2022新北师大版七年级上册《数学》知识点总结(03).pdf

1、1 七年级上数学知识点总结七年级上数学知识点总结 2 3 第一章第一章 丰富的图形世界丰富的图形世界 知识点一知识点一 常见的立体图形常见的立体图形 棱柱棱柱：1.在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱；相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等；棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。2.一般根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱它们的底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形。3.长方体、正方体都是四棱柱。4.棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱。直棱柱的侧面是长方形。（本册只讨论直棱柱，简称棱柱）圆柱圆柱：1.圆柱的底面是圆，侧面是一个曲的面。2.圆柱是

2、由长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周（即 360）而得到的。3.圆柱的表面展开图是两个圆和一个长方形，它的侧面展开图是一个长方形。棱锥棱锥：1.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（底面是多边形，侧面是三角形）2.一般根据底面图形的边数将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥它们的底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形。4 圆锥：圆锥：1.圆锥的底面是圆，侧面是一个曲的面。2.圆锥是由直角三角形绕着它的直角边所在的直线旋转一周而得到的。3.圆锥的表面展开图是一个圆和一个扇形，它的侧面展开图是一个扇形。球球：

3、1.由一个曲的面围成的。2.球是由半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而得到的。常见的立体图形的分类常见的立体图形的分类 1.按柱体，锥体，球体分类 2.按有无曲面分类（有曲面，无曲面）3.按有无顶点分类（有顶点，无顶点）5 几何图形的元素及其关系几何图形的元素及其关系 图形是由点、线、面构成的。几何体简称体；包围着体的是面；面和面相交形成线；线和线相交形成点。点动成线，线动成面，面动成体。点动成线，线动成面，面动成体。知识点二知识点二 正方体的平面展开图正方体的平面展开图 立体图形是由面围成的，沿着立体图形的一些棱剪开，可以把立体图形展开成一个平面图形，同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面

4、展开图是不一样的。以正方体的展开为例。正方体共有 12 条棱，要完全展开需要剪开 7 条棱。正方体的展开图共有 11 种，分别如下：第一类，第一类，1-4-1 型，共型，共 6 种。中间四个面，上下各一面种。中间四个面，上下各一面 第二类，第二类，2-3-1 型型（或（或 1-3-2 型）型），共，共 3 种。中间三种。中间三个面，一个面，一二隔河见二隔河见 第三类，第三类，2-2-2 型，只有型，只有 1 种。中间两个面，楼梯天天见种。中间两个面，楼梯天天见 第四类，第四类，3-3 型，只有一种。中间没有面，三三连一线型，只有一种。中间没有面，三三连一线 注：注：1.一线不过四，凹田应弃之。

5、一线不过四，凹田应弃之。（即正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；也不会有“田”字形、“凹”字形的形状）2.相间的两个面是对面；相间的两个面是对面；“Z”字型两端是对面。字型两端是对面。6 知识点三知识点三 截一个几何体所得截面的形状截一个几何体所得截面的形状 用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状。正方体的截面：正方体只有六个面，截面最多有六条边，即截面的边数最多的是六边形。正方体的截面形状有：三角形，四边形，长方形，正方形，五边形，六边形。圆柱的截面形状有：圆，长方形，椭圆 圆锥的截面形状有：圆，三角形，椭圆 球的截面形状

6、：圆。知识点四知识点四 从三个方向看几何体的形状从三个方向看几何体的形状 从正面看（主视图），从左面看（左视图），从上面看（俯视图）7 从三个方向看的常见几何体的形状 知识点五知识点五 典型题（易错题）典型题（易错题）例 1 把一个圆柱的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是 20cm，宽是 8cm，求圆柱的表面积和体积.解：圆柱的侧面积=208=160 cm2 当圆柱底面圆的周长为 20cm 时，半径为 10cm.此时底面圆的面积=102=100（cm2）圆柱表面积=160+1002=360（cm2）圆柱体积=1008=800（cm3）例 2 将一个长 6cm，宽 4cm 的长方形绕它的一边

