第六章相关分析与线性回归分析课件.ppt

1、第六章 相关分析与回归分析 1、一元相关分析2、多元相关分析3、一元线性回归分析4、多元线性回归分析第一节 一元相关分析一、变量之间的两类关系 确定性关系（函数关系）；非确定性关系（相关关系）；函数关系1.是一一对应的确定关系2.设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量3.各观测点落在一条线上 函数关系(几个例子)n某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为 y y=px px(p 为单价)n圆的面积S与半径R之间的关系

2、可表示为 S S=R R2 2 n企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为 y y=x x1 1 x x2 2 x x3 3 相关关系(correlation)1.变量间关系不能用函数关系精确表达2.一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定3.当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个4.各观测点分布在直线周围 相关关系(几个例子)n父亲身高y与子女身高x之间的关系n收入水平y与受教育程度x之间的关系n粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系n商品的消费量y与居民收入x之间的关系n商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系

3、(类型)相关关系相关关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关完全相关完全相关 不相关不相关正相关正相关负相关负相关正相关正相关负相关负相关相关关系的描述与测度(散点图)相关分析及其假定1.相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？2.为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定两个变量之间是线性关系两个变量都是随机变量散点图(scatter diagram)散点图(例题分析)【例例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、

4、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据 散点图(不良贷款对其他变量的散点图)散点图(5个变量的散点图矩阵)散点图(5个变量的散点图矩阵)不良贷款贷款余额累计应收贷款贷款项目个数固定自产投资SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 选项为GraphsScatter相关关系的描述与测度(相关系数)相关系数(correlation coefficient)1.度量变量

5、之间关系强度的一个统计量2.对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数3.若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 4.若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为 r也称为线性相关系数(linear correlation coefficient)或称为Pearson相关系数(Pearsons correlation coefficient)相关系数(计算公式)样本相关系数的计算公式相关系数的性质性质性质1：r 的取值范围是-1,1|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关 r=0，不存在线性线性相关关系-1r0，为

6、负相关0r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质(取值及其意义的图解)相关系数的性质性质性质2 2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间 的相关系数相等，即rxy=ryx性质性质3 3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的 数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质性质4 4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用 于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没 有任何关系性质性质5 5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不却不 一定意味着一定意味着x x与与y y一定

7、有因果关系一定有因果关系相关系数的经验解释1.|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关2.0.5|r|0.8时，可视为中度相关3.0.3|r|0.5时，视为低度相关4.|r|t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系 相关系数的显著性检验(例题分析)各相关系数检验的统计量相关系数的显著性检验(需要注意的问题)1.即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性2.因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取

8、值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 选项为选项为AnalyzeAnalyzeCorrelateCorrelateBivariateBivariate 相关系数的显著性检验(需要注意的问题)1.即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性2.因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系如果样

9、本数据不是来源与正态分布，该如如果样本数据不是来源与正态分布，该如何？何？Spearman秩相关系数 Pearson线性相关系数必须假设数据是成对地从正态分布中取得的，并且数据至少在逻辑范畴内必须是等间距的数据。如果这两条件不符合，一种可能就是采用Spearman秩相关系数来代替Pearson线性相关系数。Spearman秩相关系数是一个非参数性质（与分布无关）的秩统计参数，由Spearman在1904年提出.Spearman秩相关系数 假设原始的数据xi，yi已经按从大到小的顺序排列，记xi，yi为原xi，yi在排列后数据所在的位置，则xi，yi称为变量xi，yi的秩次，则di=xi-yi为

