高等数学下册总复习(多元函数的微分法)课件.ppt

1、历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料高等数学下册总复习(二)多元函数微分法及其应用主要内容历年考题 鄙视为考试学习鄙视为考试学习历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料主要内容主要内容是指十年来考题涉及的内容也是该章的重点内容和难点内容历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1 1、区域、区域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx

2、 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.（4）n维空间维空间历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数历年考题与各章后的

3、总习题是最好的复习材料定义定义 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在，总存在正 数正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.3 3、多元函数的极限、多元函数的极限历年考题与各章后的总

4、习题是最好的复习材料说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在

5、在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质历年考题与各章后的

6、总习题是最好的复习材料7 7、偏导数概念、偏导数概念历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数，为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是

7、就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数，记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),

8、(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)(oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导历年考题与各章后的总习题是最好的复

9、习材料1010、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复

10、合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ，yvvzyuuzyz .历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料0),()1(yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续

11、的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy .隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的

12、偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0)z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ，zyFFyz .0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为.0

13、)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线.0),(:zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1515、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻

14、邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值；若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点

15、),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令Ayxfxx),(00

16、，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值，当当0 A时有极大值，时有极大值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00y

17、x，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),(yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 .0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出,yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加

18、条件的极值历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料方向导数该内容没有考过定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ，其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料历年考题 1）自1996年至2008年考题 2）重复的考题只在最早的年份中讲,在后面 的年份中若再出现以往的考题就不讲 3）历年考题涉及的知识点就是该章的重点和难点,特别要注意几乎年年考的知识点历年考题与各章后的总习题

19、是最好的复习材料)6()1,1,2(2)11996(22分处的切平面方程在点求曲面yxz222),(yxzzyxF解：设1,2,zyxFyFxF那么)1,2,2()1,1,2(n0)1()1(2)2(2zyx切平面方程为0122zyx化简为 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)10(分的距离的平方和为最小到三条直线的平方和为解：点 M2)1(),(222yxyxyxf0)1(2),(0)1(2),(yxyyxfyxxyxfyx解)41,41(得到唯一的驻点41)41,41(f是所求的点，此时由实际意义得该驻点就 2220000000),(CBADCzByAxdDCzByAxzyx的距离公

20、式到直线点2200000),(BADByAxdDByAxyx的距离公式到直线点 01,0,0 ),()21996(yxyxyxMxoy，使它到三条直线平面上求一点在(x,y)xy该点就为所求.0,3,1,3;3,1,32ABACCBAfffyyxyxx历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)10(sin)31996(233分，求设yxzyeyxzxxyeyxxzsin32解：xeyxyxzcos322yxyxzsin3223 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 ,)2(cos2 1)-(19972yzxzyxz，求设)2sin(2)2cos()2sin(4yxyxyxxz解：)2sin

21、()2cos()2sin(2yxyxyxyz )2cos(1yxz注：也可以先变换：历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料处的切平面方程上点求曲面在),()21997(00022zyxbyaxz1,2,2,),(22zxxFbyFaxFbyaxzzyxF那么解：设)1,2,2(00byaxn所以，0)()(2)(200000zzyybyxxax所以切面方程为：022202000byaxzybyxax化简得：022000zzybyxax或 20200:byaxznote历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料极小值点并指出是极大值点还是的极值点，求22)(4),(3)-(1997yxyxyxf

22、)2,2(024024得驻点解：解yfxfyx8)2,2(f）是极大值点，所以极值点（22 2,0,2yyxyxxfff02,0,22BACCBA是极大值又,02A历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料duaxauayzx求设),0(ln1)-(1998ayazuazayuxaaaxuyzxyzxyzxln,ln,ln解：adzyaadyzadxxaaayzxyzxyzxlnln)ln(dzzudyyudxxudu历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料的极大值或极小值求函数xyxyxyxf3),(2)-(200822)12(02032，得驻点解：解yxfyxfyx3)1,2(f-2,1,2