7、所在的直线旋转一周得到圆柱，求圆柱的表面积和体积.解：当以长方形的长所在直线旋转一周时，圆柱底面圆的半径为 4cm 当以长方形的宽所在直线旋转一周时，圆柱底面圆的半径为 6cm 当圆柱底面圆的周长为 8cm 时，半径为4cm 此时底面圆的面积=2416()cm2 圆柱表面积=32(160)cm2 圆柱体积=1620320cm3 此时，底面圆的面积2416cm2，圆柱的侧面积24 648cm2 圆柱的表面积2 164880cm2 圆柱的体积16696cm3 此时，底面圆的面积2636cm2，圆柱的侧面积26 448cm2 圆柱的表面积2 3648120cm2 364 144圆柱的体积圆柱的体积=

8、底面积高底面积高 棱柱的体积棱柱的体积=底面积高底面积高 圆锥的体积圆锥的体积=13底面积高底面积高 棱锥的体积棱锥的体积=13底面积高底面积高 8 有理数)3,2,1:()3,2,1:(如负整数如正整数整数)0(零)8.4,3.2,31,21:(如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(如正分数第第二二章章 有理数及其运算有理数及其运算 知识点一知识点一 正数、负数正数、负数 1.定义（1）正数：像11.3,2,258,2这样大于 0 的数（“+”通常省略不写）叫正数。（2）负数：像15,3,0.14这样在正数前加上“”的数叫负数，负数小于 0。2.正、负数的意义（1）具有相反意义的量：我

9、们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义规定为负的。（2）具有相反意义的量的表述：描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，收入与支出等。相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量，而且是同类量。（3）属性：0 既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界。规定：0 是最小的自然数。知识点二知识点二 有理数及其分类有理数及其分类 整数和分数统称为有理数整数和分数统称为有理数。1.按有理数的定义分类：2.按有理数的性质分类：3.知识延伸：正数和零称为非负数；负数和零称为非正数；正整数和零称为非负整数；负整数和零称为非正整数。知识点

10、三知识点三 数轴及其三要素数轴及其三要素 1.定义 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。注：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。（2）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。9 （3）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。2.数轴的画法（1）画一条水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点；（3）规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来；（4）根据需要，选取适当的长度为单位长度。知识点四知识点四 相反数相反数 1.定义 像 2 与-2，4 与-4，15与15这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。把其中一个数叫做另一个数的相反数。0 的相反数是 0。2.相反数的性质 若,a b互

11、为相反数，则0a b；反之，若0a b，则,a b互为相反数。注：（1）相反数是成对出现的，不能单独存在；（2）求一个数的相反数只需要在这个数前面加上一个负号即可。如：a的相反数是a；a的相反数是()aa。3.相反数的几何意义 在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等。知识点知识点五五 绝对值绝对值 1.定义（1）在数轴上，表示数a的点与原点的距离，叫做这个数a的绝对值。数a的绝对值记作a，读作a的绝对值。（2）在数轴上，表示数a的点与表示数b的点之间的距离为ab，即距离是这两个数差的绝对值。如：数轴上，x与 1 的距离就是1x；数轴上，x与1的距离就是(1)1x

12、x。2.绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即，若0a，则aa；若0a，则aa；若0a，则0a。3.绝对值的非负性 还可以写成这个形式：,00,0,0a aaaa a 10 任何数的绝对值都是非负数（大于或等于 0），即0a。特别地，若特别地，若0abc，则，则0,0,0abc。（即若几个非负数的和等于（即若几个非负数的和等于 0，则这几个数都等于，则这几个数都等于 0）例：已知2430 xy，则_,_.xy 解：240,30 xy，且2430 xy 240,30 xy 240,30 xy 2,3xy 4.重要结论（1）若,a b互为

