第二章一元函数微分学课件.ppt
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- 第二 一元函数 微分学 课件
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1、2.1 导数的概念导数的概念2.2 导数的运算导数的运算2.3 微分微分2.4 导数的应用导数的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 第二章 微分学发展史2.1.1 引例引例2.1.2 导数的定义导数的定义2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 第二章 2.1.1 引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度描述物体下落位置的函数为212()s tgt改变量之比的极限称为导数,路程对时间的导数就是速度。路程对
2、时间的导数就是速度。0()s t有增量00()(),ss tts t 则物体在 内的平均速度为t00()()s tts tsvtt 2200011()()122(2)2g ttg tgttt 即可得物体在 时刻的瞬时速度0t令0,t 0(),v t即00000000()()1()limlimlim(2)2ttts tts tsv tgttgttt 给 以增量 ,(),0tt0t tt 2.1.2 导数的定义导数的定义;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000定义定义
3、1.设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 否则,就说)(xf在点0 x处不可导或说可导或说 在点0 x的导数不存在导数不存在.由导数定义可知,导数是函数)(xfyx对自变量的变化率.导数的等价定义:右可导与左可导:lim)(000 xxxxxf)()(0 xfxf0 xx lim)(00 xxxf)()(0 xfxf0 xx lim)(000 xxxxxf)()(0 xfx
4、f0 xx 若函数)(xf在开区间 内处处可导,则称),(ba它在 上可导.),(ba若函数)(xf)(af)(bf与则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba且都存在,对应于),(ba内的每一点 xfx,都有一个确定的导数值,于是x和其对应点的导数值之间便构成了一个新的函数,称此函数为)(xf的,y,)(xf,ddxy.d)(dxxf记为导函数,简称导数,求导的步骤)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(xxylim02.算比值算比值3.取极限取极限1.求增量求增量对于),(ba内的每一点x有)(xf xyx0limxxfxxfx)()(lim00)()(0 xxx
5、fxf而 xfy 在0 x处的导数即为)(xf 在0 x处的函数值,即例1.求函数2xy 在2,1xx处的导数解:xxxxxxy222xxxxxxxy2)2(xxxxxfxx22limylim00所以,2211xxf 4222xxf例2.求函数bkxy为常数)解:xkbkxbxxky)(kxxkxykkxxx00limylim所以,ky bkk,0(的导数.例3.0)(xxxf在xxxxxfxfxxx000lim0lim)0()0(lim处的导数.求函数解:1lim100 xxxx,有时,当1lim100 xxxx,有时,当不存在所以,xfxfx)0()0(lim0处不可导在即,函数0)(xx
6、xf导数的几何意义导数的几何意义xo)(xfy CNR0 xM0 xx导数是曲线上过点x0处切线的斜率0 x 当时,亦即N无限靠近M时,如果0limxyx 存在,那么割线就将趋向于曲线上过点00(,)M xy的曲线的切线,即有0 x 时,于是0()fxlimtan0limxyx tan1.有切线可导切线存在()fx为无穷大2.切线不存在不可导注意:x曲线)(:xfyC割线 M N 的斜率00()()f xxf x tanyxtanyxtanyxtanyxtanyx例例4 求过点求过点(0,-1)且与且与相切的直线方程相切的直线方程.2xy 解:由例1知xy2设切点为),(00yx则该直线的斜率
7、为,20 x又知200 xy 从而有,0)1(20200 xxx解得,1,10201xx从而知过点(0,-1)可作两条直线与可作两条直线与2xy 相切,相切,其斜率分别为,2,221kk二直线方程分别为.21,21xyxy处可导在点xxf)(2.1.4 函数的连续性与可导性的关系函数的连续性与可导性的关系处连续在点xxf)(注意注意:函数在点 x 连续不一定可导连续不一定可导.反例反例:xy xyoxy 在 x=0 处连续,但不可导.xyxfxxfyx000lim,)(则处可导在点函数 00limlim)(limlim00000 xfxxyxxyyxxxx2.2.1 几个基本初等函数的导数几个
8、基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 2.2.3 复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则2.2.4 对数求导法对数求导法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2 2.2 导数的运算导数的运算 第二章 2.2.5 反函数求导法反函数求导法 2.2.6 高阶导数高阶导数 2.22.2导数的运算导数的运算 2.2.12.2.1几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数 二、幂函数的导数二、幂函数的导数一、常数的导数一、常数的导数常数的导数是常数的导数是0 0三、正弦函数与余弦函数的导数三、正弦函数与余弦函数的导数1)(nnnxxxxxxsin)(cosc