23、CBA该驻点是极值点,2BAC是极小值又,02A2,1,2yyxyxxfff历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料dydzdxdzeyxyarctgzx,),(3)-(1998求设)()(11),()(2xxxxxeexedxdzxearctgxyarctgz得解：由)1(lnln11),ln()(22yyydydzyyarctgxyarctgz得由 tan)(tanarctan,tggentarctg历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)6(,0932),()41998(2222222分求所确定，由设yzxzzxyzyxyxzz16,4,2,932),(222zFxyFyxFzxyzy

24、xzyxFzyx则解：设164,162zxyFFyzzyxFFxzzyzx所以322222)16()2(6)16(2)16(6)2()16(2)162(zyxzzxzyxzzyxxxz322222)16()4(6)16(4)16(6)4()16(4)164(zxyzzyzxyzzxyyyz历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)10()33,2,1(5)-(199822分并求最短距离的距离最短，上找一点，使它到点在曲面yxz)()33()2()1(),(22222yxzzyxzyxf解：设函数)32,22,2(323222200)33(20)2(20)1(2222222即唯一驻点为得到解zy

25、xyxzzfyxyyfyxxxfzyx点，此时最短距离所以该驻点就为所求的定存在，该驻点又唯一由实际意义，最值点一6)3332()222()12(222d历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)6()0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(6)-(19982233分但不可微处偏导数存在，在原点试证：yxyxyxyxyxf10lim)0,0()0,(lim)0,0(00 xxxfxffxxx证明：1)0,0(),0(lim)0,0(lim00yyyfyffyyy偏导数存在在所以函数)0,0(),(yxf1)0,0()0,0(lim)0,0(),()0,0()0,0(,)0,0(),(0

26、,02233yfxffyxfyxyfxfyxyxfyxffyxyxyx可微，那么在若函数yfxffyxkkxyyxyx)0,0()0,0(lim,0,0那么设 )2(,111)1()1()1(lim220022330,0limkkkkxkxkxkyxyx例如取点不可微所以函数不在)0,0(历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料全微分求函数)sin(1)-(199922yxzdyyzdxxzdz解：dyyxydxyxx)cos(2)cos(22222历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料处的切平面与法线方程在求曲面)1 ,1 ,1(332)-(1999222zyxzFyFxFzyxzyxFz

27、yx2,2,6,33),(222解：设)1,1,3(2)2,2,6(n所以0)1()1()1(3zyx切平面方程033zyx即：法线方程1)1(1)1(3)1(zyx 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料切平面方程为：上的一点，则过该点的为曲面证明：设0),(),(00,0zyxFzyx)1.(0)(,()(,()(,(000030000200001zzzyxFyyzyxFxxzyxF求导有两边同时对方程tzyxFttztytxFk),(),()2.().,(),(),(),(1321zyxFkttztytxzFtztytxyFtztytxxFk得代入把)2(1,000tzzyyxx)3(

28、0),(),(),(),(00000,000002000010zyxkFzyxFzzyxFyzyxFx)4.(0),(),(),()1()3(000300020001zzyxFyzyxFxzyxF整理得切平面方程为代入把上的点是切平面方程即满足方程显然)4()0,0,0(),4(0,0,0zyx)0,0,0(O点，所有切平面相交于原由选取点的任意性可得 )6)(0(0),().(),(),(,),()31999(222分设点交于一定上任意一点的切平面相试证曲面是自然数有且对任意实数具有连续偏导设zyxkFFFzyxFkzyxFttztytxFtzyxF历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料y

29、zxzxyxyz和求设 ),cos(.)12000()sin()cos(22xyxyxyxyxz解：)sin()cos(xyyxxyyz 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(8232)-(2000222zxzyyzxzxzyyzxzyxF823),(222解：设84,6,22222xzyxFyzxFzxyzFzyx)14,11,6(n量所以切平面的一个法向0)1(14)2(11)1(6zyx切平面方程为：0214116zyx即14)1(11)2(6)1(zyx法线方程为 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料)8(),(sin),(3)-(20

30、00分连续的一阶偏导，求有所确定，其中由方程函数yzfyzxyfyxzyxzz),(sin),(yzxyfyxzzyxF解：设221,cosfxFfxfyFzy221cosfxfxfyFFyzzy所以 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料yfxfeyxfxy ),(1)-(20013，求设33xyeyxf解：323xyexyyf历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 dzyxzxyvyxuvuxfz的全微分对求复合函数设,2),(2)-(2001dyxffdxyfffdyyzdxxzdzxffyzyfffxz)()2(,23232132321所以-解：历年考题与各章后的总习题是最好的复习