10、xi，yi的秩次之差。取值介于-11之间相关关系不等于因果关系，如何在多个变相关关系不等于因果关系，如何在多个变量之间找因果关系？量之间找因果关系？暑假期间双胞胎兄弟大明和小明参加勤工俭学，大明在超级市场帮助卖冷饮，小明在游泳池收门票。每天晚上，二人闲聊。昨天大明冷饮卖得多，小明门票也收得多，今天，大明卖得少，小明门票也收得少。一个月下来，他们发现，超级市场冷饮销售量和游泳人数呈正相关。是不是爱吃冷饮的人想游泳？或爱游泳的人喜欢冷饮？爸爸是教统计学的，将他们11天冷饮销售量(X1)、游泳人数(X2)以及当天的气温(X3)的记录汇集于下表。案例案例结论：喜欢游泳的人都爱喝冷饮？结论：喜欢游泳的人

11、都爱喝冷饮？Or Or 爱喝冷饮的人爱喝冷饮的人都喜欢游泳？都喜欢游泳？偏相关系数（部分相关系数）部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相关关系，校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均数。即扣除其他变量的影响后，变量Y与X的相关，称为Y与X的偏相关系数。计算公式)r)(r(rrrr,22321323131231211 衡量偏相关程度用偏相关系数表示：衡量偏相关程度用偏相关系数表示：ryx1 x2 为为 1 阶偏相关系数，即清除了阶偏相关系数，即清除了X2 的影响后的影响后 Y 与与 X1之间的相关系数，之间的相关系数，ryx1 x2 x3 为为 2 阶偏相关系数，即清除了阶偏相

12、关系数，即清除了X2与与 X3的影响后的影响后 Y 与与 X1 之间的相关系数，之间的相关系数，ryx1 x2 xk 为为(k-1)阶偏相关系数，即清除了阶偏相关系数，即清除了 X2 X3 的影响的影响后后 Y 与与 X1 之间的相关系数，之间的相关系数，22132232132321231212221221211111rrrrrrrrrrrryyyyyyyy 暑假期间双胞胎兄弟大明和小明参加勤工俭学，大明在超级市场帮助卖冷饮，小明在游泳池收门票。每天晚上，二人闲聊。昨天大明冷饮卖得多，小明门票也收得多，今天，大明卖得少，小明门票也收得少。一个月下来，他们发现，超级市场冷饮销售量和游泳人数呈正相

13、关。是不是爱吃冷饮的人想游泳？或爱游泳的人喜欢冷饮？爸爸是教统计学的，将他们11天冷饮销售量(X1)、游泳人数(X2)以及当天的气温(X3)的记录汇集于表13-4。游泳人数残差冷饮销售量残差偏相关系数SPSSSPSS软件使用说明软件使用说明 选项为AnalyzeCorrelatePartial 选择计算的那些变量到Variable框中。选择一个变量作为控制变量到 Controlling for 框中。第二节 一元线性回归一、一元线性回归模型二、参数的最小二乘估计三、回归直线的拟合优度四、显著性检验五、回归分析应用什么是回归分析？(regression)1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数学

14、关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度趋向中间高度的回归回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应

15、，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析回归分析与相关分析的区别1.相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化2.相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 是非随机的确定变量3.相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 回归模型的类型回归模型回归模型一元回归一元回归多元回归多元回归线性回归线性回归非线性回归非线性回归线性回归线性回归非线性回归非线性

16、回归一元线性回归模型一元线性回归1.涉及一个自变量的回归2.因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 3.因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型(regression model)1.回答“变量之间是什么样的关系？”2.方程中运用1 个数值型因变量(响应变量)被预测的变量1 个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3.主要用于预测和估计一元线性回归模型1.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x

17、和误差项 的方程称为回归模型回归模型2.一元线性回归模型可表示为 y=b b +b b1 1 x +y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性b0 和 b1 称为模型的参数一元线性回归模型(基本假定)1.因变量y与自变量x之间具有线性关系2.在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的3.误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E(y)=b b 0+b b 1

18、 x4.对于所有的 x 值，的方差2 都相同5.误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0,2)独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关一元线性回归模型(基本假定)y回归方程(regression equation)1.描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回回归方程归方程2.一元线性回归方程的形式如下 E E(y y)=)=b b0 0+b b1 1 x x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的

