人教B版高中选修2-1数学课件：3.1 两个向量的数量积 .ppt

1、庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 两个向量的数量积 教学过程 一、几个概念一、几个概念 1 1） 两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义 O O A A B B a a b b 夹夹 角角 的的 顶顶 点点 为为 两两 个个 向向 量量 的的 起起 点点 10, a b 注意：（）范围： (2),a bb a (3), 2 ,0 , a bab aba bab a bab 如果则称 与 互相垂直， 并记作：;如果，则 与 同向, 如果，则 与 反向 2）. 异面直线异面直线 (1)异面直线的定义异面直线的定义 _的两条直线叫做异面直线的两条直线叫做异面直线 (2)两条异面直线所成的

2、角两条异面直线所成的角 把异面直线把异面直线_，这时两条直线的夹，这时两条直线的夹 角角(_)叫做两条异面直线所成的角 如果所成叫做两条异面直线所成的角 如果所成 的角是的角是_，则称两条异面直线互相垂直，则称两条异面直线互相垂直 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内 平移到一个平面内平移到一个平面内 锐角或直角锐角或直角 直角直角 3 3）两个向量的数量积）两个向量的数量积 注意：注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。 bababa ba babababa aaOAaOA ,cos

3、, ,cos, , 即记作： 的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量 记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设 3cos, a b a b a b （ ）公式变形：向量夹角公式： 数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积。的乘积。 a ba|ab a|cosb 二、二、. .空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 2 22 1)cos, 4) | | 2)0 3) aa a a eaa e a a aba b a bab a 注意：性质注意：性质2 2）是证明）是证明两向量垂直两向量垂直的依据；的依据； 性质性质3 3）是）是求向量的长度（模）

4、求向量的长度（模）的依据；的依据； （）性质（）性质5 5是是求两个向量夹角求两个向量夹角的依据；的依据； 对于非零向量对于非零向量 ，有：，有： ,a b 5)cos, a b a b a b 三三. .空间向量的数量积满足的运算空间向量的数量积满足的运算 律律 注意注意： 分配律） 交换律） ()(3 ()2 )()() 1 cabacba abba baba 数量积不满足结合律数量积不满足结合律 )()a bcab c （ 22 2 22 222 2 12 (2) (3)222 ababa b ab abab abcabca bb cc a （）（） （） （） 结论： 课堂练习课堂练习

5、 2 2. . 2 2 2 ,2 2 aba b 已已知知, , 则则ab与与的的夹夹角角大小为大小为_. . 22 2 22 1. 10,00( ) 2)()()( ) 3)()( ) 4)( ) 5)( ) a bab a bcab c pqp q aba b pqpqpq 判断真假： ） 若则或 135 3 3. .设设a , ,b , ,c 是任意的非零是任意的非零空间空间向量向量, ,且相互不共线且相互不共线, , 则：则： ( (a b ) )c ( (c a ) )b =0=0 | |a | |- -| |b |a b | | ( (b c ) )a ( (c a ) )b 不与

6、不与c 垂直垂直 (3(3a +2+2b ) )(3(3a 2 2b )=9|)=9|a | | 2 2- - 4 4 b 2 2 中中, ,真命题是真命题是( ( ) ) (A)(A) (B) (B) (C) (C) (D) (D) D 例例 1 1. .如图， 在空间四边形如图， 在空间四边形ABCD中，中，2AB ，3BC ， 2 3BD ，3CD ，30ABD，60ABC， 求求AB与与CD的夹角的余弦值的夹角的余弦值 奎屯 王新敞 新疆 解：解：CD BDBC， AB CDAB BDAB BC | | cos,ABBDAB BD | | cos,ABBCAB BC 2 2 3cos1

7、502 3 cos120633 31 cos, 2 32| | AB CD AB CD ABCD ， AB与与CD的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 1 2 数量积的应用（一）求线线角 变式变式 设设A、B、C、D是空间不共面的四点是空间不共面的四点,且满足且满足 则则BCD是是 ( ) A.钝角三角形钝角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.锐角三角形锐角三角形 D.不确定不确定 0,0,0AB ACAB ADAC AD C C 例例2 2 已知在平行六面体已知在平行六面体 中，中， , , , , 求对角线求对角线 的长。的长。 ABCDABCD 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABA

8、DBAADAA AC A D C B 数量积的应用（二）求线段长度 |85AC 例例3 如图，已知线段如图，已知线段 在平面在平面 内，线段内，线段 ，线段，线段 ，线段，线段 ， ，如，如 果果 ，求，求 、 之间的距离。之间的距离。 AC BDAB DD 30DBD ,ABaACBDbCD AB 解：由解：由 ，可知，可知 . . 由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22 222 2222 22 |() |2 22 2cos120 CDCD CDCAABBD CAABBDCA AB CA BDAB BD babb ab 22 CDab b a b C AB D

9、 D 课堂练习 A B A1 C1 B1 C 1.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中, 若若AB= BB1,则则AB1与与C1B所成角所成角 的大小为的大小为( ) A. B. C. D. 2 10575 9060 B 2 2. .已知向量已知向量, a b满足满足1,2,3aba b, , 则则a b_._. 1 1 3.已知已知2a ，3b ， 且， 且a与与b的夹角为的夹角为 2 ， 32cab，dmab， 求当求当 m 为何值时为何值时cd。 5.已知已知a和和b是非零向量，且是非零向量，且a=b=ab， 求求a与与ab的夹角的夹角。 30 7.已知已知4a ，2b

10、 ，且，且a和和b不共线，不共线， 求使求使ab与与ab的夹角是锐角时的夹角是锐角时的的 取值范围取值范围。 (2，2) 4.已知已知2ab，且，且a与与b的夹角为的夹角为 3 ， 则则ab在在a上的投影为上的投影为 。 O AC B () | |cos| |cos | |cos 证证明明：因因为为OA BCOA OCOB OA OCOA OB OAOCOAOB OAOB | |cos 0 OAOB OABC OABCOBOC AOBAOCOABC 例例4 4、已已知知空空间间四四边边形形， ，求求证证： 数量积的应用（三）证明垂直 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC

11、1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1 B1 C1 A D D1 证明：证明： C B A1 B1 C1 A D D1 同理可证，同理可证， A1CB1D1 由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 1 11111 AC ACBCACB D 练：在正方体中， 求证：， C B A1 B1 C1 A D D1 结论结论:正方体的对角线与每个面中与之正方体的对角线与每个面中与之 为异面直线的对角线垂直为异面直线的对角线垂直 小 结： 到目前为止，我们可以利用向量数量积解决立体 几何中的以下几类问题： 1、证明两直线垂直。 2、求两点之间的距离或线段长度。 3、求两直线所成角的余弦值等等。 欢迎你的提问！ 课本第 88.89页练习题、习题 能力培养