2022新人教版八年级上册《数学》13.1 等腰三角形常用辅助线添加方法详解.doc

1、八年级上数学:等腰三角形常用辅助线添加方法等腰三角形，是初中数学里的一个重点，和等腰三角形有关的考试题型，各种变式题也特别多。 如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法，共5道例题，有详细讲解。方法1、作“三线合一”中的“一线”如图,ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线 EFBC,且AE=AF,求证:DE=DF (原题图) (解析图)证明:如图,连接ADABC中,AB=AC,D是BC的中点,ADBCEFBC 又AE=AF,AD垂直平分EF, DE=DF三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。所谓三线，就是等腰三角

2、形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。必然三线合一。例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出ADBC.方法2、作平行线法 2.如图,在ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D(1)如图,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD (2)如图,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点PQ在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由解答:(1)、过P点作PFAC交BC于F.点P和点Q同时出发,且速度相同,BP=C

3、QPFAQ,PFB=ACB,DPF=DQCAB=AC,B=ACB,B=PFB, BP=PF,PF=CQ PDF=QDC,PF=CQ,DPF=DQCPFDQCD,PD=QD、ED的长度保持不变.理由如下由(1)知PB=PF.PEBF,BE=EF由(1)知PFDQCD,FD=DC, ED=EF+FD=BE+DC=BCED为定值这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。第小题，得出三角形全等，得出PD=QD。第小题，过点P做PFAC，因为PBF是等腰三角形，PEBF，三线合一得出BE=EF。又因为三角形全等，得出FD=CD。所以，得出ED=

4、BC的一半，即为定值。方法3、截长补短法 3.已知:如图,在ABC中,AB=AC,D是ABC外一点,且ABD=60,ACD=60。求证:BD+DC=AB (原题图) (解析图)证明:延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF,ABD=60,ABF为等边三角形, AF=AB=AC=BF,AFB=60 ACF=AFC又ACD=60,AFB=ACD=60 DFC=DCF,DC=DF BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。例题3，就是一道

5、延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。4.如图,在ABC中,BAC=120,ADBC于D,且AB+BD=DC,求C的度数. 解答在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示,ADBC,ADB=ADE=90在ABD和AED中, AD=AD,ADB=ADE,DB=DE,ABDAED(SAS),AB=AE,B=AEB 又AB+BD=CD,DE=BD, AB+DE=CD,而CD=DE+EC, AB=EC,AE=EC故设C=EAC=x AEB为AEC的外角,AEB=EAC+C=2x,B=2x在ABC中,BAC+B+C=180120+2x+x=180 解得:x=20,则C=20例题4，这就是一道在

6、某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。方法4、加倍折半法,倍长中线法 5.如图,CE、CB分别是ABC与ADC的中线且ACB=ABC.求证:CD=2CE 证明:过B作BFAC交CE的延长线于FCE是中线,BFAC, AE=BE,A=ABF,ACE=F,在ACE和BFE中,A=ABF,ACE=F,AE=BE, ACEBFE(AAS),CE=EF,AC=BFCF=2CE又ACB=ABC,CB是ADC的中线 AC=AB=BD=BF,DBC=A+ACB=ABF+ABCDBC=FBC,在DBC和FBC中,DB=FB,DBC=FBC,BC=BC,DBCFBC(SAS), DC=CF=2CE例题5，解析说过点B做BFAC，最后得出的还是线段相等。其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。因为CE是ABC的中线，倍长中线CE。延长CE至F，使EF=CE，连接BF。倍长中线，必出三角形全等，最后得出，DBCFBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。