13、相反数，则,a b的绝对值相等，即若0a b，则ab。（2）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若ab，则ab或0a b。（3）若aa，则0a；若aa，则0a。若a ba b，则0a b；若()a ba b，则0a b。（4）若一个数的绝对值等于正数，则这个数有两个且互为相反数。如：若3x，则3x。注：注：在解决绝对值化简或计算的问题时，先判断绝对值里面数的符号，如果是正数，就等于它本身，直接去掉绝对值；如果是负数，就等于它的相反数，去掉绝对值，在前面加一个负号。如果绝对值里面数的符号不能确定，那么就要分类讨论。（总之，要先判断，再去绝对值符号）5.绝对值中的最值问题（绝对值的

14、几何意义）有关绝对值中的最值问题，常采用零点分段法。（1）求xa的最小值 方法：令0 xa，解得xa。当xa时，xa有最小值且最小值为 0。（2）求xax b的最小值 方法：令0,0 xax b，解得,xa xb 当x取a与b之间的值时，xax b有最小值且最小值就为a与b之间的距离。如：求31xx的最小值 解：令30,10 xx，解得3,1xx 11 当13x时，31xx有最小值且最小值就为1与3之间的距离即min(31)4xx。（3）求xax bx c的最小值 方法：令0,00 xax bx c，解得,xa xb xc 当x取,ab c，中位于中间的数时，xax bx c有最小值且最小值为

15、另两个数之间的距离。如：求315xxx的最小值 解：令30,10,50 xxx，解得3,1,5xxx 1 3 5，当3x时，315xxx有最小值且最小值为3 33 13 56。总结：总结：（1）有奇数个绝对值的和求最小值时，）有奇数个绝对值的和求最小值时，当当x取中间那个数的时候，原式有最小值。取中间那个数的时候，原式有最小值。（2）有偶数个绝对值的和求最小值时，当）有偶数个绝对值的和求最小值时，当x取中间取中间两个数之间的取值时，原式有最小值。两个数之间的取值时，原式有最小值。例例 求求123.2019xxxx的最小值。解：当2019 110102x时，原式有最小值且最小值等于1010 11

16、010 21010 3.1010 2019 1009 1008 1007.2 1 0 1 2.1008 1009 2(1 2 3.1008 1009)1009(1009 1)22 1009 1010 例例 求求123.20192020 xxxxx的最小值。解：当10101011x时，原式有最小值 即1010 x时，最小值等于1010 11010 21010 3.1010 20191010 2020 1009 1008 1007.2 1 0 1 2.1008 1009 1010 2(1 2 3.1008 1009)1010 1009 1010 1010 1010(1009 1)1010 1010

17、 12 知识点知识点六六 有理数的大小比较有理数的大小比较 1.有理数大小比较的常用结论（1）在数轴上，右边的数总比左边的数大。（2）正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。（3）两个负数比较大小：绝对值大的反而小。2.有理数大小比较的常用方法（1）数轴比较法：将两个有理数分别表示在数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大，若两数表示同一点，则这两数相等。（2）差值比较法：若0a b，则ab；若0a b，则ab；若0a b，则ab。（3）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。除了上述方法之外，还有商值比较法，平方法，倒数法等。知识点知识点七七 有理数的加法有理数的加法 1.

18、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加得 0；（4）一个数同 0 相加，仍得这个数。2.有理数的加法运算律（1）加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a bba 。（2）加法的结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即()()abcabc。注意：（1）互为相反数的两个数可以先相加；（2）符号相同的数可以先相加；（3）分母相同的数可以先相加；（4）和为整数的几个数可以先相加；（5）两个带分数相加，可以把整数部分和分数部分分别相

