第八节：多元函数的极值及其求法课件.ppt

1、第八节：第八节：多元函数的极值多元函数的极值一元函数一元函数 y=f(x)的极值概念：的极值概念：1x 1x 1x2xxy0)(xfy),(1xUx 总有总有,)()(1xfxf,1称为极小值点称为极小值点x ,)(1称为极小值称为极小值xf),(),(1111 xxxx（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若（极值存在的必要条件）若 f(x)在极值点在极值点处可导，则导数一定为处可导，则导数一定为 0，反之不成立。，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）（

2、驻点为极值点的充分条件）设设,0)(0 xf存在，则有存在，则有)(0 xf（1）如果）如果0)(0 xf)(0 xf（3）如果）如果0)(0 xf，则，则为为 f(x)的极小值；的极小值；（2）如果）如果0)(0 xf)(0 xf，则，则为为 f(x)的极大值；的极大值；，定理失效。，定理失效。（一）多元函数的极值（一）多元函数的极值定义定义：设：设 z=f(x,y)的定义域为的定义域为 D，DyxP),(000总有总有),(),(00yxfyxf 总有总有是是 D 的一个内点，的一个内点，则称则称),(00yxf是是 f(x,y)的极大值；的极大值；则称则称),(00yxf是是 f(x,y

3、)的极小值。的极小值。),(),()(01PUyx 当当若存在点若存在点 的一个去心邻域的一个去心邻域0PDPPyxPPU|),()(000),(),()(02PUyx 当当),(),(00yxfyxf 极大值和极小值统称为极值极大值和极小值统称为极值；第八节：第八节：多元函数的极值多元函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元函数同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念极值也是一个局部概念处有极小值处有极小值在在函数函数例例)0,0(43:122yxz 利用点函数的概念，上述二元函数利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以极值的概念可以

4、 推广到推广到 n 元函数的情形元函数的情形处有极大值处有极大值在在函数函数例例)0,0(:222yxz 处无极值处无极值在在函数函数例例)0,0(:3xyz 因为在点因为在点(0,0)处，函数值为处，函数值为 0，而在点而在点(0,0)的任何邻域内的任何邻域内，即有使函数值大于，即有使函数值大于0 的点，的点，也有使函数值小于也有使函数值小于 0 的点。的点。xy 0 提示提示:由题设由题设 例例1.已知函数(D)根据条件无法判断点根据条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点.则则()0,0(),(在点yxf的某个邻域内连续的某个邻域内连续,且且.),()0,0()(

5、的极值点不是点yxfA,1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0,0()(的极大值点是点yxfB.),()0,0()(的极小值点是点yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf确定的正负由的邻近，在yxyxf),()00(A(2003 考研考研)P121，1定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？什么点

6、可能成为极值点？什么点必定是极值点？000),(yxfy),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为因为 f(x,y)在点在点0P有极大值有极大值),(000yxP),(0PU,)(),(时时当当0PUyx),(),(00yxfyxf,时时特特别别当当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 定理定理 1:（极值存在的必要条件）如果（极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：问题：什么点可能成为极

7、值点？什么点必定是极值点？什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？000),(yxfy),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似),(000yxP,时时特特别别当当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 这表明一元函数这表明一元函数),(0yxf在点在点0 xx 处取得极大值，处取得极大值，因此因此000),(yxfx同理可证同理可证000),(yxfy 凡是能使凡是能使 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。但驻点不一定是极值点。同时成立的点同时成立的点 称为

8、函数的驻点称为函数的驻点。),(00yx,),(000 yxfx000),(yxfy原点是驻点但不是极值点原点是驻点但不是极值点处无极值处无极值在在函数函数例例)0,0(:3xyz 极值点也可能是使偏导数极值点也可能是使偏导数 不存在的点。不存在的点。极值点只可能在驻点或使偏导数极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点不存在的点中产生。中产生。凡是能使凡是能使 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。但驻点不一定是极值点。同时成立的点同时成立的点 称为函数的驻点称为函数的驻点。),(00yx,),(000 yxfx000),(yxfy(0,

9、0)是驻点不是极值点是驻点不是极值点zxy处有极大值处有极大值在在函数函数例例)0,0(:222yxz (0,0)点偏导数不存在点偏导数不存在定理定理 2:（极值存在的充分条件）如果（极值存在的充分条件）如果 ),(yxf),(00yx,),(000 yxfx（1）（2）在点在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当时具有极值，且当 A 0 时，有极小值；时，有极小值；02 BAC时没有极值；时没有极值；（3）02 BAC时可能有极值，也可能没有极值，时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。还需另作讨论。具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导

