选修2-1空间向量复习课课件.ppt

1、空间向量的复习空间向量的复习空间向空间向量与立量与立体几何体几何求空间距离求空间距离求空间角求空间角立体几何中立体几何中的向量方法的向量方法空间向量的空间向量的坐标运算坐标运算共线向量定理共线向量定理空间向量的空间向量的数量积运算数量积运算空间向量的空间向量的加减运算加减运算共面向量定理共面向量定理空间向量的空间向量的数乘运算数乘运算空间向量空间向量及其运算及其运算空间向量基本定理空间向量基本定理用空间向量证明平行与垂直问题用空间向量证明平行与垂直问题直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量向量夹角与距离向量夹角与距离平行与垂直的条件平行与垂直的条件知识网络知识网络知识归纳知识

2、归纳1.空间向量的概念及其运算与平面向量类似空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加减向量加减法的平行四边形法则法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律三角形法则以及相关的运算律仍然成立仍然成立.空间向量的数量积运算共线向量定理空间向量的数量积运算共线向量定理、共共面向量定理都是平面向量在课件中的推广面向量定理都是平面向量在课件中的推广,空间向量空间向量基本定理则是由二维到三维的推广基本定理则是由二维到三维的推广.2.是数形结合的纽带之一是数形结合的纽带之一,这是运用这是运用空间向量研究线线空间向量研究线线、线面线面、面面垂直的关键面面垂直的关键,通常可通常可以与向量的运算法则以与向

3、量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直有关运算律联系来解决垂直的论证问题的论证问题.3.公式公式 是应用空间向量求空间中各种是应用空间向量求空间中各种角的基础角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角用这个公式可以求两异面直线所成的角,再结合平面的法向量再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和可以求直线与平面所成的角和二面角等二面角等.0a bab cos,|a ba bab 4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关通过研究方向向量与法向量之

4、间的关系系,可以来确定直线与直线可以来确定直线与直线、直线与平面直线与平面、平面与平面的位置平面与平面的位置关系以及有关的计算问题关系以及有关的计算问题.5.用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法用空间向量判断课件中的位置关系的常用方法.(1)线线平行线线平行:证两直线的方向向量是共线向量证两直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直线线垂直:证两直线的方向向量垂直证两直线的方向向量垂直,即即(3)线面垂直线面垂直:证直线的方向向量与平面的法向量垂直证直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线;利用共面向量定理

5、利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线即证明可在平面内找到两不共线向量来线性变式直线的方向向量性变式直线的方向向量.0aba b (4)线面垂直线面垂直:证直线的方向向量与平面的法向量平行证直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行面面平行:证明两个平面的法向量平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量即是共线向量);转化为线面平行转化为线面平行、线线平行问题线线平行问题.(6)面面垂直面面垂直:证明两个平面的法向量互相垂直证明两个平面的法向量互相垂直;转化为线面垂直转化为线面垂直、线线垂直

6、问题线线垂直问题.6.运用空间向量求空间角运用空间向量求空间角.(1)求异面直线所成的角求异面直线所成的角:注意两异面直线所成注意两异面直线所成的角的范围的角的范围(2)求线面角求线面角:求直线与平面所成角时求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角通过数量积求出直线与平面所成角;另一种另一种方法是借助平面的法向量方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量先求出直线方向向量与平面法向量的夹角的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是其关系是cos,|a ba

7、bab (0,2 sin|cos|(3)求二面角求二面角:用向量法求二面角也有两种方法用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义一种方法市利用平面角的定义,在在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出然后求出这两个方向向量的夹角这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小由此求出二面角的大小;另一种方法市转另一种方法市转化为求二面角的两个面的法向量的夹角化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等它与二面角的大小相等或互补或互补.例例1 已知四棱锥已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形的底面为直角梯形,ABD

8、C，DAB=90,PA底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC=，AB=1，M是是PB的中点的中点 （）证明：面）证明：面PAD面面PCD；（）求）求AC与与PB所成的角；所成的角；（）求面）求面AMC与面与面BMC所成二面角的余弦所成二面角的余弦.12证明：以证明：以A为坐标原点为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2ABCDPM典例解析典例解析（）证明：因）证明：因由题设知由题设知ADDC，且，且AP与与AD是平面是平面

9、PAD内内的两条相交直线，由此得的两条相交直线，由此得DC面面PAD 又又DC在面在面PCD上，故面上，故面PAD面面PCD 0,.故所以AP DCAPDC (0,0,1),(0,1,0),APDC （）解：因）解：因(1,1,0),(0,2,1),ACPB|2,|5,2,10cos,.5|ACPBACPBACPBAC PBACPB 故故所所以以（）解：在）解：在MC上取一点上取一点N(x,y,z)，则存在，则存在 使使 要使要使可知当可知当 时时,N点坐标为点坐标为 能使能使 此时此时 为所求二面角的平面角为所求二面角的平面角,NCMC 11(1,1,),(1,0,),1,1,.22NCxy