19、期望值b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值估计的回归方程(estimated regression equation)0b1bxy10bb+0b1b0b1b0b1b参数的最小二乘估计最小二乘估计(method of least squares)1b 0bKarl Gauss的最小化图的最小化图最小二乘法(和 的计算公式)1b0b001120110201112()02()0niiiniiiiQyxQx yxbbbbbbbbbb 1111012211nnniiiiiiinniiiinx yxyyxnxxbbb用Excel进行回归分析第第1步：步：选择“工具

20、工具”下拉菜单第第2步：步：选择【数据分析数据分析】选项第第3步：步：在分析工具中选择【回归回归】，选择【确定确定】第第4步：步：当对话框出现时 在【Y值输入区域值输入区域】设置框内键入Y的数据区域 在【X值输入区域值输入区域】设置框内键入X的数据区域 在【置信度置信度】选项中给出所需的数值 在【输出选项输出选项】中选择输出区域 在【残差残差】分析选项中选择所需的选项回归直线的拟合优度变差1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差变差。变差来源于两个方面由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响2.对一个具体的观测值来说，变

21、差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示yy误差的分解(图示)y误差平方和的分解(三个平方和的关系)误差平方和的分解(三个平方和的意义)1.总平方和总平方和(SSTtotal sum of squares)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差2.回归平方和回归平方和(SSRsum of squares of regression)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和3.残差平方和残差平方和(SSEsum of squares of error)反映除 x 以外的其他因素对 y 取

22、值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和判定系数R2 (coefficient of determination)1.回归平方和占总误差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 0,1 之间4.R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方，即R2r22221122111nniiiinniiiiyyyySSRRSSTyyyy 判定系数 (例题分析)【例例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义 判定系数的实际意义是：判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释

23、，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系 估计标准误差(standard error of estimate)1.实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根2.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况3.对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量4.反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 5.计算公式为2122niiieyySSEsMSEnn估计标准误差的自由度1.估计标准误差的是残差平方和SSE除以它的自由度后的平方根2.残

24、差平方和SSE的自由度之所以是n-2，原因是在计算SSE时，必须先求出 和 ，这两个估计值就是附加给SSE的两个约束条件，因此在计算SSE时，只有n-2个独立的观测值，而不是n个3.一般而言，在有k个自变量的多元回归中，自由度则为n-k4.一般的规律是：自由度自由度=n-待估参数的个数待估参数的个数显著性检验线性关系的检验1.检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著2.将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)线性关系的检验(检验的步

25、骤)1.提出假设H0：b1=0 线性关系不显著2.计算检验统计量F3.确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 4.作出决策：若FF,拒绝H0；若FF,拒绝H0，线性关系显著1222.48598 156.753844290.164421 252SSRFSSE n线性关系的检验(方差分析表)回归系数的检验1b回归系数的检验(样本统计量 的分布)21xxssieb21xxib1b1b1b1b11)(bbE回归系数的检验(检验步骤)1.提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1 0(有线性关系)2.计算检验的统计量3.确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0；tt=2

26、.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系0.0378957.5335150.005030t 回归系数的检验(例题分析)P 值的应用值的应用回归分析结果的评价l建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手1.所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数 为正值2.如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此在不良贷款与贷款余额的

27、回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明二者之间的线性关系是统计上显著的3.回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错4.考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图回归分析结果的评价Excel输出的部分回归结果名称名称计算公式计算公式Adjusted R SquareInt

28、ercept的抽样标准误差Intercept95%的置信区间斜率95%的置信区间五、利用回归方程进行估计和预测1.根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值2.估计或预测的类型点估计y 的平均值的点估计y 的个别值的点估计区间估计y 的平均值的置信区间置信区间估计y 的个别值的预测区间预测区间估计点估计点估计 y 的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得)(96.21000