10、数的函数 f(x,y)的极值的求法：的极值的求法：第一步：第一步：解方程组解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：第二步：对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx第三步：第三步：定出定出),(00yxf计算二阶偏导数值计算二阶偏导数值 A、B、C。的符号，按定理的符号，按定理 2 判定判定是否是极值，是极大值还是极小是否是极值，是极大值还是极小值值 ,),(,),(000000yxfyxfyx2BAC 例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：得到四个驻点：,0632

11、 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03),(23（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。,66 xfAxx,0 yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的符号的符号,|)(),(072012 BAC,|),(01201 A且且所以所以(1,0)为极小值点，为极小值点，501 ),(f为极小值。为极小值。),(|)(212BAC所以点所以点(1,2)和和(3,0)不是函数的极值点。不是函数的极值点。),(|)(032 BAC072 例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233

12、 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03),(23,66 xfAxx,0 yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的符号的符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。,|)(),(072232 BAC所以所以(3,2)是极大值点。是极大值点。,|),(01223 A且且3123 ),(f为极大值。为极大值。例例2：求求 的极值的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxf

13、x得到四个驻点：得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03),(23,66 xfAxx,0 yxfB,yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断）对每一个驻点，判断2BAC 的符号的符号（2）计算二阶偏导数）计算二阶偏导数 A、B、C。课练课练:P121,2例例3.讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值为极小值.正正负

14、负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 02 BAC33yxz可能为可能为0)()0,0()0,0(222yxzOxyz将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导04222 xxzzzx解解得得驻驻点点为为)1,1(P,04222 yyzzzy 又在驻点处必有又在驻点处必有,0 yxzz所以所以022 x022 y 04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)(将上述方程组两边将上述方程组两边分别再对分别再对 x,y 求偏求偏导数，得导数，得解解将将)1,1(P代代入入原原方方程程,0124

15、2 zz,21 z62 z解解得得驻驻点点为为)1,1(P,在驻点处必有在驻点处必有,0 yxzz04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)(021 xxzz)(0 yxz021 yyzz)()(2z在驻点处在驻点处,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(|)(zBACP所以驻点所以驻点(1,1)为极值点为极值点得得驻驻点点为为)1,1(P,解解在驻点处必有在驻点处必有,0 yxzz,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(|)(zBACP所以驻点所以驻点(1,1)为极值点为

16、极值点将将)1,1(P代代入入原原方方程程,01242 zz,21 z62 z,时时当当21 zPxxzA|,041 所以所以2 z为极小值；为极小值；,时时当当62 zPxxzA|,041 所所以以6 z为为极极大大值值；(二二)、最值应用问题、最值应用问题函数函数 f在闭域上连续在闭域上连续函数函数f在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当当区域内部最值存在区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,f(P)为极小值为极小值f(P)为最小值为最小值(大大)(大大)依据依据例例1：要造一个容量一定的长方体箱子

17、，问选择要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解：解：设箱子的长、宽、高分别为设箱子的长、宽、高分别为 x,y,z,容积容积为为 V ,表面积为表面积为 S，则，则,zyxV )(2xzzyyxS ,yxVz 或或)(2yVxVyx 0,0|),(yxyxD,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy解上述方程组得唯一驻点解上述方程组得唯一驻点),(33VV 根据实际问题可知根据实际问题可知 S 一定存在最小值一定存在最小值，并且，并且一定在一定在 D 的内部取得，的内部取得，所以驻点所以驻点),(33VV即当即当33,Vy

18、Vx yxVz ,时时3V 表面积表面积 S 取得最小值取得最小值，此时用料最省，此时用料最省.)(2xzzyyxS )(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy是使是使 S 取得最小值的点取得最小值的点例例2：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：24cmxxx224 x224 梯形的上底长为梯形的上底长为x224 cosx2 高为高为 sinx sin)()cos(xxxxA 2224222

19、4其中其中,120 x,20 例例2：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)()cos(xxxxA 22242224 sin)sincos(sinxx2422 问题转化为求面积函数问题转化为求面积函数 A=A(x,)在区域在区域 D20120 ,x上的最大值上的最大值（1）求）求 A=A(x,)在在 D 内的驻点内的驻点02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(x

20、xA 例例2：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：x 0D sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 注意到注意到00 sin,x得唯一驻点得唯一驻点,38 x,),(34838 A由方程组由方程组(1)得得(cos2)120 x代入方程组代入方程组(2)12(2cos)x例例2：有一宽为有一宽为

21、24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD得唯一驻点得唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的边界上的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA 04242 xxAx),(,6 x x0D 例例2：有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断做成一断面为等腰梯

