第六章特征中与特征向量课件.ppt

1、1哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲233AXAXXXXAX=X4,0 22 0A0 212 01 AX212221 X,12 X0 212 02 AX,11 X42 12kk XXAXX56An 向量向量X,使得使得 AXA X 0,则则A0=0,()AX XAXX方方向向：与与 平平行行大大小小：AX=X,7A EA0111212122212nnnnnnaaaaaaaaa ()f EA0 EAA,AX=X(X 0)()0 E AX0 EAA,8A00 AX=X X（）0()0 E A X0 0,k 0()()kk A XX0 X的特征向量的特征向量,

2、则则12()A XX12,XX 的特征向量的特征向量,则则0 12AXAX()0102012 XXXX9A称方程组称方程组 A.0()00 EA X()0 NEA0 AAA A i()i EA X00 EA,.n 12i 10 A1 2 22 1 22 2 1,求求A特征值和特征向量特征值和特征向量 及特征子空间及特征子空间.A EA,12315A ,121()EA X310(2)(2)求特征向量求特征向量()()0251 122212221 111EA由由xxx 123得基础解系为得基础解系为,12111001A-1-1112212111001kkkkX0,k k122222222221 1

3、 10 0 00 0 012,35()E A X505EAxxxx1323 3111得基础解系为得基础解系为k X3111A3k4222422241 010 110 00013A值值-1子空间子空间1V,;112212kkk kX X2V,.3kkX X141.1.特征值的性质特征值的性质,n 12nAtr(),11nniiiiia A1nii A()()()12n ()f EA12121nnnnncccc ()()()11111nnnnniiii 15,nn1()()()nnaaa 1122()11122nncaaa()()()|()1112nnnniiifa A()f EA11121212

4、2212nnnnnnaaaaaaaaa 0()ncf()|1n AA(1),(2)(1),(2)中中 的系数及常数项的系数及常数项,得结论得结论.1n tr(),11nniiiiia A1nii A16则则nA 且且1.0AA0 AA的的0.()1110mmmmf xa xaxa x a则则,AXX(X0)()2A XA AX()2AXAXXkkA XX()fA X()1110mmmmaaaaAAAE X()1110mmmmaaaaX(),0fX X()().ffA XX17()0AXX X若若,11A XXAA XX且且A可逆可逆,则则,AXX(X0)，且且 A可逆可逆,0A0,1AXX11

5、A XX则则而而1A XA A XAXX也是也是 的属于特征值的属于特征值1A1182 2 1,2,mn阶阶A X1,X2,Xm,iiiimAXX1 2 mm=1X1 019m-1m()kkkXXX1122mm01AkkkAXAXAX1122mm0m mm()kkkXXX1 112 2202 m()kkkXXX1 m12 m2m mm0320 k1(1 m)X1+km 1(m 1 m)Xm 1=0X1,X2,Xm 1ki(i m)=0，i=1,2,m 1 i m,i=1,2,m 1,ki=0 i=1,2,m 1,kmXm=0,又又Xm 0,km=0X1,X2,Xm21 1,2,sAs,sssX

6、XXXXX12111m212m1m若若A有有n个个特征值特征值,则则A必有必有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量,iiiiXXX12m imii=1,s,22:对应于不同特征值的对应于不同特征值的 特征向量必正交特征向量必正交An AA =,A 2=2 2 1T 2=023 1 1T 2=(1 1)T 2=(A 1)T 2=1TAT 2 =1T(A 2)=T(2 2)=2 1T 2 (1-2)1T 2=0 1T 2=0ri iri个个实特征向量实特征向量()0 i E A X)(in irEAr即方程组即方程组ri个向量个向量.24设三阶实对称阵设三阶实对称阵A 的特征值为的特征值为

7、1,1,1,1对应的特征向量为对应的特征向量为(0,1,1)T.求求1对应的特征向量对应的特征向量.设设 X=(x1,x2,x3)T,(,)T10 1 1X(,)0,0123xxXX112212100101kkkk X0,k k1225 26A,BnTT-1AT=BABABAB 的这种变换的这种变换为相似变换为相似变换,T为为相似变换相似变换T-1ET=E,11122nnEE27AAABBAAB,BCACnM28AB.EAEBABTT-1AT=BEB1ETAT()1TEA T1TEA T.EA2912n 则则 A 的的n.,n 12nA EAE12n12n30 tr()tr().AB.EAEB

8、.AB.AB()().RRABA,BnAB.,1 01 10 10 1AEB E AE B1TETE.B21,T可可逆逆矩矩 31A可逆时可逆时,ABA-1-1B-1-1B*A*B*=T1A*T.ABAm BmABf(x)f(A)f(B)()().ffBTA T1.ttEAEBAB,t t有有AB,则则AT BT 32与与相似相似,|5E A|=5-5x=0 x=1tr(A)=x2=tr()=yy=-1.求求 x,y 两矩阵相似两矩阵相似等价等价55y 1 2 4224 21xAA有特征值有特征值 5,-,-5.33AA nA与对角阵相似与对角阵相似A有有nA的的n 对对角线上元素是与其对应的

9、角线上元素是与其对应的T-1AT=为对角阵为对角阵Tn34设设A与对角阵相似与对角阵相似,则则 可逆阵可逆阵T,使使 112nTAT所以有所以有 AT=T T1,T2,TnT nT=(T1,T2,Tn)(注意注意:证明过程给出相似对角化的方法证明过程给出相似对角化的方法)35A(T1,Tn)=(AT1,ATn)=(,)1212nnT TT(,)n nTTT1 12 2(,)iiiinATT1 2由由T可逆知可逆知,T1,TnAn36T1,T2,Tnn ATi=iTi,i=1,2,nT=(T1,T2,Tn)AT=A(T1,T2,Tn)=(AT1,AT2,ATn)=(1T1,2T2,nTn)=(T

10、1,T2,Tn)diag(1,2,n)=Tdiag(1,2,n)12nT-1AT37A.AnnE 1nA的的：AA有有n38:A i V i i即即(iE-A)X=0:iA复矩阵复矩阵A=复矩阵复矩阵A可相似对角化可相似对角化n,所以有所以有39x=y.r(E A)=1,x,y.2 0 111 0 2xyAEA1 0101 01xyr(3E A)=2EA2(1)(3)01，1，3.2 011102xy40A 1,-1,-1,A 设设A.(,),TT T T1231 0310 12101111111TT1660120 0191 9()AT T91 TT1 T TA,T T TT T T12312

11、3,TTT1231030120119.A1 AT T41APP-1AP=PTAP=A 4211T2nPAPP APA的特征值的特征值.,n 12 An,An P43 1 2 s r1 r2 rs r1 r2 rs X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs 12nAPP12TnP AP1111,rPP2212,rPP1,sssrPP121112112(,)srssrrPPPPPPP 设设12 222 4242 A .,PP APT122224242 EA1,2327 ()()0227 122(2E-A)X=0,12221001,11210 (,)(,)212211121455 ,11121150 222214455 4637 (-7E-A)X=0,3122(,)123 P3132323 TP AP22135451423545520345diag(2,2,-7)47A1,1,22(1,0,1,)TA=?A diag(1,1,2),1 12 2(1,0,1,)T1(0,1,0)T,(1,0,-1)T48,1102210011022PPT0101102211022PTAP=diag(1,1,2)AAPPT112310220 1 01302249nA特征特征EA1因为因为A是是P,使使0,1(,)iiin 11 2,n PAP112 APP1 EAE1n 12111EA150