线性代数期末复习课件.ppt
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1、行列式的性质性质1:行列式与其转置行列式的值相等.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111复习性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211 性质3:推论:如果行列式有两行两行(列列)完全相同,则此行列式为零.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常数k乘行列式任意一行
2、的诸元素,等于用k乘这个行列式.性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.性质5:nnnnininiiiinaaabababaaaa21221111211nnnnnaaaaaa2111211nnnnnaaaaaa21112111 ia2iaina1 ib2ibinb注:性质3,性质5又称为线性性质性质6:在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数,k再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变.nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa21212111211nnnninjnijijiniinaaakaakaakaaaaaaaa2122112111211重要公式 TAAnA
3、,1阶方阵是 AAAnA1,21可逆阶方阵是 阶方阵是nAAkkAn3 阶方阵是nBABABABAAB,4 jijiAAankjkik0:51代数余子式的重要性质 nnmmmnBABAABBABA,1000*6 BAABBABAABnBA但一般则阶方阵是,7行列式计算(利用性质)方法:(1)化上(下)三角形法(2)降阶法(3)递归法例题例1.计算2421164214112111D解:法1(化上三角形法)计算方法:化上(下)三角形法;降阶法.05103420350021111413122rrrrrrD42rr 3500342005102111232rr 350031400051021113414
4、5rr 1457000314001510211157法2(降阶法)1413122rrrrrrD05103420350021111411jjjAa051342350可直接用对角线法则计算三阶行列式例2计算xaaaaxaaaaxaaaaxDn先观察再计算解:nDniirr21xaaaaaaxaanxanxanx)1()1()1(anxr)1(1xaaaaaaxa111 anx)1(或1cciaxaaxaaxaanx0000000001)1(1)1(naxanxaxaxax00000000011111arri anx)1(矩阵1.运算:+,-,数乘,乘法等.注意能运算的条件.矩阵乘法定义:smija
5、A nsijbB规定:A与B的乘积是一个nm阵nmijcC)(sjisjijiijbababac2211kjskikba1njmi,1;,1记作:ABC 2.注意注意:(1)矩阵乘法不满足交换律.但不是说对任意两个矩阵BA,一定有BAAB 例2002AdcbaBdcbaBAAB2222(2)两个非零非零矩阵的乘积可能是零零矩阵.(有别于数的乘法)例1111A1111B而若,0,0BA,0AB称A是B的左零因子.称B是A的右零因子.(3)一个非零矩阵如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.1111A1111B2222CCB 0,0ACAB结论:矩阵乘法不适合消去律矩阵乘法不适合消去律.ACA
6、B 不能推出CB 0A4221A1231B2117C101055ABAC0ACB 满足运算律(乘法有意义的前提下)结合律:数乘结合律:左分配律:右分配律:)()(BCACAB)()()(kBABkAABkACABCBA)(CABAACB)(又例3.特殊矩阵:单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵nnnE111nnnkkkkEnnaaaaaadiag2121),(nnnnnnnnnaaaaaLaaaaaaU1222111222112114.重要矩阵及运算性质转置矩阵可逆矩阵正交矩阵满足运算规律:TTA1A TBA2TTBA 矩阵的转置 TkA3TkA是数k TAB4TTABTkAAA21
7、TTTkAAA12对称矩阵:反对称矩阵:njiaaAjiijnn,2,1,若njiaaAjiijnn,2,1,若083801310例AAATnn是对称矩阵AAATnn是反对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵定义,唯一性,充要条件及推论,可逆矩阵的性质定义:,),(,A,A,的逆矩阵是并称可逆简称为可逆矩阵则称使得如果存在一个矩阵对于矩阵ABAEBAABB1,:AB即记作1A.,:1的逆矩阵是唯一的则是可逆矩阵若定理AA.0,:2AA则是可逆矩阵若定理AAAAA*1,0:3且可逆若定理奇异矩阵非奇异矩阵.0 AA可逆.,:1ABEBAEAB且则若推论例.,?,求其逆矩阵若可逆是否可逆下列矩阵BA101111