10、zMCxyz ,R 45 12(,1,)5514,00,.25ANMCAN MCxz 只需即解得0,0,.AN MCBN MCANMC BNMCANB 由由得得所所以以0.AN MC 1212(,1,),(,1,)5555ANBN0BN MC 有有22cos(,).33|AN BNAN BNANBN 故所求的二面角的余弦值为30304|,|,.555ANBNAN BN VDCBAxzy例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥V-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧面侧面VAD是正三角形是正三角形,平面平面VAD底面底面 ABCD （）证明：）证明：AB平面平面VAD；（）求面）求

11、面VAD与面与面DB所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值.，证明：证明：以以D为坐标原点，建立如为坐标原点，建立如图所示的坐标系图所示的坐标系 （）证明：不妨设）证明：不妨设A(1,0,0)，则则B(1,1,0)，由由 得得ABVA，又，又ABAD，因而，因而AB与平面与平面VAD内内两条相交直线两条相交直线VA，AD都垂直都垂直 AB平面平面VAD 13(,0,)22V13(0,1,0),(,0,)22ABVA 0,AB VA VDCBAxzy（）解：设）解：设E为为DV中点，则，中点，则，由由因此，因此，AEB是所求二面角的平面角，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的余弦值为解得所求

12、二面角的余弦值为13(,0,)44E333313(,0,),(,1,),(,0,).444422EAEBDV 0,.得又EB DVEBDVEADV 21cos(,),7|EA EBEA EBEAEB 217PDCABzyx例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为为PD的中点的中点 （）求直线）求直线AC与与PB所成角的余弦值；所成角的余弦值；（）在侧面）在侧面PAB内找一点内找一点N，使，使NE面面PAC，3解：（解：（）建立如图所示的空间直）建立如图所示的空间直角坐标系，则角坐标系，

13、则A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,0)，3312从而从而设设 的夹角为的夹角为 ，则，则与所成角的余弦值为与所成角的余弦值为(3,1,0),(3,0,2).ACPB ACPB 与与33 7cos,142 7|AC PBACPB 3 714PDCABzyx（）由于）由于N点在侧面点在侧面PAB内，故可设内，故可设N点坐标为点坐标为(x,0,z)，由，由NE面面PAC可得，可得，即即N点的坐标为点的坐标为 ，从而，从而N点到点到AB和和AP的距离的距离分别为分别为1(,1)2NExz 110,(,1)(0,0,2)0,0,21130.0

14、.(,1)(3,1,0)0.22zxzNE APxNE ACxz 即即化化得得361xz 3(,0,1)631,6例例4 如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AD=AA1=1，AB=2,点点E在棱在棱AB上移动上移动 （1）证明：）证明：D1EA1D；（2）当）当E为为AB的中点时，求点的中点时，求点E到到ACD1面的距离；面的距离；（3）AE等于何值时，二面角等于何值时，二面角D1-BC-D的大小为的大小为 4 解：以解：以D为坐标原点，直线为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则，则A1

15、(1,0,1)、D1(0,0,1)、E(1,x,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)1111,(1,0,1),(1,1)0,.DA D ExDAD E （1）（2）因为）因为E为为AB的中点，则的中点，则E(1,1,0)，从而，从而 ，设平面的法向为，设平面的法向为 ，则则 也即也即 ，得，得 ，从而从而所以点到平面的距离为所以点到平面的距离为1(1,1,1),D E 1(1,2,0),(1,0,1)ACAD (,)na b c 10,0,n ACn AD 200abac (2,1,2)n 2abac 1|2121.33|D E nhn （3）设平面）设平面D1EC的法向量的法向量 ，由由

16、 令，令，依题意依题意 （不合，舍去），（不合，舍去），时，二面角时，二面角D1-EC-D的大小为的大小为(,)na b c 11(1,2,0),(0,2,1),(0,0,1),CExD CDD 10,20(2)0.0,n D Cbcab xn CE 1,2,2bcax (2,1,2).nx 121|222cos.422|(2)5n DDnDDx 123x 223x 23AE 4 由于空间向量兼具由于空间向量兼具“坐标坐标”、“几何几何”两种形式两种形式,使得空间向使得空间向量及其平行垂直的充要条件都有坐标形式和几何形式量及其平行垂直的充要条件都有坐标形式和几何形式,加之向量加之向量的数量积不仅是一个实数的数量积不仅是一个实数,而且与向量的夹角及其余弦值紧密相而且与向量的夹角及其余弦值紧密相关关,使得空间向量必然成为沟通数学各分支的重要工具使得空间向量必然成为沟通数学各分支的重要工具,通过空通过空间向量可以将立体几何中的一些复杂的问题间向量可以将立体几何中的一些复杂的问题,避开繁难的找作证避开繁难的找作证等过程等过程,只需进行向量的运算就可以解决只需进行向量的运算就可以解决.规律总结规律总结