江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末模拟测试数学试题.pdf

1、数学试卷 第 1 页（共 6 页）注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2022202320222023学年度学年度高三年级高三年级第一学期期末模拟测试第一学期期末模拟测试数学数学试题试题。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

2、答无效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 设集合|37AxxN，2|log(2)2Bxx，则AB=A|36xx B|36xx C456，D 45，2 设复数z的共轭复数为z，若(1i)izzC，则z对应的点位于复平面内的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 已知|22 3，aba b，则ab A62 B62 C624 D624 4等差数列 na的前n项和为nS，55a，728S，则202211kkS A20211011 B40442023 C20231012 D2 5 如图，有一壁画，最高点A处

3、离地面 12m，最低点B处离地面 7m若从离地高 4m 的 C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为 A6m B3m C 4m D2 6m O x y 6 12 3 3 A（第 6题）B C 12 4 7（第 5 题）5 数学试卷 第 2 页（共 6 页）6 已知函数()sin002f xAxA，的部分图象如图所示，若把()f x图 象上所有点向左平移6个单位，得到函数()g x的图象，则()g x A3sin2x B3sin 23x C3sin 26x D3cos2x 7 椭圆22221(0)yxCabab：经过点(03)，点F是椭圆的右焦点，点 F 到左顶点的 距离和到右准线的距离相等 过

4、点 F 的直线l交椭圆于 A，B 两点（A 点位于 x 轴下方），2且AFBF，则直线 l 的斜率为 A1 B2 C52 D5 8 设min.a aba bb ab，若函数12()min e21xf xxxmx，有且只有三个零点，则实数m的取值范围为 A12，B34，C1，D54，二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 已知变量 y 与 x 具有线性相关关系，统计得到 6 组数据如下表：x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5

5、 24 若 y 关于 x 的线性回归方程为0.8yxa，则 A变量 y 与 x 之间正相关 B14.4y C6.8a D当12x 时，y 的估计值为15.6 10 已知函数 yf x的导函数为 yfx，则 A若 yf x在xa处取得极值，则 0fa B若函数 yf x在a b，上是减函数，则当xa b，时，0fx C若 yf x为偶函数，则 yfx是奇函数 D若 yf x是周期函数，则 yfx也是周期函数 数学试卷 第 3 页（共 6 页）A D B C E F G H 11 已知函数 f(x)=cosx+1cos x，则 Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)

6、的图象关于直线x 对称 Df(x)的图象关于02，中心对称 12 如图，矩形 ABCD 中，210 2ADAB，边AD BC，的中点分别为E F，直线 BE 交 AC 于点 G，直线 DF 交 AC 于点 H现分别 将ABE，CDF沿BE DF，折起，点A C，在 平面 BFDE 同侧，则 A当平面AEB 平面BEDF时，AG 平面BEDF B当平面/AEB平面CDF时，/AECD C当A C，重合于点P时，二面角PDFB的大小等于60 D 当A C，重合于点P时，三棱锥PBEF与PDEF 外接球面公共圆的周长为10 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若双曲线22

7、22:100yxCabab，的离心率为2，则C的两条渐近线所成的角等于 _ 14 写出一个同时具有下列性质的函数解析式为()f x _ 不是常数函数；()()0fxf x；(1)(1)fxfx 15 若521axxxx 的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中4x的系数是_ 16早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅 原理：幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果 被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等将 双曲线221:13yCx 与03yy，所围成的平 面图形（含边界）绕其虚轴

8、旋转一周得到如图所示 的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B 和C为直线3y 分别与与双曲线一条渐近线及右 CBAO数学试卷 第 4 页（共 6 页）支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是_，几何体的体积为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，22caab （1）证明：2CA；（2）若3a，1sin3A，求ABC的面积 18（12 分）已知正项数列 na的前n项和为nS，且222220nnSnnSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）若nnba 19（12的

