人教B版高中选修2-2数学课件：2.2.1综合法与分析法.ppt

1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 22 直接证明与间接证明 22.1 综合法与分析法 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 结合已经学过的数学实例结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方了解直接证明的两种基本方 法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特特 点点 2过程与方法 多让学生举命题的例子，培养他们的辨

2、析能力，以及培养他们的分析 问题和解决问题的能力 3情感、态度与价值观 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣 重点难点 重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 难点：分析法和综合法的思考过程、特点 【问题导思】【问题导思】 阅读下列证明过程，回答问题：阅读下列证明过程，回答问题： 已知实数已知实数 x，y 满足满足 xy1，求证，求证 2x2y2 2. 证明：因为证明：因为 xy1， 所以所以 2x2y2 2x2y2 2x y 2 2. 故故 2x2y2 2成立成立 1本题的条件和结论是什么？ 【提示】【提示】 条件：条件：xy1；结论：；结论：2x2y2 2. 2本题的证明本题的证明，从

3、条件和结论的关系上看是什么顺序从条件和结论的关系上看是什么顺序？ 【提示提示】 从条件出发从条件出发，利用基本不等式顺推得到结利用基本不等式顺推得到结 论论 1直接证明 (1)定义：直接证明是从 或 出发，根据已知的 、_、_，直接推证结论的真实性 (2)直接证明的方法有： 与 2综合法 (1)定义：综合法是从 出发，经过逐步的推理，最后达到待证结 论的论证方法 (2)综合法的推证过程 P0(已知)P1P2P3P4(结论) 命题的条件命题的条件 结论结论 定义定义 公理公理 定理定理 综合法综合法 分析法分析法 条件条件 【问题导思】 阅读下面的证明过程，回答问题： 已知a，bR，求证a2b2

4、2ab. 证明：要证a2b22ab，只需证：a22abb20， 即证(ab)20. a，bR，(ab)20成立， 故a2b22ab. 从条件和结论的关系上看，本题的证明顺序是什么？ 【提示】 由结论出发逆推找条件 分析法 (1)定义：分析法是从待证 出发，一步一步寻求结论成立的充 分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的论证方法 (2)分析法的推证过程 B(结论)B1B2BnA(已知) 结论结论 【思路探究】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化 为边的问题进行证明 在在ABC 中， 三边中， 三边 a， b， c 成等比数列 求证：成等比数列 求证： acos2C 2 cc

5、os2A 2 3 2b. 【自主解答】【自主解答】 a，b，c 成等比数列，成等比数列，b2ac. 左边左边a（ （1cos C） 2 c（ （1cos A） 2 1 2(a c)1 2(acos C ccos A) 1 2(a c)1 2 aa 2 b2c2 2ab c b2c2a2 2bc 1 2(a c)1 2b acb 2 bb 2 3 2b右边， 右边， acos2C 2 ccos2A 2 3 2b. 1用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利 用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角通过恒等变形、基本 不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时 证

6、到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则 2用综合法证明不等式时常用的结论：用综合法证明不等式时常用的结论： (1)ab ab 2 2 a 2 b2 2 (a，bR)； (2)ab2 ab(a0，b0) 设设 x，y，z 为正数，求证：为正数，求证：y 2z2 z2x2x2y2 xyz xyz. 【证明】【证明】 因为因为 y2z2z2x22xyz2， z2x2x2y22x2yz， x2y2y2z22xy2z， 所以所以 2(y2z2z2x2x2y2)2xyz(xyz) 因为因为 x，y，z 为正数，所以为正数，所以 xyz0，两边同除以，两边同除以 2(x yz)，得，得y 2z2 z2x2

7、x2y2 xyz xyz(当且仅当当且仅当 xyz 时取时取 “”) 所以原不等式成立所以原不等式成立 【思路探究】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键 设设 a，b 为实数，求证：为实数，求证： a2b2 2 2 (ab) 【自主解答】【自主解答】 当当 ab0 时，时， a2b20， 2 2 (a b)0， a2b2 2 2 (ab)成立成立 当当 ab0 时，用分析法证明如下：时，用分析法证明如下： 要证要证 a2b2 2 2 (ab)， 只需证只需证( a2b2)2 2 2 （ab） 2， ， 即证即证 a2b21 2(a 2 b22ab)， 即证即证 a2b22ab. a2b

8、22ab 对一切实数恒成立，对一切实数恒成立， a2b2 2 2 (ab)成立成立 综上所述，不等式成立综上所述，不等式成立 1从本例中可以看出，已知条件简单而证明的结论比较复杂，这时 我们一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证” 这些词语必不可少，否则会出现错误 2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结 论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解 若本例改为若本例改为“已知已知 a0，b0，求证，求证 a b b a a b” ，如何证明？，如何证明？ 【证明】【证明】 要证要证 a b b a a b， 只只需证需证 a ab ba bb a， 即

9、证即证(ab)( a b)0， 因为因为 a0，b0，所以，所以 ab 与与 a b符号相同，符号相同， 不等式不等式(ab)( a b)0 成立， 所以原不等式成立成立， 所以原不等式成立 【思路探究】 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质 转化成证明整式不等式 已知已知 a、b、c 是不全相等的正数，且是不全相等的正数，且 00，b c 2 bc0， ac 2 ac0.又又a，b，c 是不全相等的正数，是不全相等的正数， a b 2 b c 2 a c 2 a2b2c2abc. 即即a b 2 b c 2 a c 2 abc 成立成立 logxa b 2 logxb c 2 lo

10、gxa c 2 0， 求证：， 求证： a bf x1x2 2 ， 只需证只需证1 2(tan x1 tan x2)tan x1x2 2 ， 只需证只需证1 2 sin x1 cos x1 sin x2 cos x2 sin（x1x2） 1cos （x1x2）(“ “化切为弦化切为弦”)， 只需证只需证sin（ （x1x2） 2cos x1cos x2 sin（x1x2） 1cos（x1x2）， ， 只需证只需证 sin（x1x2） cos（x1x2）cos（x1x2） sin（x1x2） 1cos（x1x2）， ， 只需证明只需证明 0cos(x1x2)1. 由由 x1，x2 0， 2 ，且，且 x1x2可知可知 0cos(x1x2)f x1x2 2 .