人教B版高中选修2-2数学课件：1.2.1+2导数的运算.ppt

1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 12 导数的运算 12.1 常数函数与幂函数的导数 12.2 导数公式表及数学软件的应用 三维目标 1知识与技能 能够用导数的定义求几个常用函数的导数，掌握基本初等函数的导数 公式，会利用它们解决简单的问题 2过程与方法 掌握利用导数的定义求导数的方法，掌握运用基本初等函数的导数公 式来求导数的方法 3情感、态度与价值观 通过利用导数的方法解决实

2、际问题，体会导数在现实生活中的应用价 值，提高数学应用能力 重点难点重点难点 重点：基本初等函数的导数公式及应用重点：基本初等函数的导数公式及应用 难点：五种常见函数难点：五种常见函数 yC、yx、yx2、yx3、y 1 x、 、y x的导数公式推导及基本初等函数的导数公式的导数公式推导及基本初等函数的导数公式 的应用的应用 【问题导思】【问题导思】 如何用定义求函数如何用定义求函数 yf(x)C 的导数？类似地你的导数？类似地你 能求出函数能求出函数 yf(x)x，yf(x)x2，yf(x)1 x， ，yf(x) x的导数吗？的导数吗？ 【提示】【提示】 y x f（ （xx）f（x） x

3、C C x 0， y y x 00. 同理可求其他函数的导数同理可求其他函数的导数 几个常用函数的导数 原函数原函数 导函数导函数 yf(x)C(C为常数为常数) C_ yf(x)x x_ yf(x)x2 (x2)_ 0 1 2x yf(x)1 x 1 x _ yf(x) x(x0) ( x)_ 1 x2 1 2 x 原函数原函数 导函数导函数 yC y_ yxn(nN ) y_，n为正整数为正整数 yx(x0，0，且，且Q) y_，为有理数为有理数 yax(a0，a1) y_ yex y_ 0 nxn 1 x 1 axln a ex ylogax (a0，a1，x0) y_ yln x y_

4、 ysin x y_ ycos x y_ 1 xln a 1 x cos x sin x 【思路探究】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可 先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式 求下列函数的导数求下列函数的导数 (1)yx12； (2)y 1 x4； ； (3)y5x3； (4)y3x； (5)ylog5x. 【自【自主解答】主解答】 (1)y(x12)12x11. (2)y 1 x4 (x 4) 4x 5 4 x5. (3)y(5x3)(x 3 5) 3 5x 2 5. (4)y(3x)3xln 3. (5)y(log5x) 1 xln 5. 1 分清所给函数是幂函数、 指数

5、函数还是对数函数，分清所给函数是幂函数、 指数函数还是对数函数， 然后选择相应的模型，代入求解然后选择相应的模型，代入求解 2要特别注意要特别注意“1 x与 与 ln x” ，“ax与与 logax” ，“sin x 与与 cos x”的导数区别的导数区别 求下列函数的导数：求下列函数的导数： (1)ylg x；(2)y 1 2 x； ；(3)yx x；(4)ylog1 3x. 【解】【解】 (1)y(lg x) 1 xln 10. (2)y 1 2 x 1 2 xln 1 2 1 2 xln 2. (3)y(x x)(x 3 2) 3 2x 1 2 3 2 x. (4)y(log1 3x)

6、1 xln 1 3 1 xln 3. 质点的运动方程是质点的运动方程是 Ssin t， (1)求质点在求质点在 t 3 时的速度；时的速度； (2)求质点求质点运动的加速度运动的加速度 【思路探究】【思路探究】 (1)先求先求 S(t)，再求，再求 S 3 . (2)加速度是速度加速度是速度 v(t)对对 t 的导数，故先求的导数，故先求 v(t)，再求导，再求导 (2)v(t)cos t， 加速度a(t)v(t)(cos t)sin t. 【自主解答】【自主解答】 (1)v(t)S(t)cos t， v 3 cos 3 1 2. 即质点在即质点在 t 3 时的速度为时的速度为1 2. 1速度

7、是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数 2求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函 数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值 (1)求函数求函数 f(x) 1 3 x 在在(1，1)处的导数处的导数 (2)求函数求函数 f(x)cos x 在在 4 ， 2 2 处的导数处的导数 【解】【解】 (1)f(x) 1 3 x (x1 3) 1 3x 4 3 1 33x4 ， f(1) 1 331 1 3. (2)f(x)sin x， f 4 sin 4 2 2 . 已知曲线已知曲线 y x，求：，求： (1)曲线上与直线曲线上与直线 y2x4 平行的切

8、线方程；平行的切线方程； (2)求过点求过点 P(0，1)且与曲线相切的切线方程且与曲线相切的切线方程 【思路探究】【思路探究】 对于对于(1)，由，由 y x对对 x 求导，可得到曲求导，可得到曲 线线 y x的切线的斜率，进而可得相应切点的坐标，易求得的切线的斜率，进而可得相应切点的坐标，易求得 切线方程； 对于切线方程； 对于(2)， 设出切点坐标， 利用切点在对应切线上， 设出切点坐标， 利用切点在对应切线上， 也在曲线上，进而求得切点坐标和相应切线的斜率也在曲线上，进而求得切点坐标和相应切线的斜率 【自主解答】【自主解答】 (1)设切点为设切点为(x0，y0)，由，由 y x，得，得