29、37895.08295.0)(0亿元+yEy 的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计 例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得0 y)(93.18.72037895.08295.00亿元+y区间估计1.点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计2.对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间3.区间估计有两种类型置信区间估计(co

30、nfidence interval estimate)预测区间估计(prediction interval estimate)置信区间估计1.利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间置信区间(confidence interval)2.E(y0)在1-置信水平下的置信区间为置信区间估计(例题分析)【例例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25，se=1.9799，t(25-2)=2.069 置信区间为96.20y预测区间估计1.利用估计的回归方程，对于自变量

31、 x 的一个给定值 x0，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间预测区间(prediction interval)2.y0在1-置信水平下的预测区间为2002211(2)1eniixxytnSnxx+预测区间估计(例题分析)【例例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间 解：根据前面的计算结果，已知n=25，se=1.9799，t(25-2)=2.069 预测区间为贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间 93.10y影响区间宽度的因素1.置信水平(1-)区间宽度随置信水平的增大而增大2.数据

32、的离散程度s区间宽度随离散程度的增大而增大3.样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4.用于预测的 xp与x的差异程度区间宽度随 xp与x 的差异程度的增大而增大置信区间和预测区间(例题分析)置信区间、预测区间、回归方程估计和预测需要注意的问题1.在利用回归方程进行估计或预测时，不要用样本数据之外的x值去预测相对应的y值2.因为在一元线性回归分析中，总是假定因变量y与自变量x之间的关系用线性模型表达是正确的。但实际应用中，它们之间的关系可能是某种曲线3.此时我们总是要假定这条曲线只有一小段位于x测量值的范围之内。如果x的取值范围是在xL和xU之间，那么可以用所求出的利用回归方程对处于xL和xU

33、之间的值来估计E(y)和预测y。如果用xL和xU之间以外的值得出的估计值和预测值就会很差 实际数据是曲线而模型为直线xE(y)xLxUE(y)残差(residual)1.因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示2.反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差 3.可用于确定有关误差项的假定是否成立 4.用于检测有影响的观测值用残差证实模型的假定残差图(residual plot)1.表示残差的图形关于x的残差图关于y的残差图标准化残差图2.用于判断误差的假定是否成立 3.检测有影响的观测值残差与标准化残差图(例题分析)残差图(形态及判别)残差图(例题分析)残差的正态性假定(残差

34、的正态概率图)Normal Probability Plot残差值Expected Normal Value-2.5-1.5-0.50.51.52.5-3-11357标准化残差(standardized residual)1.残差除以它的标准差2.也称为Pearson残差或半学生化残差(semi-studentized residuals)3.计算公式为注意：注意：Excel给出的标准残差的计算公式为 这实际上是学生化删除残差(studentized deleted residuals)+22)()(11xxxxnsyyziiyiiei标准化残差图 用以直观地判断误差项服从正态分布这一假定是否

35、成立 若假定成立，标准化残差的分布也应服从正态分布在标准化残差图中，大约有95%的标准化残差在-2到+2之间 标准化残差图(例题分析)残差的正态性假定(标准化残差的正态概率图)Normal Probability Plot标准化残差值Expected Normal Value-2.5-1.5-0.50.51.52.5-1.5-0.50.51.52.53.54.5用残差检测异常值和有影响的观测值异常值(outlier)1.如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点，或称为野点如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的，应该修正该数据，以便改善回归的效果如果是由于模型的假

36、定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据2.在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除 异常值(识别)1.异常值也可以通过标准化残差来识别2.如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值3.一般情况下，当一个观测值所对应的标准化残差小于-2或大于+2时，就可以将其视为异常值有影响的观测值1.如果某一个或某一些观测值对回归的结果有强烈的影响，那么该观测值或这些观测值就是有影响的观测值 2.一个有影响的观测值可能是一个异常值，即有一个值远远偏离了散点图中的趋势线

