高考数学一轮复习人教A版第8章第5讲空间角与距离、空间向量及应用名师精编课件.pptx

1、第五讲空间角与距离、空间向量及应用考情精解读目录CONTENTS考纲解读命题规律命题分析预测考点1空间直角坐标系考点2空间向量的有关定理及运算考点3利用空间向量解决立体几何问题考法1 利用向量法证明平行问题考法2 利用向量法证明垂直问题考法3 求线面角考法4 求二面角考法5 求空间距离考法6 立体几何中的探索性问题理科数学 第八章：立体几何考情精解读考纲解读命题规律命题分析预测理科数学 第八章：立体几何1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.2.会推导空间两点间的距离公式.3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.4.掌握空间向量

2、的线性运算及其坐标表示.5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.6.理解直线的方向向量与平面的法向量.考纲解读7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.8.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).9.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考纲解读命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.利用空间向量证明平行、垂直2017全国,T19(1)利用向量法证线面平行(考法1)2017全国,T18(1)用向量法证明面面垂直(考法2)2

3、.求空间角与距离2017全国,T18(2)2017全国,T19(2)2017全国,T19(2)2016全国,T18()2016全国,T19()求二面角(考法4)核心考点考题取样考查内容（对应考法）2.求空间角与距离2014全国,T19()2013全国,T18()求二面角(考法4)2016全国,T19()2015全国,T19()2013全国,T18()求线面角(考法3)3.立体几何中的探索性问题2016四川,T18()结论探索型(考法6)理科数学 第八章：立体几何续表1.分析预测从近五年的考查情况来看,利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点,考查频率较高,线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求

4、解,但向量法的使用有时可以加快求解速度,主要以解答题的形式出现,难度中等.2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力,以及转化与化归思想的应用.命题分析预测考点1空间直角坐标系考点2空间向量的有关定理及运算考点3利用空间向量解决立体几何问题理科数学 第八章：立体几何考点1空间直角坐标系1.右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图所示).2.点的坐标表示在空间直角坐标系中,任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示,这三个实数分别是点在x轴,y轴,z轴上

5、的坐标.考点2空间向量的有关定理及运算（重点）1.共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b0),共线向量定理可以分解为两个命题:ab存在唯一实数,使a=b;若存在唯一实数,使a=b,则ab.其中命题是空间向量共线的判定定理.2.共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使理科数学 第八章：立体几何注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.(3)基

6、底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.4.空间向量的运算(1)空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.(2)空间向量的坐标运算.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何考点3利用空间向量解决立体几何问题（重点）1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的非零向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.说明 (1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量;当直线平行于x轴,y轴或z轴时,直线的方向向量可分别取i=(1,0,0),j=(0,1,

7、0),k=(0,0,1).(2)平面法向量的求法.一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有无数多个,任意两个都是共线向量.理科数学 第八章：立体几何注意 求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给x,y,z中的一个变量赋一特殊值(常赋值-1,0,1),即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但n=(0,0,0)不能作为法向量.理科数学 第八章：立体几何2.利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(1)用向量表示立体几何中的平行、垂直关系 线、面位置关系向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v.lmaba=kb(kR).lauau=0

8、.uvu=kv(kR).lmabab=0.laua=ku(kR).uvuv=0.理科数学 第八章：立体几何(2)空间角设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面,的法向量分别为u,v.线线角若设直线l与m的夹角为,则cos=|cos|.线面角设直线l与平面所成的角为,则sin=|cos|.二面角理科数学 第八章：立体几何(3)空间距离点线距线线距两平行线间的距离,转化为点线距离;两异面直线间的距离,转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度.点面距思维拓展 用空间向量解决立体几何问题的步骤如下:(1)建系:根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系;(2)定坐标:确定点的坐标进而求出有关向量的

9、坐标;(3)向量运算:进行相关的空间向量的运算;(4)翻译:将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解.理科数学 第八章：立体几何B考法帮题型全突破考法1 利用向量法证明平行问题考法2 利用向量法证明垂直问题考法3 求线面角考法4 求二面角考法5 求空间距离考法6 立体几何中的探索性问题理科数学 第八章：立体几何考法1 利用向量法证明平行问题考法指导 1.证明线线平行:证明两条直线的方向向量共线.2.证明线面平行:(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的