9、前100项的和T100lg（其中x表示不超过x的最大整数），求数列bn分）如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/ADBC，N为PB的中点（1）若点M在AD上，2AMMD，34ADBC，证明：/MN平面PCD；（2）若34PAABACADBC，求二面角DACN的余弦值 A P M D C B N 数学试卷 第 5 页（共 6 页）20（12 分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间20 32，内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小

10、于28 mm的棉花为优质棉（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知抽取的容量为120的样本棉花产自于 A B，两个试验区，部分数据如下22列联表：A试验区 B试验区 合计 优质棉 10 非优质棉 30 合计 120 将22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与 A B，两个试验区有关系；（3）若从这批 120 个样本棉花中随机抽取 3 个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望E X 注：独立性检验的临界值表：20Px 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87

11、9 10.828 22()()()()()n adbcab cdac bd，其中nabcd O mm 20 22 24 26 28 30 32 a 4a 2a 0.200 频率组距数学试卷 第 6 页（共 6 页）21（12 分）已知椭圆2222:10yxCabab的离心率为63，直线l过C的焦点且垂直于x轴，直线l被C所截得的线段长为2（1）求 C的方程；（2）若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在 C上，PAPB，60PAB，求PAB的面积 22（12 分）已知函数22()exaxxf x（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若1a，证明：1()02f xxx 一、选

12、择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40数学试题数学试题参考参考2022202320222023学年度高三年级第一学期期末模拟测试学年度高三年级第一学期期末模拟测试答案与解析答案与解析分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 设集合|37AxxN，2|log(2)2Bxx，则AB=A|36xx B|36xx C456，D 45，【答案】D【解析】因为2|log(2)2Bxx=|26xx，|37AxxN，所以AB=45，2设复数z的共轭复数为z，若(1i)izzC，则z对应的点位于复平面内的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】因为(1i)

13、izzC，所以i11i1i22z ，11i22z ，所以z对应的点位于复平面内的第三象限 3 已知|22 3，aba b，则ab A62 B62 C624 D624【答案】A【解析】因为|22 3，aba b，所以2222|2222 3284 326abaa bb 4等差数列 na的前n项和为nS，55a，728S，则202211kkS A20211011 B40442023 C20231012 D2【答案】B 【解析】设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有1145767282adad，解得111ad，数列的前 n 项和111111222nn nn nn nSnadn ，裂项可得12112

14、()(1)1kSk kkk，所以20221111111140442(1)()()2(1)2232022202320232023kkS 5 如图，有一壁画，最高点A处离地面 12m，最低点B处离地面 7m若从离地高 4m 的 C处观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为 A6m B3m C 4m D2 6m【答案】D【解析】设离墙的距离为 x m，则8355tan8 3242 241xxxx xx，当且仅当242 6xxx，即时去等号 6 已知函数()sin002f xAxA，的部分图象如图所示，若把()f x图 象上所有点向左平移6个单位，得到函数()g x的图象，则()g x A3sin2x B

15、3sin 23x C3sin 26x D3cos2x【答案】D【解析】由函数()sin002f xAxA，的部分图象，得 O x y 6 12 3 3 A（第 6题）B C 12 4 7（第 5 题）5 23 4126A，所以2，又因为当6x时，函数()f x取得最大值，所以2262k，即26kkZ，又因为2，所以6，()3sin 26f xx 所以()3sin 23sin 23cos26662g xf xxxx 7 椭圆22221(0)yxCabab：经过点(03)，点F是椭圆的右焦点，点 F 到左顶点的 距离和到右准线的距离相等 过点 F 的直线l交椭圆于 A，B 两点（A 点位于 x 轴

16、下方），且2AFBN，则直线 l 的斜率为 A1 B2 C52 D5【答案】C【解析】设椭圆的焦距为2c，由椭圆经过点(03)，得3b，由点 F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等 得2aaccc，又222abc，由可得2a，1c，所以椭圆C的标准方程为22143yx 设11(,)A x y,22(,)B xy,10y 由2AFBN得，)1(2121xx 即2123xx 由第二定义可得M到右准线的距离是N到右准线的距离的 2 倍 即）（21424xx 由解得211x，代入椭圆方程，13 54y ，所以直线的斜率为52 8设min.a aba bb ab，若函数12()min e21xf xxx

