角形的性质与判定例6 如图，设D为等边ABC内一点，且ADBD，BPAB，DBPDBC.求BPD的度数.