现代控制理论复习题课件.ppt

1、第二章 状态空间描述2.1 2.1 几个重要概念几个重要概念 状态变量状态变量 系统的状态变量是指能完全表征系统运动状态的最小一组变量。状态方程状态方程 把系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称之为状态方程。输出方程输出方程 表征系统状态变量与输入变量和输出变量之间关系的数学表达式称为输出方程。它们具有代数方程的形式。状态空间表达式状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述(数学模型)。2.2 2.2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立2.2.1 2.2.1 由微分方程建立状态空间表达式由微分方程建立状态空间表达

2、式2.3.32.3.3由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式设控制系统的传递函数为 111111nnnnnnnY sbsbsbg sU ssa sasa可控标准型：11010000101nnuuaaa xAxBx11nnybbbCxx可观标准型：11211000100010001nnnnababuuabaxAxBx001y Cxx注意传函分母首次系数为1；若分子、分母阶次相等需先作除法。例：例：已知系统的微分方程，求系统的状态空间描述 23(1)yyuu解：对微分方程（1）在零初始条件下取拉氏变换得：32223322()3()()()110()1223()23002s Y s

3、sY ss U sU sssY ssU ssssss23557(2)yyyyuu可直接求得系统状态空间表达式为1122330100001031002xxxxuxx 12311022xyxx 对微分方程(2)在零初始条件下取拉氏变换得：323()2()3()5()5()7()s Y ss Y ssY sY ss U sU s323232()571015185()235235Y ssssU sssssss可直接求得系统状态空间表达式为 112233010000105321xxxxuxx 1231815105xyxux 2.32.3线性变换线性变换对应的矩阵变换11AP APBP BCCPDDxPx

4、注意：状态变换不改变系统传递函数矩阵2.3.1 把状态方程变换为对角标准形把状态方程变换为对角标准形有n个线性无关的特征向量，可变换为对角标准形变换为对角标准形化对角标准型步骤1）求特征值、特征向量 。2）构造变换阵 和3）令 则，1,nPvv1P12,nv vv,xPx11.nAP AP若 是友矩阵，即且特征值不同则变换矩阵形式为范德蒙矩阵0121010000100001nAaaaa123222212311111231111nnnnnnnP11.nAP APA2.3.2 把状态方程变换为若当标准把状态方程变换为若当标准形形化若当标准型步骤1）求特征值、特征向量 和广义特征向量 。2）构造变换

5、阵 和3）令 则，1,nPvv1P12,nv vv,xPx11.kJAP APJ其中J为若当块11iiiJ若 是友矩阵，即且特征值 为 重根，则化为约当型的变换矩阵为变换后约当型为132211310112P11131AP APAim2.4 2.4 传递函数阵传递函数阵如何计算传递函数矩阵1adj sIAsIAsIA 1G sC sIABD注意：状态变换不改变系统传递函数矩阵1111()()()C sIABCTsITATTBC sIA B第3章 控制系统状态方程的解3.1 线性定常系统齐次状态方程的解线性定常系统齐次状态方程的解 00Atx te xt x 0()000A t tx tex tt

6、tx t 或者状态转移矩阵 11AtetLsIA 3.2状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质1）2）非奇异3）4）原系统的状态转移矩阵 变换后系统 00ItAtA 100tttt 121221tttttt 1tPt P0tt txPx t3.3 线性定常系统非齐次状态方程的解线性定常系统非齐次状态方程的解00()()0()()()tA t tA ttx tex teBud例题 系统状态方程e 010231x tx tu t 若 求 1,00u ttx x t1112311232AtseLsIALssse若 求 1,00u ttx x t2212221112121222122221212tttt

7、AttttteeeesssseLeeeessss()02222022202()(0)()20122211222tAtA tttttttttttttttttttx te xeBudeeeedeeeeeeeedeeee A22 xAx例题 矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有1(0)1x时，22tteex2(0)1x时，2tteex试确定这个系统的状态转移矩阵 和矩阵 ()t A解解：因为系统的零输入响应是()(0)tt xx所以221(),1ttete 22()1ttete 将它们综合起来，得22122()11tttteetee 122222222122()11122112222ttttt

8、ttttttttttteeteeeeeeeeeeeeee 而状态转移矩阵的性质可知 0A 0213A例题 已知系统状态空间表达式为011341u xx1 1y x求系统的单位阶跃响应（1）解解 1(4)3(3)(1)034 IA121,3即有互不相同的特征值 00 0Tx存在变换阵 使原系统变换成对角标准型 12111113P11213AP AP131311221111222 P变换后系统的状态转移矩阵 1333333003111222233132222tttttttttttteetteeeeeeeeee PP系统的单位阶跃响应 ()03()3()3()3()0(0)()1311233311

9、1221tAtA ttttttttttttty tCx tC e xeBudeeeeCdeeeeeee 考虑一下是否还有其它方法？3.4 连续系统离散化连续系统离散化 线性时不变系统 x tAx tBu ty tCx tDu t离散化后(1)()()()()()x kGx kHu ky kCx kDu k对应矩阵计算方法0,ATTATGeHeBdtC D remain the sameEx 2.LTI continuous system state equation as followingWrite out the discretazation state equationSolution:

10、010()021x tx tu t 11122112102111220ATTTss sGeLsIALseeif20022211012210112441122tTTATtTTeHeBdtdteTee 101ATTTATTGeHeBdt1Ts第四章 线性系统状态空间分析4.1 可控性及可观性判据1）系统可控性判据1nRank BABABn 2）输出可控性判据1nRank CBCABCABm 3）可观性判据1nCCARanknCA4.2 对偶系统1）怎样写出对偶系统）怎样写出对偶系统2）系统完全可控等价于对偶系统完全可观性）系统完全可控等价于对偶系统完全可观性 11111x tAx tBu ty t

11、Cx t 22222TTTxtA xtC utytB xt4.3 线性定常系统结构分解1）可控性分解可控性分解取变换xPxP前 列为可控性矩阵中 个线性无关列后 列为保证 非奇异的任意列向量。设能控性矩阵秩为k构造变换阵kPnkk2）可观性分解可观性分解取变换,xTx1T前 行为可观性矩阵中 个线性无关行后 行为保证 非奇异的任意行向量。设可观性矩阵秩为l构造变换阵lTnll4.4 可控标准型与可观标准型1）可控标准型xAxbuyCx122101000001000000000001nnnAaaaaa00001b 如果系统 是可控的，那么必存在一非奇异变换 使其变换成可控标准形 xAxbuxPx

12、11111npp APp A121100001npbAbA bAb变换矩阵 2）系统的能观标准形xAxbuycu122100001000010000000001nnnaaaAaa00001c 1111TAATTTn100111nCACACT如果系统是能观测的，那么必存在一非奇异变换将系统变换为能观标准形xTx4.9 系统的实现1）可控、可观型实现2）最小实现 传递函数G(s)的最小实现 A,B,C和D的充要条件是系统状态完全能控且完全能观。例题 将下列状态方程化为可控标准形uxx11 4321解解 判断可控性 11217rank SrankbAbrank完全可控，则其逆矩阵 171881188

13、S 可得其最后一行 117111880101 118888pS 从而得到 11111881344pPp A 3114811848P 由此可得，可控标准型131111201326488 341110513326444CAP AP1111088 111344CBP B 010 1051xxu 例题将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。uxx121111xy11解解 给定系统的能观性矩阵为11202CrankCA系统完全可观，逆矩阵有，V 1112102V 由此可得，111110022 1111022CTCA 根据求变换矩阵公式有，11102112TTAT 12011T变换后系统各矩阵212012

14、1021 1111 11021ATTAO12024 1111OBT B 1021 1 01112OCCT 可观标准型02412101xxuyx例题 求最小实现 111223G sssss解解 3232131611611 13 16116G ssssssssss可见，输入维数 输出维数用可观标准型实现1m 2r mr121 13 1BB系统的可观标准型131111611600001xxuyx判断上述系统的可控性，以进行可控性分解2,3rank B AB A B 完全可控所以上述实现即为系统的最小实现第5章 李雅普诺夫稳定性5.1 稳定性基本概念平衡状态稳定渐近稳定一致渐近稳定大范围一致渐近稳定正

15、定（负定）函数半正定（半负定）函数正定矩阵的判定5.2 李雅普诺夫意义下的稳定5.2.1 李雅普诺夫第一方法5.2.2李雅普诺夫第二方法Re01,2iin lim0eettx txorx tx5.3 李雅普诺夫第二方法在线性系统中应用1）线性连续系统原点大范围渐近稳定的充要条件为李雅普诺夫方程,0TA PPAQQ 有唯一正定对称解例题 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：1123xx解 令矩阵11121222ppppP则由 得 T A PPAI1112111212221222121110132301pppppppp解上述矩阵方程，有111112111222221222127

16、42413420 826158pppppppppp 即得1112122275485388ppppP111211122275717480 detdet05346488ppPpp可知 P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。又因为 lim(),V xx所以系统在原点处大范围渐近稳定。第6章 控制系统状态空间设计6.1 状态反馈定义和性质uFrKx1）系统完全可控则可任意配置极点2）状态反馈可影响系统观测性6.2 极点配置6.2.1 状态反馈配置极点1）通过可控标准型配置（间接法）2)特征多项式相等法（直接法）6.2.2 输出反馈不能任意配置极点，但可以改善系统的稳定性6.3 状态反馈解耦6

17、.3.1 积分型解耦系统 状态空间表达式xAxBuyCx通过状态反馈和输入变换实现解耦 G suFrKx解耦后系统xABK xBFryCx解耦后传递函数阵 1122mmgsgsG sgs定义传递函数的两个特征变量 1min10lim,1,2iiiidiisdEsG sim 系统能够实现解耦的充要条件12det0mEEEEm mEE相关矩阵的计算11KE LFE6.3.2 解耦后极点配置期望解耦后系统传递函数形式为 1111111111111mmmdddddmm dsa saG ssa sa充要条件11KE LFEdet0E 相关矩阵的计算11KE LFE其中111211iiiidddiiiiiiidimiLC Aa C Aa C AaCLLLC is theith rowof matrix C6.4 状态观测器 状态观测器存在的条件6.4.1全维状态观测器xxAGCxx全维状态观测器极点可以任意配置的充要条件：系统完全可观测全维状态观测器设计具体方法6.4.2降低状态观测器（不要求）6.5 带全维观测器的状态反馈闭环系统6.5.1 观测器、状态反馈的设计6.5.2 分离原理