19、加，再求和。口诀记法：口诀记法：先定符号，再计算先定符号，再计算 同号相加不变号同号相加不变号 异号相加大减小异号相加大减小 符号跟着绝大跑符号跟着绝大跑 13 3.常用结论（1）若0,0ab，则0a b；（2）若0,0ab，则0a b；（3）若0,0,abab，则0a b；（4）若0,0,abab，则0a b。知识点知识点八八 有理数的减法有理数的减法 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即()xyxy。2.常用结论（1）大数减小数，差为正数；（2）小数减大数，差为负数；知识点知识点九九 有理数的乘法有理数的乘法 1.乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值

20、相乘；（2）任何数与 0 相乘，都得 0。2.乘法法则的推广（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（奇负偶数奇负偶数）（2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，那么积等于 0。（3）几个不等于 0 的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。3.乘法运算律（1）乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即a bb a 。（2）乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即()()a bcab c。（3）乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即

21、()abca ba c ，反过来，()a ba cabc 注：（1）若因数中有带分数，先把带分数化成假分数再相乘；（2）若因数中有小数，一般先把小数化成分数再相乘；（3）使用乘法分配律时，切勿漏乘某项。14 知识点知识点十十 倒数倒数 1.倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。注：（1）正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0 没有倒数没有倒数。（2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可。（3）求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数。（4）求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后求倒数。2.倒数的特性 若,a b互为倒数，则1ab；反之，若1ab，则,a b互为倒数。知

22、识点知识点十十 有理数的除法有理数的除法 1.有理数除法法则（1）除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（3）0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。注：（1）除法与乘法是互逆运算；（2）有带分数先化成假分数再进行计算；（3）有小数也可先化成分数再进行计算。知识点知识点十一十一 有理数的乘方有理数的乘方 1.求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在na中，a叫做底数，n叫做指数，na读作a的n次方（或a的n次幂）。2.乘方的意义：na表示n个a相乘，即naa a aa （n个a）注：（1）一个数可以看成这个数本身的一

23、次方。如：2 就是12，a就是1a，指数 1 通常省略不写。（2）习惯上把2a（a的二次方）叫做a的平方，3a（a的三次方）叫做a的立方。（3）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。如：323(2),()4。3.有理数乘方的计算法则（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。如：23(3)9,(3)27。15 （2）正数的任何次幂都是正数。（3）任何有理数的偶次幂都是非负数。即）任何有理数的偶次幂都是非负数。即20a （4）负数的乘方与乘方的相反数不同。如4(3)与43，4(3)为3的 4 次方，表示 4 个3相乘；43是 3的 4 次方的相反数。知

24、识点知识点十二十二 科学记数法科学记数法 把一个数表示成10na（其中110a），这种记数的方法叫做科学记数法。注：（1）n的值等于原数整数位数减 1。（n也等于小数点向左移动的位数）如：634500003.45 10（2）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其他与正数的写法一样。（3）1 亿810；1 万410 知识点知识点十三十三 近似数近似数 接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫近似值。注：（1）近似数末尾的“0”不能随便去掉；（2）一个近似数对于它所表示的准确数的误差程度叫做精确度。精确度不同，近似值与实际值的接近程度也不同。对于未带计数单位的或未用科学记数法表示的近

25、似数的精确度，最后一位数字所在的数位就是它的精确度；对于带计数单位的或用科学记数法表示的近似数的精确度，应当写出原数之后再判断精确到哪一位。（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。如：0.576 精确到千分位或精确到 0.001。有效数字：一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。如：1.020 有四个有效数字：1，0，2，0；82.530 10有四个有效数字：2，5，3，0.知识点知识点十四十四 常用结论常用结论 1.常见乘方的计算 12345678910222428216232264212822562512210

26、24 123456333932738132433729 1234444164644256 16 23111111111.1248222222nnn（详见启航 55 页）2201920201 22.221（详见启航 54 页例 2 和变式练习 6 题）202022019311 33.32，20202201941144.43，202022019511 55.54 一般地：1211.1nnaaaaa（1a）2.裂项法：1111()()nnkknnk 如：1111111111()2 3233 5235(1)1n nnn；（见启航 37 页）3.等差数列求和：(1)1 23.2n nn 4.数轴上的动点

