人教B版高中选修2-1数学课件：2.2 椭圆的定义与标准方程 .ppt

1、 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥 面的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面 的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个 圆 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截 线的变化情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具 有哪些几何特征？ 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线 探究 ：椭圆有什么几何特征？ 动手试一试 数学史： 1 F 2 F M 1、椭圆的定义、椭圆的定义： 1 F 2 F M 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离的距离之之和和等于等于 常数常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆

2、的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离 叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 cFF2 21 为椭圆时,022 ca 2a2aMFMFMFMF 2 21 1 思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长 的点的轨迹就是椭圆？ 结论：（若 PF1PF2为定长） ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF2 F1F2时，P点的轨迹是椭圆。 ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF2 F1F2时，P点的轨迹是一条线段F1F2 。 ）当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1 PF20)，M与与F1、F2的距离的和为的距离的和为2a 1212

3、1 21 2 如如图图，以以经经过过椭椭圆圆两两焦焦点点F ,FF ,F的的直直线线为为x x轴轴， 线线段段FFFF的的垂垂直直平平分分线线为为y y轴轴，建建立立直直角角坐坐标标系系xOy.xOy. 12121212 设设M(x,y)M(x,y)是是椭椭圆圆上上任任意意一一点点，椭椭圆圆的的焦焦距距为为2c(c0),2c(c0), 那那么么焦焦点点F ,FF ,F 的的坐坐标标分分别别为为(-c,0),(c,0).(-c,0),(c,0).又又设设MM与与F ,FF ,F 的的距距 离离的的和和等等于于2a.2a. 1212 由由椭椭圆圆的的定定义义，椭椭圆圆就就是是集集合合P = M M

4、F + MF = 2a .P = M MF + MF = 2a . 2 2 22222222 222222 1212 因因为为 MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +yMF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y (x+c) +y + (x-c) +y(x+c) +y + (x-c) +y , , 所所以以 =2a.=2a. 1 F 2 Fx y O ),(yxM 对于含有两个对于含有两个 根式的方程，根式的方程， 可以采用可以采用移项移项 两边平方或两边平方或 者者 分子有理化分子有理化 进进 行化简。行化简。 22222222222222 将将这这个个方方程程两两边

5、边平平方方，得得 （x+c) +y =4a -4ax+c) +y =4a -4a（x-c) +y +x-c) +y + （x+c) +y ,x+c) +y , 22222222 为为化化简简这这个个方方程程，将将左左边边的的一一个个根根式式移移到到右右边边，得得 （x+c) +y =2a-x+c) +y =2a- （x-c) +y ,x-c) +y , 4222222222242222222222 上上边边两两式式再再平平方方，得得 a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ,a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y , 222222 整整理

6、理得得 a -cx = a (x-c) +y , a -cx = a (x-c) +y , 2222222222222222 (a -c )x +a y =a (a(a -c )x +a y =a (a整整得得 -c-c理理) ), , 令 2222 2222 2 2 222222 2 2 2 2 . . 由由椭椭圆圆的的定定义义可可知知，2a 2c,2a 2c, 即即a c,a c,所所以以a -c 0.a -c 0. b b xyxy = a= a +=1+=1 aacaac -c-c - - 0 0b ba a 1 1 b b y y a a x x 2 2 2 2 2 2 2 2 叫做

7、叫做椭圆的标准方程，焦点在椭圆的标准方程，焦点在x 轴上。轴上。 焦点在焦点在y 轴上，可得出椭圆轴上，可得出椭圆 0 0b ba a 1 1 b b x x a a y y 2 2 2 2 2 2 2 2 它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。 1 1 2 2 y o F F M x 222222 abcabc 0 0c ca a0, 0,b ba a 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 1 2 2 y o F F M x y x o F 2 F 1 M 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 定定 义义 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F(F(c c，0)0)