17、mx，有且只有三个零点，则实数m的取值范围为 A12，B34，C1，D54，【答案】C【解析】设 1exg xx，则 1e1xgx，由 1e10 xgx，得1x；由 1e10 xgx，得1x，所以函数 1exg xx在(1，上单调递减，在1，上单调递增，所以0min()(1)e10g tg，即得函数 1exg xx有且只有一个零点1，且当1x 时，1e0 xg xx 又因为2()21h xxmx 在(m，上单调递增，在m，上单调递减，且函数2()21h xxmx 至多有两个零点，又函数12()min e21xf xxxmx，有且只有三个零点，所以函数2()21h xxmx 一定有一个零点大于1

18、，另一个零点小于1，所以 1220hm，所以1m 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知变量 y 与 x 具有线性相关关系，统计得到 6 组数据如下表：x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 若 y 关于 x 的线性回归方程为0.8yxa，则 A变量 y 与 x 之间正相关 B14.4y C6.8a D当12x 时，y 的估计值为15.6【答案】AB【解析】选项 A：因为 y 关于 x 的线性回归方程为0.8yxa

19、，所以0.80b，所以变量 y 与 x 之间正相关故选项 A 正确；选项 B：因为18.19.41214.418.52414.46y，所以选项 B 正确；选项 C：因为1247101522106x，所以14.40.8 10a，所以6.4a 故选项 C 不正确；选项 D：因为 y 关于 x 的线性回归方程为0.86.8yx，所以当12x 时，0.8 126.416y，所以选项 D 不正确 10已知函数 yf x的导函数为 yfx，则 A若 yf x在xa处取得极值，则 0fa B若函数 yf x在a b，上是减函数，则当xa b，时，0fx C若 yf x为偶函数，则 yfx是奇函数 D若 yf

20、 x是周期函数，则 yfx也是周期函数【答案】ACD【解析】选项 A：因为函数 yf x在xa处取得极值，所以根据函数极值的定义，导函数 yfx在a的左右两侧符号相反，在xa时，导函数值 0fa故选项 A 正确；选项 B：函数3()f xx 在1 1，上是减函数，当1 1x ，时，230 xfx ，所以选项 B 不正确；选项 C：因为 yf x为偶函数，所以()fxf x，所以()fxfx，所以 yfx是奇函数故选项 C 正确；选项 D：设()yf x是周期为(0)T T 的周期函数，则()()f xTf x，所以()()fxTfx，所以()yfx也是周期为(0)T T 的周期函数故选项 D

21、正确 11已知函数 f(x)=cosx+1cos x，则 Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 A D B C E F G H Cf(x)的图象关于直线x 对称 Df(x)的图象关于02，中心对称【答案】BCD【分析】因为cosx可以为负，所以 A 错；因为11()cos()cos()cos()cosfxxxf xxx，所以()f x为偶函数，f(x)的图象关于 y 轴对称，B 正确；1(2)cos(2)()cos(2)1()cos()(),cos()fxxf xxfxxf xx，所以 f(x)的图象关于直线x 对称，关于02，中心对称，故 C D 正确 12如图，矩形

22、ABCD 中，210 2ADAB，边AD BC，的中点分别为E F，直线 BE 交 AC 于点 G，直线 DF 交 AC 于点 H现分别 将ABE，CDF沿BE DF，折起，点A C，在 平面 BFDE 同侧，则 A当平面AEB 平面BEDF时，AG 平面BEDF B当平面/AEB平面CDF时，/AECD C当A C，重合于点P时，二面角PDFB的大小等于60 D 当A C，重合于点P时，三棱锥PBEF与PDEF外接球面公共圆的周长为10【答案】ACD【解析】因为在矩形 ABCD 中，210 2ADAB，边AD BC，的中点分别为E F，所以10 35 6113333AGACEGBE，所以EG