8、123A321bbbB101111123A解:02101111123A101111111111210111131101211221A111312222A012313223A111211331A111312332A112313333A11A12A13AAAA*112122012121,0321可逆时 BbbbB321bbbB3211111bbbB例,02112221122211211aaaaAaaaaA1A求1121122211aaaaAA例.,4,:,01032并求它们的逆矩阵都可逆证明设方阵满足方程EAAEAAEEAAEEAAEAA)3(10110)3(1032EEAEAEEAEA)(61)
9、4(6)(4(正交矩阵及其性质定义:.,为正交矩阵则称如果设AEAAATnn定理:的一组标准正交基的列向量组为阶正交矩阵为nRAnA定理:则阶正交矩阵皆是设,nBA 111 或A TAA12.31也是正交矩阵即AAT.4也是正交矩阵AB5.矩阵的初等变换及性质掌握初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵一般结论一般结论:.A,AkikiAEkiAkiE列乘的第表示行乘的第表示 .A,A列上加到第列乘的第表示行上加到第行乘的第表示jkikijAEikjAkijE.A,A,列对换列与第的第表示行对换行与第的第表示jijiAEjiAjiE初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的 EkiEkiE 1 EkijEkijE
10、EjiEjiE,kiEkiE11 kijEkijE1jiEjiE,1结论结论:可逆矩阵可以可逆矩阵可以表示为表示为若干个初等矩阵的若干个初等矩阵的乘积乘积.。矩矩阵阵时时,E E就就变变成成A A那那么么当当A A变变成成单单位位作作同同样样的的初初等等行行变变换换,阶阶单单位位矩矩阵阵E E如如果果对对可可逆逆矩矩阵阵A A和和同同推推论论2 21 11,AEEA,初初等等行行变变换换1AEEA初等列变换初等列变换例例31 11 11 12 21 11 11 12 20 0A A阵A的逆矩阵阵A的逆矩阵用初等行变换求可逆矩用初等行变换求可逆矩100111010211001120,EA 100
11、11100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr110100212121010010211212r1102121212523211A1101002121210102523210013212rrr向量概念:线性组合,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,向量组的等价,内积等 有关线性相关,无关,秩的重要定理,结论.结论:1.m个n维向量必线性相关.(mn)特别:m=n+12.n个n维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零.3.n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n个向量.4 n维向量空间n个向量线性无关,则任一
12、向量可由这n个线性无关向量表示,且表法唯一.向量组A:线性相关,则向量组B:也线性相关.反之,若向量组B线性无关,向量组A也线性无关.m,21121,mm若部分相关,则整体相关;若整体无关,则部分无关(2)设mjaaaaajrrjjjrjjj,2,1,111向量组A:线性无关,则向量组B:也线性无关.反之,若向量组 B线性相关,向量组A也线性相关.m,21m,21 若r 维向量线性无关,则在每个向量上添加m个分量所得到的新向量也线性无关.等价的说法:m 个分量所得到的新向量也线性相关.若r 维向量线性相关,则在每个向量上去掉定义:.1r2;,1,A,021:021的一个极大线性无关组为那么称向
13、量线性相关个任意线性无关满足个向量中有如果在对向量组AAArArr.的秩称为向量组数Ar注意:只含零向量的向量组没有极大无关组.规定:它的秩为零.极大线性无关组极大线性无关组.1本身是一个极大无关组一个向量组线性无关.,:.20210且表示法唯一线性表示中任一向量都可由组则向量的一个极大无关组向量组AAAAr问题问题:极大无关组是否唯一极大无关组是否唯一?定理定理:向量组与它的任意一个极大无关组等价向量组与它的任意一个极大无关组等价.结论结论:等价的无关向量组包含相同个数的向量.定理定理:向量组的任意两个极大无关组相互等价,从而所含向量个数相同.等等价价向向量量组组秩秩相相等等向量组的秩的求法
14、向量组的秩的求法介绍的简便而有效的方法介绍的简便而有效的方法:(1)以向量组以向量组 中各向量作为列向量中各向量作为列向量,构成矩阵构成矩阵A;s,21(2)对对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵B,B的非零行的非零行数即矩阵数即矩阵A的秩的秩,亦即原向量组的秩亦即原向量组的秩;(3)求出求出B的列向量组的极大无关组的列向量组的极大无关组;(4)A中与中与B的列向量组的极大无关组相对应的的列向量组的极大无关组相对应的部分列向量组部分列向量组,即为向量组即为向量组的极大无关组的极大无关组s,213),(),(),(),(求一个极大无关组与秩1401131302151201
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