沪科版九年级下册数学课件：24.2圆的基本性质(2).ppt

1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 你学过的具有对称性的图形有哪些？你学过的具有对称性的图形有哪些？ 等腰三角形等腰三角形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几 次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心 的直线的直线 实践探究实践探究 1. 1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 你是用什么方法解决

2、这个问题的你是用什么方法解决这个问题的? ? 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 其对称轴是任意一条过圆心的直线其对称轴是任意一条过圆心的直线. . 如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ? 用用折叠的折叠的方法方法即可解决这个问题即可解决这个问题. . 你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴? ? O A B O C D E 操作：操作：CDCD是圆是圆0 0的直的直 径，过直径上任一点径，过直径上任一点E E 作弦作弦ABCDABCD，将圆，将圆0 0沿沿 CDCD对折，比较图中的线对折，比较图中的线 段和弧，你有什么发现？段和弧，你有什么发现？ 猜想：猜想： AE=BE

3、, AE=BE, AD=BD,AC=BCAD=BD,AC=BC O A A B B C C D D MM 则则OA=OB.OA=OB. AM=BM.AM=BM. 点点A A和点和点B B关于关于CDCD对称对称. . O O关于直径关于直径CDCD对称对称, , 圆沿着直径圆沿着直径CDCD对折时对折时, ,点点A A与点与点B B重合重合, , ACAC和和BCBC重合重合, , ADAD和和BDBD重合重合. . AC =BC,AC =BC, AD =BD.AD =BD. CDABCDAB于于M M 证明：证明： 已知：已知：CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB是是O O的弦，且的弦

4、，且CDABCDAB于于M M， 求证：求证：AM=BMAM=BM， AC =BC, AD =BDAC =BC, AD =BD 叠叠 合合 法法 连接连接OA,OBOA,OB， 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。的两条弧。 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线） 垂直于弦垂直于弦 题设题设 结论结论 垂径定理垂径定理 错错 判断题：判断题： (1)(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦 (2)(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦

5、 (3)O(3)O中，中，OEOE弦弦ABAB于于E E，则，则AE=BEAE=BE o A B C D E (1) o A B C D E (2) O A B E (3) 错错 对对 垂径定理垂径定理 B A O D C E CDCD是直径是直径 CDABCDAB AE AE BEBE ACACBCBC ADADBDBD 几何语言表达：几何语言表达： CDAB, AB是是O的一条弦（非直径）的一条弦（非直径）,且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同与同 伴说说你的想法和理由伴说说你的想法和理由. 过点过点M作直径作直径CD. O 下图是轴对称图形吗下图是

6、轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? 发现发现: C D CD是直径是直径 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M A B 定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, ,并且并且 平平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. . 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备 （1 1）过圆心）过圆心 （2 2）垂直于弦）垂直于弦 （3 3）平分弦）平分弦 （4 4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5 5）平分弦所对）平分弦所对 的劣弧的劣弧 上述五

7、个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论。推出其他三个结论。 E D C O A B E C O A B D O A B c O E D C A B 下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ 例例2 2 如图，如图，O O的半径是的半径是5cm5cm，弦，弦ABAB为为6cm6cm。 求圆心求圆心O O到弦到弦ABAB的距离。的距离。 O A B E 圆心到弦的距离角弦心距。圆心到弦的距离角弦心距。 例例3 解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题 AB 赵州桥建于赵州桥建于14001400年前的隋朝，是我国石拱桥年前的隋

8、朝，是我国石拱桥 中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨 度（弧所对的弦长）为度（弧所对的弦长）为37.4m37.4m，弓高（弧的中点，弓高（弧的中点 到弦的距离）为到弦的距离）为7.2m7.2m。求桥拱所在圆的半径。求桥拱所在圆的半径 （精确到（精确到0.1m0.1m） B O D A C R 例例3 解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题 AB B O D A C R 如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的所在圆的 圆心为圆心为O O，半径为，半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线 OCOC

9、，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的，根据前面的 结论，结论，D D 是是AB AB 的中点，的中点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高 ABAB ABAB ABAB 解得：解得：R R27279 9（m m） B O D A C R 在在RtRtOADOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 即即 R R2 2=18.7=18.72 2+ +（R R7.27.2）2 2 赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.27.9m. OAOA2 2= =ADAD2 2+ +ODOD2 2 ,7.184.37 2 1

10、2 1 ABAD ABAB=37.4=37.4，CDCD=7.2=7.2， OD=OCOD=OCCDCD= =R R7.27.2 在图中在图中 计算如下计算如下 1.1.在在O O中，若中，若CD ABCD AB于于M M，ABAB为直径，为直径， 则下列结论不正确的是（则下列结论不正确的是（ ） 2.2.已知已知O O的直径的直径AB=10AB=10，弦，弦CD ABCD AB，垂，垂 足为足为M M，OM=3OM=3，则，则CD= CD= . . 3.3.在在O O中，中，CD ABCD AB于于M M，ABAB为直径，若为直径，若CD=10CD=10， AM=1AM=1，则，则O O的半

11、径是的半径是 . . O C C D D A A B B MM C C A A、AC=AD BAC=AD B、BC=BD BC=BD C C、AM=OM DAM=OM D、CM=DMCM=DM 8 8 1313 注意：解决有关弦的问题时注意：解决有关弦的问题时, ,半径是常用的一种半径是常用的一种 辅助线的添法往往结合勾股定理计算。辅助线的添法往往结合勾股定理计算。 判断：判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧. . （ ） 平分弦的直径一定垂直于这条弦平分弦的直径一定垂直于这条弦. . （ ） (3)(3)弦的垂直平分线一

12、定经过圆心弦的垂直平分线一定经过圆心. . （ ） 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 o o A A B B C C D D E E 证明：过证明：过O O

13、作作OEABOEAB于于E E， 在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于 弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作 弦的垂线段。弦的垂线段。 则则 AE=BE,CE=DEAE=BE,CE=DE AEAECE=BECE=BEDEDE 即即AC=BDAC=BD 已知：如图，在以已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦的弦ABAB交小圆于交小圆于C C、D D两点。两点。 求证：求证：AC=BDAC=BD (1)(1)如图如图, ,已知已知O O的半径为的

14、半径为 6 cm,6 cm,弦弦 ABAB与半与半 径径 OAOA的夹角为的夹角为 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的长的长. . O O A A O O C C A A B B M M (2)(2)如图如图, ,已知已知O O的半径为的半径为 6 cm,6 cm,弦弦 ABAB与半与半 径径 OCOC互相平分互相平分, ,交点为交点为 M , M , 求求 弦弦 AB AB 的长的长. . 6 6 3030 E E B B E 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂 线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助

15、线， 为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。 . C D A B O M N E . A C D B O . A B O O A B C D E 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的平分弦，并且平分弦所对的 两条弧两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 AM=BM, 由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 . , CDAB, 由由 CD是直径是直径 AM=BM , , 可推得可推得 垂径定理：垂径定理： 推论：推论： 几何语言表述几何语言表述 AC=BC AD=BD AC=BC AD=BD 掌握新技术，要善于学习，更要善掌握新技术，要善于学习，更要善 于创新。于创新。 邓小平邓小平