23、EAGAAB，EGAEAB，所以90EGA，ACBE，同理ACDF 选项A：因为平面AEB 平面BEDF，平面AEB平面BEDFBE，又AGBEAG，平面AEB，所以AG 平面BEDF故选项A正确；选项B：因为AGBE，/FHDFBEDC，所以A C G H，四点在同一平面内，又因为平面ABE 平面AGHCAG，平面CDF 平面AGHCCH，所以由平面/ABE平面 CDF，得/AG CH，又AGCH，所以四边形 AGHC 是平行四边形，所以/AC GH 取HD的中点Q，连接CQ EQ，则EGQH，又/EGQH，所以四边形EGHQ是平行四边形，所以/EQGHAC，EQGHAC，所以四边形AEQC

24、是平行四边形，/AECQ故选项B不正确；选项C：连接PG，因为PHDF GHDF，所以PHG为二面角 PDFB的平面角 又因为PHHGPG，所以60PHG故选项C正确；选项D：因为90BPEBFE，90DPFDEF，所以三棱锥PBEF的外接球的直径 为BE，球心为BE的中点，半径等于 5 6122BE，三棱锥PDEF的外接球的直径为DF，球心为DF的中点，半径等于 5 6122DF，所以两外接球心间的距离为15 22AD，A D E G C H F B Q P D E G H Q F B 所以三棱锥PBEF与PDEF外接球面公共圆的半径为 225 65 2522 所以公共圆的周长为2510故选

25、项D正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若双曲线2222:100yxCabab，的离心率为2，则C的两条渐近线所成的角等于 _【答案】90【解析】因为双曲线2222:100yxCabab，的离心率为2，所以222aba，即得1ba，又因为C的两条渐近线方程为byxa，所以C的两条渐近线的斜率为1，倾斜角分别为45135，方程为yx，所以C的两条渐近线所成的角为90 14写出一个同时具有下列性质的函数解析式为()f x _ 不是常数函数；()()0fxf x；(1)(1)fxfx【答案】cos x（答案不唯一）【解析】由()()0fxf x，得()()fxf x

26、，所以函数()f x是偶函数，所以由(1)(1)fxfx，得()f x的是图象关于 x=1 对称，()cosf xx符合题意 15 若521axxxx 的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中4x的系数是_【答案】9【解析】令1x，则55(2)32433a，解得1a 52xx展开式的通项公式为 55 2155C2 C2rrrrrrrTxxx，所以5211xxxx 的展开式中4x的系数是001552C2C9 16早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖暅 原理：幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果 被平行于这两个平面的任意平面所截

27、，两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等将 双曲线221:13yCx 与03yy，所围成的平 面图形（含边界）绕其虚轴旋转一周得到如图所示 的几何体，其中线段OA为双曲线的实半轴，点B 和C为直线3y 分别与与双曲线一条渐近线及右 支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形的面积是_，几何体的体积为_【答案】4 33，【解析】因为(13)(23)BC，所以线段BC旋转一周所得的图形的面积 22S 因为被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，所以根据祖暅原理，得：几何体的体积为 2231333V 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程

28、或演算步骤。17（10 分）已知ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，22caab （1）证明：2CA；（2）若3a，1sin3A，求ABC的面积 【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，2222coscababC，因为22caab，所以2222cosaabababC，所以2 cosbaaC 2 分 由正弦定理得，sinsin2sincosBAAC，所以sinsinsincoscossinBACACAC，CBAO 所以cossinsincossinACACA，sinsinCAA 4 分 因为 A，B，C 是三角形内角，所以CAA，即2CA.5 分（2）因为1sin3A，(0,)A