37、对应一个远离自变量平均值的观测值或者是这二者组合而形成的观测值有影响的观测值(图示)存在一个有影响观测值的散点图存在一个有影响观测值的散点图024681012010203040 xy不存在影响值的趋势有影响的观测值存在影响值的趋势杠杆率点(ieverage point)1.如果自变量存在一个极端值，该观测值则称为高杠杆率点(high ieverage point)2.在一元回归中，第i个观测值的杠杆率用hi表示，其计算公式为 3.如果一个观测值的杠杆率 ，就可以将该观测值识别为有高杠杆率的点 4.一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响 nhi6高杠杆

38、率点(图示)存在高杠杆率观测值的散点图存在高杠杆率观测值的散点图05101520250204060 xy高杠杆率点第四节 多元线性回归1、多元线性回归模型 2、回归方程的拟合优度3、显著性检验4、利用回归方程进行估计和预测6、变量选择与逐步回归7、虚拟自变量的回归一、多元回归模型1.一个因变量与两个及两个以上自变量的回归2.描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型3.涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为 是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2，xk 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释的变异性bbb

39、b+kkxxxy22110多元回归模型(基本假定)1.误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=02.对于自变量x1，x2，xk的所有值，的方差 2都相同3.误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0,2)，且相互独立多元回归方程(multiple regression equation)1.描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1，x2，xk的方程2.多元线性回归方程的形式为 E(y)=b b0+b b1 x1+b b2 x2+b bk xk二元回归方程的直观解释估计的多元回的方程1.用样本统计量 估计回归方程中的 参数 时得到的方程2.由最小二乘法求得3.一般形式为kbb

40、bb,210kbbbb,210kkxxxybbbb22110+kbbbb,210kbbbb,210y 参数的最小二乘法kbbbb,2102.求解各回归参数的标准方程如下)21(00000kiQQiii，bbbbbb2201211(,)()nnkiiiiiQyyebb bb最小二、回归方程的拟合优度1、多重判定系数2、估计标准误差多重判定系数1.回归平方和占总平方和的比例2.计算公式为3.因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例 221211niiniiyySSRSSERSSTSSTyy 修正多重判定系数1.用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 2.计算公式为3.避免增加自变量

41、而高估 R24.意义与 R2类似5.数值小于R2221111anRRnk 估计标准误差 Sy1.对误差项的标准差 的一个估计值2.衡量多元回归方程的拟合优度3.计算公式为MSEknSSEknyySniiie1112三、显著性检验1、线性关系检验2、回归系数检验和推断线性关系检验1.检验因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著2.也被称为总体的显著性总体的显著性检验3.检验方法是将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用应用 F F 检验检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系线性关系检验1.提出假设H0

42、：b1b2bk=0 线性关系不显著H1：b1，b2，bk至少有一个不等于02.计算检验统计量F3.确定显著性水平和分子自由度k、分母自由度n-k-1找出临界值F 4.作出决策：若FF，拒绝H02121(,1)11niiniiyykSSR kFF k nkSSE nkyynk回归系数的检验1.线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验2.究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定3.对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第类错误(弃真错误)4.对每一个自变量都要单独进行检验5.应用 t 检验统计量回归系数的检验(步骤)1.提出假设H0：bi=0 (自变

43、量 xi 与 因变量 y 没有线性关系)H1：bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)2.计算检验的统计量 t(1)iitt nkSbb回归系数的推断(置信区间)回归系数在1-置信水平下的置信区间为 2xxssieib四、变量选择与逐步回归1、变量选择过程2、向前选择3、向后剔除4、逐步回归变量选择过程1.在建立回归模型时，对自变量进行筛选2.选择自变量的原则是对统计量进行显著性检验将一个或一个以上的自变量引入到回归模型中时，是否使得残差平方和(SSE)有显著减少。如果增加一个自变量使SSE的减少是显著的，则说明有必要将这个自变量引入回归模型，否则，就没有必要将这个自变量引入回归模