27、问题（1）数轴上两点间的距离：右边数减去左边数。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数。（2）表示运动后的数：向右运动就用起点的数加上运动的路程即为运动后的数；向左运动就用起点的数减去运动的路程即为运动后的数。如：一个点表示的数为 a，向右运动 b 个单位后表示的数为：a+b；向左运动 b 个单位后表示的数为：ab。（可记为：左减右加）（3）当数轴上的点的位置不能确定时，注意要分类讨论。（4）中点公式：若数轴上点 A，B 表示的数为 a，b，且 M 为线段 AB 中点，则 M 表示的数为：2ab。17 第第三三章章 整式及其加减整式及其加减 知识点知识点一一 字母表示数字母表示数

28、1.字母可以表示任何数。2.用字母表示数应注意的事项（1）数字与字母相乘，数字写在字母前，乘号通常写作“”，或者省略不写；如：3a应写成3a；()3ab应写成3()ab或3()ab。（2）字母与字母相乘，乘号通常写作“”，或者省略不写，一般按字母顺序写；如：n m应写成mn。（3）相同的字母相乘，应写成乘方形式；如：2a aa。（4）带分数与字母相乘，应把带分数写成假分数，再相乘。（5）有除法运算时，应写成分数形式；如：2a应写成2a。（6）字母与 1 相乘，字母与1相乘，要省略 1；如1 a应写成a；1 a 应写成a。（7）如果所列的代数式是“和”或“差”的形式，并且后面有单位，那么必须把所

29、列代数式用括号括起来，再写单位。知识点知识点二二 代数式代数式 1.定义 用运算符号把数或字母连接而成的式子叫代数式。如：,3,2,5(3)abxynm。注：（1）单独的一个数或一个字母也是代数式；（2）代数式中只含有运算符号（,），可以含有括号。不能含有“，,”等；2.列代数式的一般步骤（1）认真审题，仔细分析问题中术语的含义。如：和，差，积，商，大，小，多，少，增加，减少等。（2）要注意问题的语言描述表示的运算顺序，一般来说，先读的先写。如：甲a、乙b两数的平方和：“平方和”是指先平方，后求和，即22ab；甲a、乙b两数和的平方：“和的平方”是指先求和，后平方，即2()ab。（3）在同一个

30、问题中，不同的数量，必须用不同的字母来表示。3.求代数式的值 一般的方法是：用数代替代数式中的每个字母，然后通过计算求得结果。（1）直接代入：给出所有字母的值，代入计算；（2）整体代入（整体思想）：给出的是几个字母之间的关系，一般用整体代入计算。18 4.多位数的表示方法 两位数ab表示为10a b；三位数abc表示为10010ab c；四位数abcd表示为100010010abcd 知识点知识点三三 整式整式 1.单项式（1）单项式的定义 像21,2,63xrm，都是数与字母的乘积，这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中“只含乘除，不含加减只含乘除，不含加减，且除法

31、中分母不能含有字母”。，且除法中分母不能含有字母”。注：注：单项式中不能含有加减运算，如单项式中不能含有加减运算，如23x不是单项式；不是单项式；单项式中可以是数和数的积，可以是数和字母的积，可以是字母和字母的积；单项式中可以是数和数的积，可以是数和字母的积，可以是字母和字母的积；单项式中可以有除法运算，但是只能是除以数的运算，即字母不能在分母。如：单项式中可以有除法运算，但是只能是除以数的运算，即字母不能在分母。如：2x不是单项式，但不是单项式，但2x是是单项式；单项式；特别地，特别地，是常数，所以是常数，所以1是单项式。是单项式。（2）单项式的系数 单项式中的数字因数数字因数叫做这个单项式

