人教B版高中选修2-3数学课件：1.3.2 杨辉三角.ppt

1、 011 ()n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b 2.二项式系数：二项式系数： n nnnn CCCC、 210 3.指数规律：指数规律： 1.项数：项数： 展开式共有展开式共有 项项 二项式定理二项式定理 )( Nn 4. 通项：通项： ),0 ( 1 NnNrnrbaCT rrnr nr （1）各项的次数均为）各项的次数均为 （2） 的次数的次数 的次数的次数 a b 1.项数：项数： 1n ; n 0n由 逐次降到 ； n由0逐次升到 ； 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 0 0 1 1

2、 C C 1 1 1 1 C C 0 0 2 2 C C 1 1 2 2 C C 2 2 2 2 C C 0 0 3 3 C C 1 1 3 3 C C 2 2 3 3 C C 3 3 3 3 C C 0 0 5 5 C C 1 1 5 5 C C 2 2 5 5 C C 3 3 5 5 C C 4 4 5 5 C C 5 5 5 5 C C (a+b)6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (a+b)n 0 0 4 4 C C 1 1 4 4 C C 2 2 4 4 C C 3 3 4 4 C C 4 4 4 4 C C Cn0 Cn1 Cn2

3、 Cnr Cnn 011 ()n nnrn rrnn nnnn abC aC abC abC b 二项式系数表二项式系数表 “杨辉三角”“杨辉三角” 0 0 6 6 C C 1 1 6 6 C C 2 2 6 6 C C 3 3 6 6 C C 4 4 6 6 C C 5 5 6 6 C C 6 6 6 6 C C 杨辉三角杨辉三角 九 章 算 术 九 章 算 术 杨 辉 杨 辉 九 章 算 术 九 章 算 术 杨 辉 杨 辉 详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 本积本积 平方平方 立方立方 三乘三乘 四乘四乘 五乘五乘 商实商实 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)

4、4 (a+b)5 (a+b)6 思考讨论：思考讨论： 请认真观察二项式系数有什么规律？请认真观察二项式系数有什么规律？ 011 ()n nnrn rrnn nnnn a+bC aC abC abC b (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 0 (1)1,1 n nn CC对称性：每行两端都是 即； 1 +1 , mmm nnn CCC (2)其余每个数都等于它“肩上”两个数的和 即+； mn m nn CC 每一行中与首末两端“等距离”的两项相等，即； 011 ()n nnrn rrnn

5、nnnn a+bC aC abC abC b (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 011 ()n nnrn rrnn nnnn a+bC aC abC abC b (3) n 增减性与最值： 为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 11 1 22 ; nn T与T n为奇数时，中间两项二项式系数相等且最大； 1 2 n T . 2 n n C , 2 1n n C 2 1 n n C 中间项可表示为 其二项式系数为 中间两项可表示为 其二项式系数为 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 011 ()n

6、nnrn rrnn nnnn a+bC aC abC abC b 01 11 12;nCC时， 012 222 24;nCCC时， 0123 3333 38;nCCCC时， 0123456 6666666 664;nCCCCCCC时， 012n nnnn CCCC归纳猜想：+ ? n 2 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 011 ()n nnrn rrnn nnnn a+bC aC abC abC b 012 (4) 1,2 nn nnnn abCCCC 二项式系数的和 在二项式定理中，令则+ 赋值法 思考： 奇数项二项式系数之和与偶数项的二项

7、式之和是否相等？ 若相等，试给出证明。 0123 024135 1,1,-(-1)0 + nn nnnnn nnnnnn abCCCCC CCCCCC 令则 即： -1 2n 例例 ：写出：写出 的展开式中：的展开式中： （1）二项式系数的最大的项）二项式系数的最大的项 （2）项的系数绝对值最大的项）项的系数绝对值最大的项 （3）项的系数最大的项）项的系数最大的项 （4）项的系数最小的项）项的系数最小的项 （5）二项式系数的和）二项式系数的和 （6）各项的系数的和）各项的系数的和 11 ）（yx 56565 611 ()462TC xyx y 65656 711 ()462TC xyx y 5

8、6565 611 ()462TC xyx y 65656 711 ()462TC xyx y 56565 611 ()462TC xyx y 65656 711 ()462TC xyx y 110111101292111111 1111111111 ()()()()() rrr xyC xC xyC xyC xyCy 0121111 11111111 2CCCC+ 1111 11111 ()( 1) rrrrrrr r TC xyCxy 通项： 1.10.xy令得各项的系数和为 变式：变式：在在(3x - -2y)20的展开式中，求：的展开式中，求： (1)(1)二项式系数最大的项二项式系数最

9、大的项; ; (2)(2)二项式系数之和二项式系数之和; ; （3 3）各项系数之和；）各项系数之和； ； 2020 20 2 20 1 20 2)2(CCC 10101010 20 101010 2011 6)2()3() 1 (yxCyxCT 202020 12020 (3 )( 2 )3( 2), 1,1. rrrrrrrr r TCxyCxy xy (3)通项： 令得各项系数之和等于 课堂练习课堂练习: : 1 ()nx x n 2、在展开式中，第3项的二项式系数与第5项 的二项式系数相等，则 ()nxy n 1、在展开式中只有第5项的二项式系数最大， 则 3 3 ()nx x n 4

10、、在展开式中各项系数和与二项式系数和 之比为64，则 26 1 (2)x x 3、在展开式中,二项式系数和为 各项系数之和为 8 6 64 1 6 你的收你的收获和体会获和体会 1、 二项式系数的四条性质二项式系数的四条性质: : 各二项式系数的和 增减性与最大值 两个数的和肩上其余每个数都等于它 对称性 “ （4 4）二项式系数之和）二项式系数之和: : （3） 最值最值: : 2、 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 、归纳猜想、归纳猜想 2 n n C 当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大 ； 2 1 n n C 2 1 n n C 当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ， 相等，相等， 且且同时同时取得取得最大最大值。值。 （1 1）对称性）对称性: n 2 (由赋值法求得由赋值法求得 ) 课堂小结课堂小结 0 1 n nn CC ； 1mm nn CC ； 1 +1 mmm nnn CCC +； （2 2） 变式：变式：在在 的展开式中的展开式中，求：求： (4)系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项； (5)系数最大的项系数最大的项. 课后思考：课后思考： 20 (32 )xy