8、 F(0F(0，c)c) a,b,c之间之间 的关系的关系 c c2 2=a=a2 2- -b b2 2 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 求法： 一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值. 例例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0） （4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 1 1 2 2 y o F F M x . 解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c

9、=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 925 22 yx 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 （1）首先要）首先要判断判断类型，类型， （2）用）用待定系数法待定系数法求求 ba, 定义法 例例2.2. 已已知知椭椭圆圆的的两两个个焦焦点点坐坐标标分分别别为为（-2-2，0 0）， 5353 （2 2，0 0）并并且且经经过过点点（ ， - -），求求它它的的标标准准方方程程. . 2222 2222 2222 解解: :因因为为椭椭圆圆的的焦焦点点在在x x轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方

10、程程为为 xyxy +=1(ab0).+=1(ab0). abab 22222222 222222 由由椭椭圆圆的的定定义义知知 53535353 2a =+2+ -+-2+ -= 2 102a =+2+ -+-2+ -= 2 10 22222222 所所以以a = 10.a = 10. 又又因因为为c = 2,c = 2,所所以以b = a -c =10-4=6.b = a -c =10-4=6. 2222 2222 因因此此，所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为 xyxy +=1.+=1. 106106 1 111 11 变变式式引引申申：求求焦焦点点在在y y轴轴上上，且且经经过过点

11、点A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的 3 323 32 椭椭圆圆的的标标准准方方程程. . 2222 2222 2222 yxyx 解解：设设所所求求椭椭圆圆的的方方程程为为+=1,+=1, abab 1 111 11 将将A(,),B(0,-)A(,),B(0,-)代代入入得得： 3 323 32 2222 1111 3333 +=1+=1 2222 abab , , 2 2 1 1 - - 2 2 =1=1 2 2 a a 1 1 2 2 a=,a=, 4 4 解解得得： 1 1 2 2 b=.b=. 5 5 yxyx 故故所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为+=1.+=1

12、. 1111 4545 ？思考一个问题思考一个问题:把“焦点在把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？轴上”这句话去掉，怎么办？ 待定系数法 2222 xyxy 例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则 mnmn m,nm,n满满足足什什么么条条件件，并并指指出出焦焦点点坐坐标标. . 2222 xyxy 解解：若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆，则则 mnmn mn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n, 所所以以，焦焦点点坐坐标标为为( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0). 222

13、2 变变式式引引申申: : 若若焦焦点点在在y y轴轴上上； 如如果果不不指指明明在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上； 若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆， m,nm,n应应满满足足什什么么条条件件. . 2222 (3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn,n, 当当mn0mn0，表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆；当当nm0nm0， 表表示示焦焦点点在在x x轴轴上上的的椭椭圆圆. . 2222 xyxy 解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦点点在在y y轴轴上上的的椭椭圆圆， mnmn

14、 则则 nm0, nm0,且且c =n-m,c =n-m, 所所以以，焦焦点点坐坐标标为为(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m). 2222 xyxy (2)(2)若若+=1+=1表表示示椭椭圆圆, ,则则m0,n0m0,n0且且mmn.n. mnmn 2222 分分析析：点点P P在在圆圆x +y =4x +y =4上上运运动动, ,点点P P的的运运动动引引起起 点点MM的的运运动动. .我我们们可可以以由由MM为为线线段段PDPD的的中中点点得得到到点点MM 与与点点P P坐坐标标之之间间的的关关系系式式, ,并并由由点点P P的的坐坐标标满满足足圆圆

15、的的方方 程程得得到到点点MM的的坐坐标标所所满满足足的的方方程程. . 2222 例例4.4.在在圆圆x +y = 4x +y = 4上上任任取取一一个个点点P P，过过点点P P作作 x x轴轴的的垂垂线线PDPD，D D为为垂垂足足. .当当点点P P在在圆圆上上运运动动时时，线线 段段PDPD的的中中点点M M的的轨轨迹迹是是什什么么? ?为为什什么么? ? 0000 0 0 0 0 2222 0000 2222 0000 0000 2222 2 2 2 2 解解: :设设点点的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点的的坐坐标标为为(x ,y ),(x ,y ),则则 y y x