10、向量线性表示.3.证明面面平行:(1)证明两个平面的法向量平行;(2)转化为线线平行、线面平行问题.注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.示例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.理科数学 第八章：立体几何思路分析建立空间直角坐标系求出平面A1BD的法向量线面平行理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何点评 本题证明线面平行,只需建立空间直角坐标系,求出已知平面的法向量,证明已知直线的方向向量与法向量垂直即可,注意说明 MN 平面A1BD.拓展

11、变式1如图1所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB 平面EFG.理科数学 第八章：立体几何解析 因为平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形,所以AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz,图1图2理科数学 第八章：立体几何考法2 利用向量法证明垂直问题考法指导 1.证明线线垂直:证明两直线的方向向量垂直,即证它们的数量积为零.2.证明线面垂直:(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线;(2)证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直;(3)证明直线

12、的方向向量与平面内的任一条直线的方向向量垂直.3.证明面面垂直:(1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行;(2)两个平面的法向量垂直.示例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.理科数学 第八章：立体几何思路分析线面平行建立空间直角坐标系求平面A1BD的法向量理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何拓展变式2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C和平面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1;(2)平面MBC1平面BB1C1C.理科数学 第八章

13、：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何考法3 求线面角考法指导 求直线与平面所成角的方法(1)定义法:作,在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这一步上确定垂足的位置是关键;证,证明所作的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;求,构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何思路分析 ()由梯形ABCD的性质,得DCBE,则DC平面PBE,从而AB与DC延长线的交点即为所求;()可以用传统法求解,也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解.解析()在梯形ABCD中,

14、AB与CD不平行.如图1,延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM 平面PBE,所以CM平面PBE.()解法一由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.理科数学 第八章：立体几何图1又PD平面PAD,从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH,如图1.易知PA平面ABCD,从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE

15、平面PAH.过A作AQPH于Q,如图1,则AQ平面PCE.理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何图2理科数学 第八章：立体几何考法4 求二面角考法指导 求二面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图1(1),AOB为二面角-l-的平面角;(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图 1(2),AOB为二面角-l-的平面角;(3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理

16、(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角,如图1(3),AOB为二面角-l-的平面角;图1理科数学 第八章：立体几何图2理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何思路分析 ()结合线面垂直的判定和性质得到BEBP,进而可得到所求的角;()由于EAG和CAG为两个全等的等腰三角形,因此可在两个三角形中作AG的高线,交于一点M,由二面角的平面角的定义可找到所求二面角的平面角,也可利用向量法求二面角.理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几

17、何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何考法5 求空间距离考法指导 求空间距离常用的方法(1)直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出垂线段,再通过解三角形求出距离.(2)间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解.(3)向量法:空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解.求点P到平面的距离的三个步骤:示例5如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,F,G分别是棱A1B1,AB,A1D1的中点.(1)求证:GE平面FCC1;(2)求点A1到平面BFC1的距离;(3

18、)求直线CD到平面BFC1的距离.理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何思路分析 根据已知条件建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,则第(1)问只需求出平面FCC1的法向量,然后验证直线GE的方向向量与平面FCC1的法向量共线即可;第(2)问可先求出平面BFC1的法向量,然后由向量数量积的几何意义即可求解点A1到平面BFC1的距离;第(3)问先根据直线CD与平面BFC1的位置关系,将所求距离转化为点到平面的距离,即可利用第(2)问的方法求解.解析因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,ABCD为等腰梯形,所以易得BF=BC=CF,即BCF为正三角形,所以BAD=ABC=6

19、0,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD.故以D为坐标原点,以DM,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何拓展变式4如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1EA1D;(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何考法6 立体几何中的探索性问题考法指导 1.条件追溯

20、型解决此类问题的基本策略是执果索因.其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,可将题设和结论都视为已知条件,即可迅速找到切入点.2.存在判断型 解决此类问题的策略:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.3.结论探索型解决此类问题的策略:先把题目读懂,全面、准确地把握题目所提供的所有信息和题目提出的所有要求,分析题目的整体结构,找好解题的切入点,对解题的主要过程有一个初步的设计,在此基础上建立空间直角坐标系,把所求的问题转化为空间几何体中的证明线面位置关系、角与最值等问题.理科数学 第八章：立体几何示例6如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.理科数学 第八章：立体几何思路分析建立空间直角坐标系得出异面直线NE与AM所成角的余弦值(1)(2)假设存在得出关于变量的方程求出的值验证得出结论理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何理科数学 第八章：立体几何