32、的系数。注：若单项式是一个常数，那么它的系数就是它本身；如 2 的系数就是 2；负数作系数时，应包括前面的符号；一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或1；如：2x y的系数是 1，2x y的系数是1。（3）单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数和所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。注：若单项式是一个常数，那么它的次数是 0；单项式的次数与系数没有关系；如：322 a b的次数是 3，系数是 8。2.多项式（1）多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。注：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式的每一项都包括它前面的符号；如：2367xx，这个多项式的项是：23,6,7xx 多项式

33、中单项式的个数叫做多项式的项数；如：2367xx的项数是 3，叫做三项式。在多项式中，不含字母的项叫做常数项在多项式中，不含字母的项叫做常数项；如：2367xx的常数项是7。19 （2）多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。如：2367xx的次数是 2。（3）多项式的命名 多项式通常以它的次数和项数为命名，称几次几项式。最高次项的次数是几，是几次式，项数是几，是几项式；如：多项式4226234xyx yxy是五次四项式。3.整式（1）整式的定义 单项式与多项式统称为整式。注：所有的整式的分母中不含字母；一个整式不是单项式就是多项式，判断一个式子是否为整式的关键是看分母

34、中是否含有字母。知识点知识点四四 整式的加减整式的加减 1.同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。如：2a b与23a b是同类项，3212x y与23y x是同类项，2 与 3 是同类项。注：判断同类项的标准是“两相同”，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，二者缺一不可；同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。2.合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。（3）合并同类项的一般步骤

35、准确找出同类项（注意每一项均包含其前面的符号）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 写出合并后的结果，注意不要漏项 注：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0；合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉。3.去括号与添括号（1）去括号法则 括号前面是“”，直接去掉括号；括号前面是“括号前面是“”，把括号和它前面的“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内各项都改变符号。”去掉，括号内各项都改变符号。如：()abcabc ；()abcabc （2）添括号法则 20 所添括号前面是“”，直接添括号；所添括号前面是“所添括号前

36、面是“”，”，括到括号里的各项都要改变符号。括到括号里的各项都要改变符号。如：()abcabc ；()abcabc 注：整式的加减的实质是去括号，合并同类项；要变号就是每一项都要变号都要变号。若括号前有数字因数，应利用乘法分配律，先将该数与括号内的各项分别相乘再去括号，添括号与去括号类似；添括号是否正确可以用去括号检验，二者互逆。4.化简求值 化简求值是指我们不直接把字母的值代入代数式中计算，而是先化简（即去括号，合并同类项），然后再代入求值。知识点知识点五五 典型例题典型例题 多项式不含某项或多项式的值与某个未知数多项式不含某项或多项式的值与某个未知数的取值的取值无关无关 解题思路：先化简，

37、合并同类项；再使符合条件的项的系数等于 0.例 1：多项式222342(445)mxxxxx 的值与字母x的取值无关，求 m 的值。解：222342(445)mxxxxx 原式222342445mxxxxx 2(314)3mx 2(33)3mx 多项式的值与字母 x 的取值无关 330m，即1m 例 2：多项式2835xx与多项式323253xmxx相加后不含二次项，求 m 的值。解：由题得：232835(3253)xxxmxx 原式=232835 3253xxxmxx =2238288 3xmxxx =23(82)88 3m xxx 相加后不含二次项 8 20m，即4m 21 第第四四章章

38、基本平面图形基本平面图形 知识点知识点一一 直线、射线、线段直线、射线、线段 1.直线（1）直线的表示方法 用两个大写字母表示，如图表示成直线 AB 或直线 BA 用一个小写字母表示，如上图可以表示成直线 m（2）点与直线的两种位置关系 如图，点 P 在直线 m 上（也称直线 m 经过点 P）如图，点 Q 在直线 m 外（也称直线 m 不经过点 Q）（3）直线可以向两方无限延伸，没有端点，不能度量，不能比较大小 2.射线（1）射线的表示方法 用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，如图可以表示为射线 OA。注意表示端注意表示端点的字母必须写在前面。点的字母必须写在前面。用

