人教B版高中选修2-1数学课件：2.5 直线与椭圆的位置关系 .ppt

1、 回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系 1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法判别方法(代数法代数法) 联立直线与圆的方程联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)k- 33 66 -k0 因为因为 所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根， 那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？ 则原方程组有两组解则原方程组有两组解. - (1) 由韦达定理由韦达定

2、理 5 1 5 4 21 21 xx xx 2222 1212121212 6 ()()2()2()42 5 ABxxyyxxxxx x 设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k 弦长公式：弦长公式： 2 2 1 |1|1| ABAB ABkxxyy k 知识点知识点2：弦长公式：弦长公式 当直线斜率不存在时当直线斜率不存在时,则则 12 AByy. 可推广到任意二次曲线 例例1：已知斜率为已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点， 交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长 题型二：弦长

3、公式题型二：弦长公式 222 :4,1,3.abc解 由椭圆方程知 ( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为 2 2 3 1 4 yx x y 2 58 380yxx消 得： 1122 ( ,), (,)A x yB xy设 1212 8 38 , 55 xxxx 222 121212 11()4ABkxxkxxx x 8 5 焦点，过焦点，过 2 F作倾斜角为作倾斜角为 4 的直线的直线交椭圆于交椭圆于 A，B 两点两点 ，求，求 1 F AB的面积的面积. . 解解: :椭圆椭圆 2 2 1 2 x y的两个焦点坐标的两个焦点坐标 12 ( 1,0),(1,0)FF 直线直线ABAB

4、的方程为的方程为1yx 由由 2 2 1 1 2 yx x y 消去消去y并化简整理得并化简整理得 设设 1122 (,),(,)A xyB xy 2 340xx 1212 4 ,0 3 xxx x 2222 1212121212 ()()2()2 ()4ABxxyyxxxxx x = = 4 2 3 点点 1 F到直线到直线AB的距离的距离d 0( 1)1 2 = =2 1 1 2 F AB SdAB= = 14 22 23 = = 4 3 . . 答答: : 1 F AB的面积的面积等于等于 4 3 例例 2:2:已知点已知点 12 FF、分别是椭圆分别是椭圆 22 1 21 xy 的左、

5、右的左、右 题型二：弦长公式题型二：弦长公式 例例3 ：已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 解：解： 韦达定理韦达定理斜率斜率 韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题 例例 3 已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造

6、出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率 点点 作差作差 题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题 直线和椭圆相交有关弦的中点问题， 常用设而不求的思想方法 例例3已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程. 所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0 从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上 而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条 解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一一 条件，灵

7、活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理， 题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题 例例4、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交 于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的 斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。 22 1axby 2 2,AB 2 2 o x y A B M 22 1 10 axby xy 解: 2 )210yab xbxb 消 得:( 2 )(1)0bab b=4-4( aba b 1122 ( ,), (,)A x yB xy设 1212 21 , bb xxxx abab (,) b

8、a ABM ab ab 中点 22 121 2 1()4ABkxxx x又 MO a k b 2 2 2ba 2 21 2 22 ()4 bb abab 12 , 33 ab 练习练习： 1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ） A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 2、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围 （ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+

9、2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦长则弦长 |AB|= _ , D C 1 936 22 yx 1 5 22 m yx 16 5 练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F， (1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点 椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程. 22 :(2)5 19 145 解 (1,1)A在椭圆内。 1122 ( ,),(,)AMNM x yN x y设

10、以 为中点的弦为且1212 2,2xxyy 22 11 5945xy 22 22 5945xy 2222 1212 590xxyy两式相减得： （） （） 1212 1212 5 9 MN yyxx k xxyy 5 9 5 1(1) 9 AMNyx 以 为中点的弦为方程为: 59140xy 22 :(1)1 95 xy 解椭圆 (2,0)F 2lyx直线： 22 2 5945 yx xy 由 2 143690xx 得： 1212 189 , 714 xxxx 22 1212 90 1()4 7 kxxxx弦长 3、弦中点问题的两种处理方法：、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去

11、一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法： 弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 2121 2 4 1 1yyyy k ）（ 21 2 21 2 41xxxxk ）（ 小小 结结 解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交 A（x1,y1） B（x2,y2） 设而不求

12、设而不求 通法通法 k 表示弦的斜率，表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点表示弦的端点 坐标，一般由韦达定理求得坐标，一般由韦达定理求得 x1+ x2 与与 y1+ y2 欢迎你的提问！ 课本第 47,48页练习题、习题 能力培养 课后课后巩固巩固: : 1.1.过椭圆过椭圆 22 1 164 xy 内一点内一点(2,1)M引一条弦引一条弦, ,使弦被点使弦被点M 平分平分, ,求这条弦所在的直线方程求这条弦所在的直线方程. . 2.2.椭圆椭圆 22 1 164 xy 上的点到直线上的点到直线220xy最大距离最大距离 是是_._. 3.3.已知椭圆的焦点已知椭圆的焦点 12 (

13、 3,0),(3,0)FF 且和直线且和直线90xy有有 公共点公共点, ,则其中长轴最短的椭圆方程为则其中长轴最短的椭圆方程为_._. 240xy 10 22 1 4536 xy 思考思考 3:3:已知椭圆已知椭圆 22 1 95 xy 的焦点为的焦点为 12 ,F F, ,在在 直线直线:60lxy上找一点上找一点M, ,求以求以 12 ,F F为为 焦点焦点, ,通过点通过点M且长轴最短的椭圆方程且长轴最短的椭圆方程. . 22 1 2016 xy 关键是怎样求出椭圆的长轴大小关键是怎样求出椭圆的长轴大小. . 思考思考: :已知椭圆已知椭圆 22 1 95 xy 的焦点为的焦点为 12

14、 ,F F, ,在在 直线直线:60lxy上找一点上找一点M, ,求以求以 12 ,F F为为 焦点焦点, ,通过点通过点M且长轴最短的椭圆方程且长轴最短的椭圆方程. . 12 :( 2,0),(2,0)FF解 椭圆的焦点为 200 (2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点 0 0 00 ( 1)1 2 2 60 22 y x xy 由 0 0 6 4 x y 解得： (6,4)F 1 24 5FFa 2 5a 2c 4b 22 1 2016 所求椭圆方程为： xy 思维挑战思维挑战题题: : 试确定实数试确定实数m的取值范围的取值范围, ,使得椭圆使得椭圆 22 1 43 xy 上存在关于直线上存在关于直线2yxm对称的点对称的点. . 1 2 AByxb 则两点的直线可设为： :2,yxmA B解 假设椭圆上存在关于直线对称的两点 1122 ( ,), (,)A x yB xy设两对称点 22 1 2 1 43 yxb xy 由 22 :30yxbxb 消 得 222 4(3)3120bbb 22b 12 xxb 1212 13 ()2 22 yyxxbb 3 ,)2 24 bb AByxm中点(在直线上 3 2 42 bb m4bm 242m 11 22 m