9、 y|xx0 1 2 x0. 切线与切线与 y2x4 平行，平行， 1 2 x0 2， x0 1 16， ，y01 4. 则所求切线方程为则所求切线方程为 y1 4 2 x 1 16 ，即，即 16x8y10. (2)设切点设切点 P1(x1， x1)， 则切线斜率为则切线斜率为 y|xx1 1 2 x1， ， 切线方程切线方程 y x1 1 2 x1(x x1)， 又切线过点又切线过点 P(0，1)， 1 x1 1 2 x1( x1)， 即即 x12，x14. 切线方程为切线方程为 y21 4(x 4)， 即即 x4y40. 1曲线yf(x)在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线yf(x)的

10、切线 时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个 切点就有几条切线 2解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满 足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是 曲线在此切点处的导数值 把(2)中点“P(0，1)”换成“点P(16，4)”求相应的切线方程 【解】【解】 设切点为设切点为 P2(x2， x2)，则切线方程为，则切线方程为 y x2 1 2 x2(x x2)， 切线过切线过 P(16，4)， 4 x2 1 2 x2(16 x2) 解得解得 x216， 故切线方程为故切线方程为 x8y160. 基本初等函数的导数公式记错致误 求函数f(x

11、)log3x在(3，1)处的导数 【错解】【错解】 f(x)ln 3 x ， f(3)ln 3 3 . 【错因分析错因分析】 本题因导数公式记忆错误而导致求解错本题因导数公式记忆错误而导致求解错 误误 【防范措施】【防范措施】 准确记忆基本初等函数的导数公式，准确记忆基本初等函数的导数公式， 对于易混易错的公式应重点防范，本题中对于易混易错的公式应重点防范，本题中(log3x) 1 xln 3 log3e x . 【正解】【正解】 f(x) 1 xln 3， ， f(3) 1 3ln 3. 1下列结论正确的是下列结论正确的是( ) A若若 ycos x，则，则 ysin x B若若 ysin

12、x，则，则 ycos x C若若 y1 x，则 ，则 y 1 x2 D若若 y x，则，则 y x 2 【答案】 C 【解析】【解析】 (cos x)sin x，A 不正确；不正确； (sin x)cos x，B 不正确；不正确； ( x) 1 2 x， ，D 不正确不正确 2给出下列命题：给出下列命题： yln 2，则，则 y1 2； ； y 1 x2，则 ，则 y|x 3 2 27； ； y2x，则，则 y2xln 2； ylog2x，则，则 y 1 xln 2； ； 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解析】【解析】 对于对于，y0，故，故错；对于错

13、；对于，y 2 x3， ， y|x 3 2 27，故 ，故正确；正确；，显然正确，故选显然正确，故选 C. 【答案答案】 C 3函数函数 f(x)cos x 在在 x 6 处的切线方程是处的切线方程是 _ 【解析】【解析】 f(x)sin x， f 6 sin 6 1 2. 又切点坐标为又切点坐标为 6 ， 3 2 ， 切线方程为切线方程为 y 3 2 1 2 x 6 . 即即 x2y 3 6 0. 【答案】【答案】 x2y 3 6 0 4在曲线在曲线 y 1 x2上求一点 上求一点 P，使得曲线在该点的切线使得曲线在该点的切线 的倾斜角为的倾斜角为 135. 【解】【解】 设设 P(x0，y

14、0)，y 1 x2 (x 2) 2 x3. y|xx0 2 x3 0. 由题意知由题意知 2 x3 0 1， x032， 代入， 代入y 1 x2得 得y0 1 3 4 . 点点 P 的坐标为的坐标为 3 2， 1 3 4 . 已知直线已知直线 x2y40 与抛物线与抛物线 y24x 相交于相交于 A、 B 两点，两点，O 是坐标原点，试在抛物线的是坐标原点，试在抛物线的上求一点上求一点 P，使，使 ABP 的面积最大的面积最大 【思路探究】【思路探究】 依题意可知，线段依题意可知，线段|AB|为定值，只要为定值，只要 P 到直线到直线 AB 的距离最大，的距离最大，S ABP就最大，问题转化

15、为在就最大，问题转化为在 抛物线的抛物线的上求一点上求一点 P 到直线到直线 AB 的距的距离最大， 由导数离最大， 由导数 的几何意义知，的几何意义知，P 为抛物线上与直线为抛物线上与直线 AB 平行的切线的切平行的切线的切 点，求出点点，求出点 P 坐标，即可求得坐标，即可求得 S ABP的最大值的最大值 【自主解答】【自主解答】 如图所示，由于直线如图所示，由于直线 x2y40 与抛物线与抛物线 y24x 相交于相交于 A、B 两点，所以两点，所以|AB|是定值要是定值要 使使PAB的面积最大， 只要点的面积最大， 只要点P到直线到直线AB的的距离最大距离最大 而而 点点 P 是抛物线的

16、是抛物线的上的点，因此，点上的点，因此，点 P 是抛物线平行是抛物线平行 于直线于直线 AB 的切线的切点，设的切线的切点，设 P(x，y)，由图知，点，由图知，点 P 在在 x 轴下方的图象上，所以轴下方的图象上，所以 y2 x，y 1 x. kAB1 2， ， 1 x 1 2，即 ，即 x4. 由y24x(y0)得y4， 所以点P坐标为(4，4) 导数的综合应用的解题技巧： (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问 题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立 相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在 (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等 知识结合出现综合大题，遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不 等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析 点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离 【解】 根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0， y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图 则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即 y|xx01. y(ex)ex， ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1) 则点则点 P 到直线到直线 yx 的最小距离为的最小距离为 d|0 1| 2 2 2 .