29、，所以22 2cos1sin3AA，所以4 2sinsin22sincos9CAAA，227coscos2cossin9CAAA，7 分 172 24 223sin=393927B 8 分 由正弦定理得，sinsinacAC，所以sin4 2sinaCcA，所以ABC的面积112346 2sin3 4 222279SacB 10 分 18（12 分）已知正项数列 na的前n项和为nS，且222220nnSnnSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）若lgnnba（其中 x表示不超过x的最大整数），求数列 nc的前100项的和100T 【解析】(1)由222220nnSnnSnn得：220nn

30、SSnn 因为 na为正项数列，所以0nS，所以2nSnn 2 分 当1n 时，112aS；当2n 时，221112nnnaSSnnnnn 4 分 经检验：12a 满足2nan 所以2nan nN 6 分（2）lg 2nbn 7 分 10012100Tccc lg2lg4lg8lg10lg98lg100lg200 4 045 1 51 2147 12 分 19（12 分）如图，四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，/ADBC，N为PB的中点（1）若点M在AD上，2AMMD，34ADBC，证明：/MN平面PCD；（2）若34PAABACADBC，求二面角DACN的余弦值【解】（1）在四棱锥PA

31、BCD中，取PC的中点T，连接DT TN，由N为PB中点，知/TNBC，12TNBC 1 分 因为2AMMD，34ADBC，所以2132MDADBC，又因为/ADBC，所以/TNDM，TNDM，3 分 四边形DMNT为平行四边形，所以/MNDT 4 分 又因为DT 平面PCD，MN 平面PCD，所以/MN平面PCD 5 分（2）因为ABAC，所以ABC为等腰三角形，取BC的中点E，连接AE，则AEBC，又因为/ADBC，所以AEAD 因为PA 平面ABCD，所以APAD APAE，分别以AB AD AP，所在 A P M D C B N T A P D C B N z y x E 的直线为x

32、y z，轴，建立 如图所示的空间直角坐标 系Axyz，又因为34PAABACADBC，所以0 0 00 3 05 2 052 00 0 3ADCBP，因为N为PB中点，所以53122N，所以535 2 0122ACAN，7 分 设平面ACN的法向量为x y z，n，所以1505 225302205322ACx y zxyANx y zxyz，nn 令5y ，得平面ACN的一个法向量为4 5253，n 9 分 又因为平面ACD的一个法向量为0 0 1，m，10 分 所以2224 5250 0 134 5cos1614 5253 ，m n 设二面角DACN的大小为，所以221sin114 59 1

33、61cos16161，m n 12 分 20（12 分）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间20 32，内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28 mm的棉花为优质棉（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知抽取的容量为120的样本棉花产自于 A B，两个试验区，部分数据如下22列联表：A试验区 B试验区 合计 优质棉 10 非优质棉 30 合计 120 将22列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质棉与 A B，两个试 验

34、区有关系；（3）若从这批 120 个样本棉花中随机抽取 3 个，其中有X个优质棉，求X的分布列和数学期望E X 注：独立性检验的临界值表：20Px 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中nabcd【解】（1）根据频率分布直方图中的数据，有2(2440.200)1aaaaa，所以0.025a 2 分（2）根据频率分布直方图，知 120 个样本棉花中优质棉共有 120(0.10020.0252)30个

35、完整22列联表如下：A试验区 B试验区 合计 优质棉 10 20 30 非优质棉 60 30 90 合计 70 50 120 所以22120(10302060)10.310.82870503090 5 分 所以没有99.9%的把握认为优质棉与 A B，两个试验区有关系 6 分（3）由频率分布直方图，知 120 个样本棉花中，纤维长度不小于28 mm的优质棉的 概率为14，从中随机抽取 3 个，其中有X个优质棉，则134XB，03031127(0)14464P XC；12131127(1)14464P XC；223119(2)14464P XC；3033111(3)14464P XC 所以X的分