44、型确定引入自变量是否使SSE有显著减少的方法，就是使用F统计量的值作为一个标准，以此来确定是在模型中增加一个自变量，还是从模型中剔除一个自变量3.变量选择的方法主要有：向前选择、向后剔除、逐步回归、最优子集等 向前选择(forward selection)1.从模型中没有自变量开始2.对k个自变量分别拟合对因变量的一元线性回归模型，共有k个，然后找出F统计量的值最高的模型及其自变量，并将其首先引入模型 3.分别拟合引入模型外的k-1个自变量的线性回归模型 4.如此反复进行，直至模型外的自变量均无统计显著性为止向后剔除(backward elimination)1.先对因变量拟合包括所有k个自变

45、量的回归模型。然后考察p(pk)个去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有k-1个自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除2.考察再去掉一个自变量的模型(这些模型中每一个都有k-2个的自变量)，使模型的SSE值减小最少的自变量被挑选出来并从模型中剔除3.如此反复进行，一直将自变量从模型中剔除，直至剔除一个自变量不会使SSE显著减小为止逐步回归(stepwise regression)1.将向前选择和向后剔除两种方法结合起来筛选自变量2.在增加了一个自变量后，它会对模型中所有的变量进行考察，看看有没有可能剔除某个自变量。如果在增加了一个自变量后，前面增加的某个自变量对

46、模型的贡献变得不显著，这个变量就会被剔除3.按照以上方法不停地增加变量并考虑剔除以前增加的变量的可能性，直至增加变量已经不能导致SSE显著减少4.在前面步骤中增加的自变量在后面的步骤中有可能被剔除，而在前面步骤中剔除的自变量在后面的步骤中也可能重新进入到模型中逐步回归(例题分析SPSS输出结果)Variable Entered/Removed a model Variable EnteredVariable Removedmethod1各项贷款余额各项贷款余额x1 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F

47、-to-remove=.100.2固定资产投资额固定资产投资额x4 Stepwise(Criteria:Probability-of-F-to-enter=.050,Probability-of-F-to-remove=.100.a Dependent variable:不良贷款y逐步回归(例题分析SPSS输出结果)Model summary model RR-SquareAdjusted R-Square Std.Error of the Estimate 1.844a.712.6991.97992.872b.761.7391.8428a Predictors:(Constant),各项贷款

48、余额x1b Predictors:(Constant),各项贷款余额x1,固定资产投资额x4逐步回归(例题分析SPSS输出结果)ANOVA c modelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1 Regress ResidualTotal222.48690.164312.65012324222.4863.92056.754.000a2 Regress Residual Total237.94174.709312.65022224118.9713.39635.034.000ba Predictors:(Constant),各项贷款余额x1b Predictors:(Co

49、nstant),各项贷款余额x1,固定资产投资额x4c Dependent variable:不良贷款yModelUnstandardizedCoefficientsUnstandardizedCoefficientstSig.BStd.ErrorBeta1 (Constant)贷款余额x1 -.830.038.723.0050844-1.1477.534.263.0002 (Constant)贷款余额x1 固定资产投资x4-.443.050-.032.697.007.0151.120-.355-.6366.732-2.133.531.000.044a Dependent variable:不

50、良贷款yCoefficients a五、虚拟自变量的回归1、含有一个虚拟自变量的回归2、用虚拟自变量回归解决方差分析问题虚拟自变量(dummy variable)1.用数字代码表示的定性自变量2.虚拟自变量可有不同的水平只有两个水平的虚拟自变量比如，性别(男，女)有两个以上水平的虚拟自变量贷款企业的类型(家电，医药，其他)3.虚拟变量的取值为0，1虚拟自变量的回归1.回归模型中使用虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归2.当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚拟变量比如，性别(男，女)3.一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归模型中引进k-1个虚拟变量虚拟自变量的回归(例题分析)