31、材料2242yxz132zyx)42(14)132(),(),(2222yxzzyxzyxdzyxf解：设函数146141142zyx得唯一驻点：)5(2421)2)(1(yxyx得解题思路过程：由)6(6442432)4()3)(2(22yzzyyxy得结合由141)4()6)(5(y得：代入2222224207)132(304247)132(20427)132(yxzzyxfyxyzyxfyxxzyxfzyx解：)4(42)3(07)132(3)2(04247)132(2)1(0427)132(222222yxzzyxfyxyzyxfyxxzyxfzyx2002-1(10分)在曲面上求一点

32、，使它到平面的距离最近。点所以该驻点就为所求的定存在，该驻点又唯一由实际意义，最值点一历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料,222zyxeuysinxz2xuyxyxzyxeeu2422222sin解：yxyxeyxxxu2422sin23)sin42(222)sin42(zyxeyzxx或(2003-1)设而,求.历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料1,tttttzeyex解：)1,1,1(0nt点的一个切向量是在11111zyx切线方程：0)1()1(zyx法平面方程：0zyx化简tzeyextt,0t(2003-2).求曲线,对应于点处的切线和法平面方程。)0,1,1(0点对应的

33、直角坐标为在 t历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料0)40(0zyx上，在边界0)40(0zxy上，在边界在内部0)4(0)4(2222yxyxxyzyxyxxyxz解12yx得唯一驻点4)124(122z该点函数值04，最少值为所以最大值为0,)40(04zxyx上解：在边界)4(2yxyxz4,0,0yxyx(2003-3)求函数在闭域上的最大值及最小值。yx4 yx历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料 )(1)-(2004xdyydxedzezxyxy则，设 ln)22004(zxzxzyzzx则，设xzzxzzxzzxzxzx)(2求导：方程两边同时对.65)(65 )(31

34、)(31 )().B ()1 1()2ln()(3)-(2004DCBAfxyxyxfx，则，设21231)1(211()1(2111)21(2122xyxyxfx历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料.)1 2 1(3 4)-(2004222及法线方程处的切平面，在点求曲面zxzyx1 3)(222zxzyxzyxF，令解解1 0643 )1(6 0)1()2(4)1(3 化简错扣，即切平面方程zyxzyx)3(4 2 2 2zxFyFzxFzyx，则)1(5 1 4 3，故n)1(7 114231zyx法线方程历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料.01,0,0 ),(5)-(2004

35、并求其最小值的距离平方和为最小，使它到三条直线平面上求一点在yxyxyxMxoy3 2)1()(222yxyxyxfM，为到三条直线距离平方和点 解解 )1(8 41)41 41(，且最小值为 f)1(7 )41 41(，求点为由问题实际意义可得所)2(6 )41 41(，得唯一驻点)1(5 012)1(4 012yxyfyxxfyx解历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料，则，设，)cos()12005()2 1(2xzyxz，的极值点为函数 3)3()(6)22005(22yxyxz.)()()()().()()()()()(3)-(2005000000条件既非充分条件又非必要充要条件，

36、必要条件，充分条件，在该点连续的，存在是，、，处偏导数，在点，dcbadyxfyxfyxfyxyxfyx xyyxxz2)sin(22,0,226026yyxyxxyxzzzyzxz历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料.0 0)()(4)-(2005yzxzzyvzxuFFFzyzxFyxzzvu，求，其中，且具有一阶连续偏导数，确定的隐函数，是由方程，设)()(zyzxFzyxf ，令令解解：，则则vuzvyuxFFfFfFf vuuzxFFFffxz vuvzyFFFffyz 0)()1(0)(xzFxzFxzyzxFvu求求偏偏导导得得：两两边边对对，或或将将vuuFFFxz vuv