39、一个小写字母表示，如上图可以表示成射线 c （2）射线是直线的一部分，射线向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小 3.线段（1）直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。（2）线段的表示方法 用两个大写字母表示，如图表示成线段 AB 或线段 BA 用一个小写字母表示，如上图可以表示成线段 a（3）线段的延长线 P m Q m c 22 线段的延长线是指线段向一方延长的部分，延长 AB 是指 A 到 B 的方向延长；延长 BA 是 B 到 A 的方向延长（也可以说成反向延长 AB）（3）线段是直线（或射线）的一部分 线段不能向两方无限延伸，可以度量，可以比较大小

40、延长线常画成虚线 射线可作反向延长线，但不存在射线的延长线 4.直线、射线、线段的区别与联系 5.直线的性质（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。（2）两条直线相交只有一个交点。6.若一条直线上有若一条直线上有n个点，则共有个点，则共有2n条射线，条射线，(22)n条可标注的射线，有条可标注的射线，有(1)2n n条线段。条线段。如下图：射线有 6 条：射线 AB（或射线 AC），一条以 A 为端点向左的射线，射线 BC，射线 BA，射线 CA（或射线 CB），一条以 C 为端点向右的射线。线段有 3 条：线段

41、 AB（或线段 BA），线段 BC（或线段 CB），线段 AC（或线段 CA）知识点知识点二二 比较线段的长短比较线段的长短 1.两点间的距离 连接两点的线段的长度线段的长度，叫做这两点的距离。它是线段的长度，是数量。2.线段最短 两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短两点之间，线段最短。如图，在所有连接 A，B 两点的线中，线段 AB 的长度是最短的。A B A B 23 3.线段大小的比较方法（1）叠合法（形的比较）：把要比较的两条线段的一个端点重合，然后把两条线段叠合在一起，由另一个端点的位置可以得出两条线段的大小关系。（2）度量法（数的比较）：用刻度尺测出线段的长度

42、（单位相同），根据长度的数值判断线段的大小。（3）线段的大小关系有 3 种：ABCD，ABCD，ABCD（线段省略不写，因为只有线段才能度量，才能比较大小）4.尺规作图：作线段的和、差 例 1：如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB。解：作图步骤如下：（1）作射线 AC；（2）用圆规在射线 AC上截取 AB=AB；（3）线段 AB为所求作的线段.例 2：如图，已知线段 a，b，求作线段 AB2ab.解：作图步骤如下：（1）作射线 AM；（2）用圆规在射线 AM 上顺次截取 AC=a，CD=a，DB=b；（3）线段 AB 为所求作的线段.例 3：如图，已知线段 a，b，求作线段

43、 ABba.解：作图步骤如下：（1）作射线 AM；（2）用圆规在射线 AM 上顺次截取 AC=b，CB=a；（3）线段 AB 为所求作的线段.5.线段的中点线段的中点（1）如图，点 M 将线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。数学语言：M 是线段 AB 的中点 AM=MB=12AB（或 AB=2AM=2MB）注：（1）一条线段的中点只有一个；（2）线段中点必须同时满足两个条件：一是点必须在这条线段上，二是它把这条线段分成相等的两条线段。24 （2）中点模型 如图，若 D，E 分别是 AB，BC 的中点，则有12DEAC.（3）n等分点 把一条线段等分成

44、n条相等的线段的点，叫做这条线段的n等分点。6.线段的和、差、倍、分（见启航 102 页）在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：（1）题目没有给出图形的，根据已知条件画出图形是正确解题的关键，若没有指明具体位置，注意可能需分类讨论（如在直线直线上有一点）；（2）观察图形，找出线段之间的关系；（3）简单的问题可以列算式算出，复杂的问题（如有比值）可设未知数，用方程思想解决。知识点知识点三三 角角 1.角的定义（1）从静的角度认识角 角是由两条具有公共端点的射线两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。如图，射线 OA，OB 是这个角的两条边，点 O 是这个角的顶

