虚功原理(微分形式的变分原理)课件.ppt
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- 关 键 词:
- 虚功 原理 微分 形式 课件
- 资源描述:
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1、7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)受有受有理想约束理想约束、定常约束定常约束的力学系统的力学系统,保持保持静静平平衡的必要衡的必要充分充分条件是作用于该系统的全部条件是作用于该系统的全部主动力主动力的虚功之和的虚功之和为零为零.01iniirF在直角坐标系中在直角坐标系中,上式写成上式写成 0)(1iiziiyiniixzFyFxF7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)当力学系统相对惯性系处于当力学系统相对惯性系处于 静静 平衡时平衡时,0RiiFFni,.,2,10)(iRiirFFni,.2,1011iniRi
2、iniirFrF必要条件的证明:必要条件的证明:对理想约束对理想约束0001iniirF7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)若系统的主动力虚功之和为零若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明:充分条件的证明:01iniirF对于受有理想约束的系统对于受有理想约束的系统 011iniRiiniirFrF力学系统的约束是定常的力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式力的实功之和也满足上式 0dd11iniRiiniirFrF根
3、据质点系的动能定理根据质点系的动能定理 0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T说明系统开始时静止说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止以后就会始终保持静止 7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)几点说明:几点说明:(1)普适性普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件在变动中寻找平衡的条件.例如单摆例如单摆 gmrgmr,0时时0 rgm,0时时0 rgm置置的的位位置置为为单单摆摆的的平平衡衡位位0(3)与牛顿力学不同与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上放在区分内力和外力上,而是放在区分而是放在
4、区分主动力主动力和和约约束力束力上上.7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)如图所示提升重物的装置如图所示提升重物的装置 ,以把手端点的弧坐标以把手端点的弧坐标s为广义坐标为广义坐标,设重物距地面高度为设重物距地面高度为h,根据虚功原理根据虚功原理 0hWsFshWF如果知道如果知道h和和s的函数关系的函数关系,通过上式通过上式,就可求出就可求出 F(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是是对对任意的任意的虚位移而言的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力由
5、于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由因此不能由虚功原理求出约束力虚功原理求出约束力,但是但是,通过通过释放约束释放约束或用或用不不定乘子法定乘子法,可以求出约束力可以求出约束力 7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)01iniirF0)(,1iiziiyiniixzFyFxF或或据虚功原理据虚功原理,有有为了得到广义平衡方程为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式广义坐标表述的形式.01qQs展开后写成展开后写成 02211 ssqQqQqQ01q若若相相互互独独立立q0,.,2sqq011qQ01Q在在完整系
6、完整系中中,7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)0,1q若若同同理理相相互互独独立立q0,.,31sqqq022qQ02Q推出推出,0Qs,2,1 广义平衡方程广义平衡方程 虚功原理又可叙述为虚功原理又可叙述为:对于受对于受完整的完整的、定常的定常的、理想约束的理想约束的力学系统力学系统,保持保持静平衡静平衡的必要充分条的必要充分条件是件是所有的所有的广义力都为零广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系对于主动力均为有势力的有势系,有有qVQ所以所以,广义平衡方程成为广义平衡方程成为 0qVs,2,1 01qqVs代入虚功原理中代入虚功原理中,有有0,
7、V即即7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)例题例题3 如图所示如图所示,匀质杆匀质杆OA,质量为质量为m1,长为长为l1,能在能在竖直平面内绕固定的光滑铰链竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动转动,此杆的此杆的 A端端用光滑铰链与另一根质量为用光滑铰链与另一根质量为m2,长为长为l2的匀质杆的匀质杆 AB相连相连.在在 B端有一水平作用力端有一水平作用力 .求处于静平衡时求处于静平衡时,两两杆与铅垂线的夹角杆与铅垂线的夹角1和和 2.FAl1Bl2FOxy121、判断约束类型、判断约束类型是否完整约束是否完整约束?是否理想约束是否理想约束?2、判断自由度、
8、判断自由度224s2211,qq个个变变量量两两点点的的位位置置,、4BA21,lABlOA7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)PR质量为质量为m的小环的小环P被限制在一个被限制在一个半径为半径为R的光滑大圆环上的光滑大圆环上,大圆大圆环绕过大环中心的铅垂轴以环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动的角速度均匀转动,以小环为系以小环为系统统,试确定其自由度试确定其自由度.质点在球坐标系中用质点在球坐标系中用r,描述描述Rr 0t非定常约束非定常约束1 s3、分析受力、分析受力(主动力主动力)ABFOxy12gm1111,yxCgm2222,yxCFgmg
9、m,217-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)4、由虚功原理、由虚功原理032211rFrgmrgm5、建立坐标系、建立坐标系(必须是静止坐标系必须是静止坐标系)xx032211xFygmygm6、转化成广义坐标、转化成广义坐标111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxy7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)1112111sinsin21coslgmgmF0sin21cos22222lgmF广义力广
10、义力广义力广义力互相独立互相独立和和由于由于210sin21cos0sinsin21cos2222111gmFgmgmF广义平衡方程广义平衡方程 7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)可求出系统处于静平衡时可求出系统处于静平衡时1,2所满足的方程所满足的方程:gmFgmmF221212tan22tan所以所以 gmFgmmF221212arctan22arctan7-3 7-3 虚功原理(微分形式的变分原理)虚功原理(微分形式的变分原理)法二法二 先求出广义力先求出广义力,再写出平衡方程再写出平衡方程s=2,所以有所以有2个广义力个广义力 1iiiqrFQ
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