36、布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 10 分 所以X个优质棉的数学期望为30123646464644272791E X 或13344E X 12 分 已知椭圆21（12 分）高中试卷君2222:10yxCabab的离心率为63，直线l过C的焦点且垂直于x轴，直线l被C所截得的线段长为2（1）求 C的方程；（2）若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，PAPB，60PAB，求PAB的面积【解】（1）设椭圆2222:10yxCabab的半焦距为c，则直线l的方程为xc，由22221xyxabc，得2422221xaccbyba，所以直线l被C

37、所截得的线段长为222ba，即222ba，2 分 又22232cacba，所以2 22.ab，所以 C的方程为22182yx 4 分（2）由（1）得02P，因为A在 x轴的负半轴上，所以直线PA的 斜率存在且大于0，又PAPB，所以直线PB的斜率存在且小于0，设直线PB的方程为20ykxk，则 直线PA的方程为120yxkk，令0y，得2xk，即20Ak，所以222PAk 6 分 由221822yxykx，得22148 20kxkx，所以28 2014kxxk，即2228 28 221414kkBkk，所以22228 218 211414kkkPBkkk 8 分 因为在PAB中，PAPB，60

38、PAB，所以3PBPA，即2228 21322014kkkkk，即24 38300kkk，所以3326kk ，10 分 当32k 时，2144222322PAkPBPA，PAB的面积为7 3124PABSPA PB 当36k 时，2782622362PAkPBPA，PAB的面积为13 31212PABSPA PB 12 分 O P A B x y 22（12 分）已知函数22()exaxxf x（1）讨论函数()f x的单调性；（2）若1a，证明：1()02f xxx【解】（1）由22()exaxxf x，得 22222 e2e212()eexxxxaxaxxaxaxfx，1 分 因为2241

39、8440aaa，当0a 时，由2 1()0exxfx，得1x；由2 1()0exxfx，得1x 2 分 当0a 时，由()0fx，得221111aaaaxaa ；由()0fx，得221111aaaaxxaa ，3 分 当0a 时，由()0fx，得221111aaaaxxaa ，；由()0fx，得221111aaaaxaa 4 分 所以当0a 时，函数()f x在1，上单调递增，在1，上单调递减；当0a 时，函数()f x在221111aaaaaa ，上单调递增，在 221111aaaaaa ，上单调递减；当0a 时，函数()f x在221111aaaaaa ，上单调递减，在 221111aaa

40、aaa ，上单调递增 5 分（2）方法方法 1：当1a 时，22()exxxf x，所以1()02f xxx等价于21e202xxxx 设21()e102xg xxxx，则()e10 xg xxx，设()()e10 xh xg xxx，则()e100 xh xx，所以()()e1xh xg xx在0，上是增函数，7 分 所以0()(0)e100g xg，所以21()e12xg xxx在0，上是增函数，8 分 所以21()e1(0)02xg xxxg，所以21e102xxxx 10 分 所以当0 x 时，222111e212222xxxxxxxxx 2323111111110242224xxxx

41、x 所以1()02f xxx 12 分 方法方法 2：当1a 时，22()exxxf x，所以1()02f xxx等价于2212exxxx，即210022exxxxx，6 分 设 21022exxxg xxx，则 2222 123e13e2222exxxxxxgxxx 设232()2 123e2343e0 xxh xxxxxx，则2()2363e00 xh xxxx，所以函数32()2343exh xxx在0，上是减函数 8 分 因为(0)50h，2353332123e555h 676319127676454131303755225612537525025，所以存在唯一的0305x，使得00h

42、 x，即032002343e0 xxx 所以当00 xx时，00h xgx，函数 g x在00 x，上是增函数；当0 xx时，00h xgx，函数 g x在0 x，上是减函数，所以当0 xx时，函数 g x取得极大值也是最大值 所以 0000max02122exxxg xg xx，又因为02002 123e0 xxx，所以02002e123xxx，所以 32000022max00000321232222 122 12xxxxg xxxxxx 10 分 因为0305x，且函数32232yxx在305，上是增函数 所以2002 120 xx，3232003361232232055125xx，所以 32002max0023202 12xxg xxx 所以 21022exxxg xx，即得1()02f xxx 12 分