45、点。（2）从动的角度认识角 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。旋转开始的边叫角的始边，旋转终止的边叫角的终边。如上图可以看作是由射线 OA 绕着 O 点按顺时针方向旋转一定的角度到射线 OB 的位置而形成的。一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；25 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.1 平角180，1 周角360 注：角的两边是射线，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长度无关。2.角的表示方法 角一般有四种表示方法：（1）用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间表示顶点的字母必须写在中间，其他两个字母可以调换位置

46、，如图可记作：AOB 或BOA（2）当角的顶点处只有一个角角的顶点处只有一个角时，可以用单独的顶点处的大写字母表示，如上图可记作：O（3）可用单独的一个数字来表示角，在角的内部靠近顶点处画弧线，如图可记作：1（4）可用单独的一个希腊字母（，）来表示，在角的内部靠近顶点处画弧线，如图可记作：注：数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角。3.角的度量 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。160，160，13600，11()60，111(),1()603600 注：（1）度、分、秒是 60 进制；（2）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进行逐

47、级进行。例：（1）用度、分、秒表示47.53；（2）将54 412化成度。解：（1）47.53470.53 将0.53化成分，得：0.53 6031.8 将0.8化成秒，得：0.8 6048 47.5347 3148 4.方向角 方向角一般是以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所形成的角（一般指锐角）。（2）54 41254412 将12化成分，得12 600.2 将4.2化成度，得4.2600.07 54 41254.07 26 （1）一般地，习惯将南或北写在前面，东或西写在后面；（2）东北方向指北偏东45，西南方向指南偏西45，东南方向指南偏东45，西北方向

48、指北偏西45。5.时针与分针夹角的求解方法（1）时针每分钟转时针每分钟转0.5度；分针每分钟转度；分针每分钟转6度度（2）时针与分针的夹角小于 180 度 时针和分针夹角问题实际上就是行程问题，只不过有两个速度，一个是时针的速度，一个是分针的速度。用时针和分针走的时间分别乘它们的速度，即得它们各自转过的角度。（3）计算公式为计算公式为：当时间为m点n分时，其时针与分针的夹角度数为：305.5mn 当305.5mn的结果大于 180 度时，其时针与分针的夹角度数为：360305.5mn 例：小明每天下午 5：20 放学，此时钟面上时针与分针的夹角度数为_.解：时针与分针的夹角度数为：30 5 5

49、.5 2040 度 知识点知识点四四 角角的比较的比较 1.角的大小的比较方法（1）叠合法：将两个角叠放在一起，使两个角的顶点和一条边重合，并使它们的另一边都落在重合的那条边的同旁，根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小。（2）度量法：两个角大小的比较，实际上是两个角的度数的大小比较，度量法就是先用量角器分别量出两个角的度数，再比较其度数的大小。（3）角的大小关系有 3 种：,ABABAB .2.角的平分线（1）角平分线的定义 从一个角的顶点顶点出发的一条射线射线，把这个角分成两个相等的角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。（2）角的计算（见启航 111 页）几何语言：如图，O

50、C 是AOB 的角平分线，AOC BOC=12AOB 或AOB 2BOC 2AOC 27 3.余角和补角（1）余角：如果两个角的和是一个直角（90 度），那么这两个角互为余角（简称互余），其中一个角叫做另一个角的余角。（2）补角：如果两个角的和是一个平角（180 度），那么这两个角互为补角（简称互补），其中一个角叫做另一个角的补角。注：钝角没得余角；互为余角、互为补角是指两个角之间的关系；互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关。即只要两个角的度数和为 90 度或 180 度，则这两个角就互余或互补。知识点知识点五五 多边形和圆的初步认识多边形和圆的初步认识 1.多边形 由若干条不在