22、形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？面的面积最大？解：解：sin)sincos(sinxxA2422 得唯一驻点得唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的边界上的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA ,6 x7226),(Ax 0D 348 所以当所以当,时时38 x断面的面断面的面积最大。积最大。解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最

23、值值，在在边边界界0 x和和0 y上上0),(yxf,解方程组解方程组分别求偏导分别求偏导xyo6 yxD在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.xyo6 yxD得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1,2(,且且4)1,2(f,在在边边界界0 x和和0 y上上0),(yxf,0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21

24、,21(,解解:由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.因为因为01lim22 yxyxyx得驻点得驻点)21,21(和和)21,21(,2222|111()12|2|xyxyxyxyxyxyyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.习题习题9 8B:2,4,5,8,9无条件极值作业无条件极值作业课堂练习：P118 1，2，8,7无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他

25、条件.作业：P121 4,7,8，9，10,11，12 习题习题9 8B:2,4,5,8,9（三）条件极值与拉格朗日乘数法（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：例：求表面积为求表面积为2a解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则问题可描述为：则问题可描述为：求体积求体积 zyxV 在约束条件在约束条件2)(2axzzyyx 下的最大值下的最大值解解出出由由2)(2axzzyyx )(222yxyxaz zyxV 所所以以 yxyxayx222转化为无条件极转化为无条件极值问题。值问题。而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积 下面介绍

26、求条件极值的拉格朗日下面介绍求条件极值的拉格朗日乘数法乘数法.问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.yu,xu00 若从若从G 的方程解出的方程解出 z，则条件极值问题可转化为求函数，则条件极值问题可转化为求函数 u=f x,y,z(x,y)的无条件极值问题的无条件极值问题.但有时候很难解出但有时候很难解出z，由极值的由极值的必要条件，知必要条件，知设设 f 和和G具有连续的偏导数，且具有连续的偏导数，且.Gz0 设设 为为 u=f x,y,z(x,y)的极值点，的极值点，）（00y,x方程方程G(x,y,z)=0

27、确定了一个隐函数确定了一个隐函数z=z(x,y),且且 zyzxGGyz,GGxz 问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.）（00y,x由极值的由极值的必要条件，知必要条件，知.yu,xu00 设设 f 和和G具有连续的偏导数，且具有连续的偏导数，且0 zG设设 为为 u=f x,y,z(x,y)的极值点，的极值点，）（00y,x由复合函数求导法，由复合函数求导法，00zzyyzyzzxxzxfGGfyzffyufGGfxzffxuzyzxGGyz,GGxz 问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条

28、件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.所求问题的解所求问题的解 必须满足关系式必须满足关系式）（000z,y,x由复合函数求导法，由复合函数求导法，）（）（）（）（）（）（000000000000000000z,y,xGz,y,xfz,y,xGz,y,xfz,y,xGz,y,xfzzyyxx 00zzyyzyzzxxzxfGGfyzffyufGGfxzffxu 问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.）（）（）（）（）（）（000000000000000000z,y,xGz,y,xfz,y,x

29、Gz,y,xfz,y,xGz,y,xfzzyyxx 000zzyyxxGfGfGf 所求问题的解所求问题的解 必须满足关系式必须满足关系式）（000z,y,x 除满足上面的方程组外，还应满足约束条件除满足上面的方程组外，还应满足约束条件G(x,y,z)=0）（000z,y,x 问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.0000）（z,y,xGGfGfGfzzyyxx 即所求问题的解即所求问题的解 必须满足关系式必须满足关系式）（000z,y,x引进函数引进函数 L,使它分别对其自变量的偏导等于如上方程使它分别对其自变量

30、的偏导等于如上方程.)()()(x,y,zGx,y,zf,z,y,xL 此即为问题此即为问题1在在处)(000zy,x，取极值的必要条件取极值的必要条件拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日乘子拉格朗日乘子拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：)()()(z,y,xGz,y,xf,z,y,xL 其中，其中，为参数，称为拉格朗日乘子为参数，称为拉格朗日乘子.（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 所有可能的极值点所有可能的极值点.)(,z,y,xLx0)(G)(z,y,xz,y,xfxx)(,z,y,xLy0)()(z,y,xGz,y,xfyy)(,

31、z,y,xLz （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断中往往可根据问题本身的性质来判断.问题问题 1：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 G(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.0)()(z,y,xGz,y,xfzz 0)()(z,y,xG,z,y,xL 问题问题 2：求函数求函数 u=f(x,y,z)在约束条件在约束条件 (x,y,z)=0,h(x,y,z)=0 下的条件极值下的条件极值.（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()()()(z,y,xhz,y,xz,y,xf,z,y,

