人教B版高中选修2-1数学课件:3.1 空间向量基本定理 .ppt
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1、空间向量的基本定理空间向量的基本定理 庄河高中数学组庄河高中数学组 李天作李天作 1 1、平行向量基本定理、平行向量基本定理 复习复习 对于任意两个向量对于任意两个向量 ,则向量,则向量 与与 共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数 , ,使得使得 a(0)ab a,b l bal= 2.2.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 是平面内的两个是平面内的两个不共线不共线向量,那么对于这向量,那么对于这 一平面内的任一向量一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数,有且只有一对实数1,2,使,使 得得 12 ,e e a 1 122 aeell=+ 这表明这表明:平面内任一向量可以用
2、该平面内的两个平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线不共线向量向量线性表示线性表示. 我们把不共线的两个向量我们把不共线的两个向量 叫做表示这一平叫做表示这一平 面内所有向量的一组面内所有向量的一组基底基底. 12 ,e e 新定义 共面向量: / . /a a a 向量 平行于平 如果向量在平面 内或平行于 , 称,记作 平行于同一平面的向量,叫做 的基线 共面向量 面 a a 对于两个不共线向量对于两个不共线向量 , ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在唯一唯一的实数对的实数对( (x,y), ,使使 得得 , a b c , a b 3.共面向量定理
3、共面向量定理 cxayb=+ 共面向量也 称线性相关。 我们怎样表示空间向量中的任一向量呢我们怎样表示空间向量中的任一向量呢? (1)两个不共线向量能否表示空间任一向量两个不共线向量能否表示空间任一向量? 通过通过平面向量基本定理平面向量基本定理来类似地推出来类似地推出空间空间 向量基本定理向量基本定理.猜想猜想:空间向量基本定理的内容空间向量基本定理的内容 是什么是什么? (2)空间任一向量能用三个不共面的向量来线性空间任一向量能用三个不共面的向量来线性 表示吗表示吗? 空间向量分解定理空间向量分解定理: 建构数学建构数学: , , ( , , ) a b c px y z 如果三个向量不共
4、面, 那么对空间任一 向量 ,的有序实数组,使存存在在惟惟一一 pxaybzc=+ 如果三个向量如果三个向量 不共面不共面, ,那么对空间任一向那么对空间任一向 量量 , ,存在唯一有序实数组存在唯一有序实数组(x,y,z),(x,y,z),使得使得 O A P A C B B P 证明证明:(1)先证)先证存在性存在性 , ,作作过空间一点过空间一点是三个不共面的向量,是三个不共面的向量,设设 pOPeOCeOB eOAOeee 32 1321 过点过点P作直线作直线PPOC,交平面,交平面 OAB于点于点P; 在平面在平面OAB内,过点内,过点P作直线作直线 PAOB,PBOA,分别,分别
5、 交直线交直线OA,OB于点于点A,B. 空间向量分解定理空间向量分解定理: 321 ezeyexp 123 ,e e e p 存在实数则存在实数则(x,y,z),使使 , 1 OAxOAxe , 2 OByOBye , 3 OCzOCze 123 pxeyeze C (2)再证再证惟一性惟一性 用反证法用反证法 2.假设存在实数组假设存在实数组 , 使使 2 12223, px ey ez e=+ 123 xeyeze+所以所以 2 xx 212223 ()()()0xx eyy ezz e-+-+-= 即即 因因 2 12223 x ey ez e=+ 22 123 22 yyzz eee
6、 xxxx - = - - 123 ,e e e 从而从而 共面共面, 这与这与 123 ,e e e不共面矛盾不共面矛盾, 所以有序实数组所以有序实数组(x,y,z)惟一惟一. 222 (,)xy z 2 xx 空间向量分解定理空间向量分解定理: 建构数学建构数学 (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 123123 ,e e ee e e基底-基向量 ,使,使的有序实数组的有序实数组 ,那么对空间任一向量那么对空间任一向量不共面,不共面,如果三个向量如果三个向量 ),( , 321 zyx peee存在唯一存在唯一 321
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