37、FFFyz 同同理理可可求求 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料.)0()52005(之和为常数在三个坐标轴上的截距上任一点处的切平面证明曲面aazyxazyxzyx 000000 )(则则，设设曲曲面面上上任任一一点点为为解解：azyxzyxF )(，令令zFyFxFzyx21 21 21 ，则则 21 21 21000zyxn，法法向向量量为为 0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx切切平平面面方方程程为为00000zxyxxa 的的截截距距分分别别为为切切平平面面在在三三个个坐坐标标轴轴上上，00000zyyxyb 00000zyzxzc 00000000022

38、2zyzxyxzyxcba 故故截截距距和和为为结论成立结论成立，)(2000azyx ，历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料2006级级_ )sin(1 dzxyz则则，设设、)(cos(xdyydxxy 8)2,2(,4)0,2(,4)2,0(,0)0,0(ffff方法二：），），（，），（，），（，驻点（0222200006306322yyfxxfyx)2 0(D.)0 2(C.)0 0(B.)2 2(A.)A(33)(12233，的的极极小小值值点点为为，函函数数、yxyxyxf 过程复杂方法一：,yyxyxxfCfBfA历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料方方程程处处的的切切

39、线线方方程程与与法法平平面面，在在点点求求曲曲线线、)1 2 1(2 132 xzxy ,3 4 2xzxy，解：3 4 1T ，切向量 314211 zyx切线方程为0)1(3)2(41zyx法平面方程为01234 zyx即 切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zztyytxxt 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料ayzcxzbyxfzczaybzaxvu 满满足足，所所确确定定的的函函数数，证证明明由由方方程程具具有有连连续

40、续偏偏导导，设设)(0)()(vuzvyuxcbFaFaFczaybzaxzyxF )()(，则，令证：下面同上下面同上同理同理导得导得如果直接将方程两边求如果直接将方程两边求注：注：vuvvuuvuucbayzcbaxzxzcxzba 0 vuvvuuzxcbayzcbaFFxz acbacabyzcxzbvuvu 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料_ )sin(1)1 0(2 ，则则，设设、xzxyz2007级级ydyxdxxdyydxxdyydxdzxyz D.C.B.A.)C(1则则，设设、)cos(22xyyxz1历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料处的切平面及法线方程处的

41、切平面及法线方程，在点在点求曲面求曲面、)5 1 2(422yxz yzxzyx2 2 ，解：解：)1 2 4(，n0)5()1(2)2(4 zyx切切平平面面方方程程为为：0524 zyx即即152142 zyx法法线线方方程程为为：zyxzyxF 22)(，设设或或1 2 2 zyxFyFxF，则则 下面同上历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料才才能能使使用用料料最最省省？高高，宽宽、问问应应如如何何选选取取它它的的长长、的的有有盖盖长长方方体体水水箱箱，积积为为某某厂厂要要用用钢钢板板做做一一个个容容、2 13mxyzzyx2 则则，高为高为，宽为宽为、设长为设长为解：解：)(2yz

42、xzxyS 用用料料面面积积)22(2xyxy )2(22xySx )2(22yxSy )2 2(0)2(20)2(23322，得唯一驻点得唯一驻点解解 yxxy时时用用料料最最省省高高都都为为宽宽、故故当当长长、所所用用材材料料最最小小，时时这这时时，由由问问题题实实际际意意义义得得当当33332 2 2 2 zyx 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料2008级1)ln(),(xyyxfx 2 )1()ln()(2 efxyxyxfx，则则，设设、211),1(efxyxyxyxyxyxzyxzcos3 D.cos3 C.sin3 B.sin3 A.)B (sin 12222233 ，

43、则，则设设、历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料的极值的极值，求函数求函数、43)(133 yxxyyxf2233 33 yxfxyfyx ，解解 )1 1()0 0(03303322，、，得得解方程组解方程组yxxyyffxfyyxyxx6 3 6 ，不取极值不取极值，处，处，在点在点 09 )0 0(2 BAC06 027 )1 1(2 ABAC且且，处，处，在点在点5)1 1(，故故所所求求极极大大值值为为f 历年考题与各章后的总习题是最好的复习材料22211 )()(yzyzyxzxufyxfyz 证明：证明：可导，可导，其中其中，设设22 ffxyxz证明222ffyfyz 2222211 yffyfff yyzyxzx 21yzyf