32、xL 其中其中 ，称为拉格朗日乘数称为拉格朗日乘数.（2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 2 的所有可能的极值点的所有可能的极值点.xL0 xxxhfyL0 yyyhf L0 ),(zyx zL0 zzzhf L0 )z,y,x(h（3）进一步确定所）进一步确定所求点是否为极值点，求点是否为极值点，在实际问题中往往可在实际问题中往往可根据问题本身的性质根据问题本身的性质来判断来判断.（P：134，17）例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a解：解：设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为 x,y,z,体积体积为为 V ,则问题

33、可描述为在约束条件则问题可描述为在约束条件22axzzyyx )(下，求体积函数下，求体积函数zyxV )0,0,0(zyx的最大值。的最大值。（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数),(zyxLzyx)222(2axzzyyx （2）联解方程组）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx(书例题书例题)例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a（1）构造拉格朗日函数）构造拉格朗日函数),(zyxLzyx)222(2axzzyyx （2）联解方程组）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022

34、 )(zx zLxy 022 )(yx 解：解：02222 axzzyyxL 由对称性知，由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得代入最后一个方程解得zyx a66 这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。(1)(2)(2)(3)比得x=y,比得y=z,例例1：求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体体积而体积为最大的长方体体积2a解：解：zyx a66 这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本

35、身可知最大值一定存在，）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。结论：结论：表面积为表面积为2aa663636aV 的长方体中，以棱长为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为的正方体的体积最大，且最大体积为例例2：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解：设解：设(x,y,z)为椭球面上任意一点为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为则该点到平面的距离为222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题问题1：在约束条件在约束

36、条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。由于由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题问题 1 转化为下面的等价问题转化为下面的等价问题问题问题2：在条件在条件下，求函数下，求函数262)(),(zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62|zyxd6|62|zyx问题问题1：在约束条件在约束条件下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx

37、)(02622 yzyxLy)(（2）联解方程组）联解方程组（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx)(02622 yzyxLy)(（2）联解方程组）联解方程组02622 zzyxLz)(012222 zyxL 求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M对应的距离为对应的距离为|62121212|611 d632 6342 d(1)(2)(2)(3)得x=y,+得y=-z,1代入(4)得x=2例例2：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点

38、和最远点。的最近点和最远点。解：解：问题问题1：在约束条件在约束条件012222 zyx下，求距离下，求距离 d 的最大最小值。的最大最小值。求得两个驻点：求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d对应的距离为对应的距离为,6342 d（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以离和最远距离均存在。所以最近距离为最近距离为,6321 d最远距离为最远距离为,6342 d例例2：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。解

39、：设解：设(x0,y0,z0)为椭球面上平行于已知平面的为椭球面上平行于已知平面的 的切平面的切点的切平面的切点62 zyx000(2,)(2,1,1)nxyz0002211xyz000,xyz 代入椭球面方程，得代入椭球面方程，得,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M法二法二例例3：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)(),(azyxxyzzyxL1111 （2）联解方程组）联解方程组,02 xyzLx 02 yzxLy,02 zyxLz 01111 azyx

40、L 由对称性知，由对称性知，x=y=z，代入最后一个方程解得代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 例例3：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是这是唯一可能唯一可能的极值点的极值点,azyx3 （3）判断：）判断：设条件设条件azyx1111 所确定的隐函数为所确定的隐函数为),(yxz 代入目标函数中得代入目标函数中得),(yxyxu 它有唯一驻点它有唯一驻点(3 a,3 a),经计算可得经计算可得(,),(,)uxyzxyx y zx y(,)uzyx yxyxx(3,3,

41、3)0aaauxzyzxyx例例3：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：）判断：uzyzxyxx1111(,)0G x y zxyza22(3,3,3)1xzaaaGzzxGx 222242243Pzzxxzzxxxa 22222uzzyxyxxx(3,3,3)0aaaux例例3：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 （

42、3）判断：）判断：uzyzxyxx1zx 2243zxa22222uzzyxyxxx(3,3,3)0aaaux,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 ,02722 aBAC,06 aA且且同理得同理得:例例3：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0,y 0,z 0,a 0。这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：）判断：),(yxyxu 它有唯一驻点它有唯一驻点(3 a,3 a),|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaa

43、yy633 ,02722 aBAC,06 aA且且所以，所以，(3a,3a)是函数是函数 u=x y (x,y)的极小值点的极小值点从而原条件极值问题有极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为对应的极小值为.327au 习题98:2，4,5,7,8，9，10，11 作业作业第九章第八节第九章第八节:多元函数的极值多元函数的极值练习同济备用题练习同济备用题多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结总习题总习题:P132;1,2,3,4,5,6,8,9,11,13,14;15,16,17,18,20,