条件极值拉格朗日乘数法.ppt

1、实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 U(x,y)=lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108 yx拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数 ),(yxfz

2、在条件在条件 0),(yx 下的可能下的可能 极值点极值点,条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值先构造函数先构造函数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其中，其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 .0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 ,yx，其中，其中yx ,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可拉格朗日乘数法可推广推广到自变量多于两个的情况：到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数 ),(tzyxfu 在条件在条件 0),(tzyx，0),(tzyx 下的极值。下的极值。先构造函数先

3、构造函数（其中其中21 ,均为常数均为常数）),(),(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx .0),(,0),(,0),(,0),(,0),(,0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出 x,y,z,t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.解解 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则例例1 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x,y，z.体积为体积为 V.则问题就是条件则问题就是条件求函数求函

4、数的最大值的最大值.)0,0,0(zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF ,0,0,0.02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下，)22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF ,0,0,0.02222 axzyzxy即即 )4(0222)3()(2)2()(2)1()(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz ,0 ,0 ,0 zyx因因由由(2),(1)及及(3),(2)得得,zyzxyx ,zxyxzy ,0 ,0 ,0 zyx因因由由(2),(1)及及(3),(2)得

5、得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，.zyx 代入条件，得代入条件，得.02222 axxxxxx,622ax 解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以，最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，例例 2 2 将正数将正数 1212 分成三个正数分成三个正数zyx ,之和之和 使得使得 zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,12 0 020323322z

6、yxyxFyzxFzyxFzyx则则 )4(,12)3(,)2(,2)1(,323322zyxyxyzxzyx 由由(1)，(2)得得(5),32xy 由由(1)，(3)得得(6),31xz 即，得唯一驻点即，得唯一驻点)2 ,4 ,6(，.691224623max u将将(5)，(6)代入代入(4)：123132 xxx于是，得于是，得,6 x,4 y.2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值解解0102402222yxyyFxxFyx则小值。约束条件下的最大与最在方程求函数例12),(82222yxyxyxf)1(2),(2222yxyxyxF构造拉格朗日函数，），（），（），（），（解得可能条件极值点为01,01,10,10,1)0,1()0,1(,2)1,0()1,0(ffff计算出。，最小值为所以所求得的最大值为上必有最值，在有界闭集由于连续函数121/),(2 2222yxyxyx多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值条件极值无条件极值