16、= x ,y =.x = x ,y =. 2 2 因因为为点点(x ,y )(x ,y )在在圆圆x +y =4x +y =4上上，所所以以 x +y =4.x +y =4. 把把x = x,y = 2yx = x,y = 2y代代入入方方程程, ,得得 x +4y =4,x +4y =4, 即即 x x +y =1.+y =1. 4 4 所所以以点点的的是是轨轨迹迹一一个个椭椭圆圆. . 代入法 . 2222 变变式式引引申申：已已知知圆圆x +y = 9,x +y = 9,从从这这个个圆圆上上任任意意一一点点 P P向向x x轴轴作作垂垂线线PPPP ，点点M M在在PPPP 上上, ,并

17、并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求点点 M M的的轨轨迹迹 0000 0 0 000000 0000 0 0 0000 2222 0000 2222 2 2 2 2 解解：设设点点MM的的坐坐标标为为(x,y),(x,y),点点P P的的坐坐标标为为(x ,y )(x ,y )，则则 点点P P 的的坐坐标标为为(x ,0).(x ,0). 由由PM=2MPPM=2MP 得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即 x-x =2(x -x)x-x =2(x -x) , , y-y =2(-y)y-y =2(-y) 即即x

18、 = x,y =3y.x = x,y =3y. P(x ,y )P(x ,y )在在圆圆x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得 x +9y =9x +9y =9， x x 即即+y =1,+y =1,点点MM的的轨轨迹迹是是一一个个椭椭圆圆. . 9 9 2 112 22 1 32 66 1 2516 3 2 xy FFF FMMFMF M xy P P += =+= += 2 212 1.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2. 、是定点，且，动点满足， 则点的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

19、3.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为 ，则 到另一焦点的距离为（ ） (A) (B)37 (C)5 (D) 变式题组一变式题组一 2222 2 2 1 1 1 1 1 1 xyxy 4.4.已已知知经经过过椭椭圆圆+=1+=1的的右右焦焦点点F F 作作垂垂直直于于x x轴轴 25162516 的的直直线线AB,AB,交交椭椭圆圆于于A,BA,B两两点点，F F是是椭椭圆圆的的左左焦焦点点. . (1)(1)求求AFBAFB的的周周长长； (2)(2)如如果果ABAB不不垂垂直直于于x x轴轴，AFBAFB的的周周长长有有变变 化化吗吗？为为什什么么？ A D D 20 没变化 xky

20、y k xy m m 22 22 1.如果方程+=1表示焦点在 轴上的椭圆， 那么实数 的取值范围是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2）(C)（1，+）(D)（0，1） 2.椭圆+=1的焦距是2，则实数 的值是（ ） 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 变式题组二变式题组二 3.方程方程 1033 2 2 2 2 yxyx表示表示_ 1033 2 2 2 2 yxyx 4.方程方程 表示表示_ 5.方程方程 的解是的解是_ 104343 22 xx D C 椭圆 椭圆 5 3 2 一个概念；一个概念； 二个方程；二个方程； 三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，

21、求简意识， 猜想的意识。猜想的意识。 二个方法：二个方法： 去根号的方法；求标准方程的方法去根号的方法；求标准方程的方法 |MF1|+|MF2|=2a 1 1 b b y y a a x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0b ba a 1 1 b b x x a a y y 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 222 =+abc 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹 12 - , 0 , 0，FcF c 1 2 0,-0,，FcFc 标准方程标准方程 不不 同同 点点 相相 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关系的关系 焦点位置的判断焦点位置的判断 x y F1 1 F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O 欢迎你的提问！ 课本第 42.43页练习题、习题 能力培养