9、os)(sin,四、对数函数的导数四、对数函数的导数),0,1,0(logxaaxyaxxaxy1ln,ln12.2.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 法则法则具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面对(3)加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu证证:设)(
10、xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1:uCCu(C为常数)推论推论2:wvuwvuwvuwvu 例5.已知.,lnsin2yxxxxy求解:)ln()sin()lnsin(22xxxxxxxxy)(lnln)()(sinsin)(22xxxxxxxxxxxxxxx1ln2cossin2xxxxxxln2cossin例6.已知.),0(1yxxy求解:22111
11、)1(xxxxxy例7.,),(csc),2(seczykxxzkxxy求 xxxxxy2coscos1cos1)cos1(sec解:xx sectanxxxcsccot)(csc同理例8.,),cot,tanyxxy求xxxxxxxxy2coscossincossin)cossin(tan解:xxxx2222seccossincosxx2csc)(cot同理2.2.3复合函数和隐函数求导法则复合函数和隐函数求导法则一、复合函数求导法在点 x 处也可导,且定理1.)(xu)(xdxdu)(ufy)(xu)(ufdudy)(xfydxdududydxdy)()()(xufxf设函数 在 处有导数
12、 ,函数 在 的对应点 处可导,则或或 xx复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数)(xvx)(vgu x)(xv)(ufy v)(vgu)(xgfyxdxdvdvdududydxdy在 处可导,在 的对应点 处可导处可导,而而 在 的对应点 处也可导,则 在 处也可导,且42)1(xy.dxdyxy3sin.dxdy例9.已知,求例10.已知,求解:令)1(4,1,2324xudxdududydxdyxuuy3232)1(82)1(4xxxx解:令xudxdududydxdyxuuy3cos33cos,3,sin,2tan11xy.dxdy例
13、11.已知求解:令 2222tan12sec22tan12tan112tan11xxxxxdxdy2coslnxey.dxdy)(uf.),(tandxdyxfy求例12.已知,求例13.设为可导函数,且解:cos1sincoscos122222xxxxxeeeeey解:设注意:注意:复合函数的求导关键是搞清符合关系,从外层复合函数的求导关键是搞清符合关系,从外层到里层一层一层地求导,不要漏层到里层一层一层地求导,不要漏层。22222tan2cossin2xxxxxeexxeeexufxufdxdududydxdyxu2sec)()(tan)(,tan0),(yxF,0,122xyexeyxy
14、与x的函数关系隐含在 中,这种形式的例如如果我们把y看成中间变量,则可运用复合函数求导函数称为隐函数。等等。法则求出y对x的导数。例14.y是由 1cossinxy所确定的关于x的函数,求y解:设1cos)(sin),(xxfxfy则两边同时对x求导,则0sin)(cos)(xxfxf即0,sincosxyy最后得.cossinyxy 二、隐函数求导法xyeyyxycos21cos.32xy例15.求函数y是由 所确定的函数的导数 所确定的x 的函数,例16.已知 y是由解:等式两边同时对x求导,得解得试求解:方程两边同时对x求导,得,sin21sinyyxy从而,sin211sinyxy又由
15、函数方程知,32时x,0y所以.230sin21132sin32xy.0 xyy 和,yxyyey,xeyyy当0 x时,,2y故.22002exeyyxyyx2.2.4对数求导法对数求导法 对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数(1)(2)(1)(3)(4)xxyxx(2)(yx(3)(0,1)xyaaa(4)xyx(5)xxyx(6)(1)(2)xyxx例17.已知下列各函数,分别求其导数y为任意实数为任意实数)解:(1)两边同时取对数,得1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx两边同时对x求导,得11111121234yyxxxx 因而111121234yyxxxx 1(
16、1)(2)11112(3)(4)1234xxxxxxxx(2)两边同时取对数,得lnlnyx两边同时对x求导,得11yyx 因而111yyxxxx 即对任意实数,有1()xx (3)两边同时取对数,得lnlnyxa两边同时对x求导,得1lnyay 所以lnlnxyyaaa 即lnxxaaa特别地,当xxeeae时,(4)(ln1)xyxx 2(5)(12ln)xyxx x 21111(6)(1)(2)ln(1)ln(2)12xyxxxxxxxx)(yx0y,00yydydx)(xfy)(0yx001yyxxdydxdxdy2.2.5 反函数求导法反函数求导法在在处可导,且处可导,且则则 在对应
17、点在对应点 处也可导,处也可导,证略证略定理定理2 对于函数对于函数()yf x它在某个开区间严格单它在某个开区间严格单调、连续,它的反函数调、连续,它的反函数且且.,arccos,arcsinzyxzxy及求例18.已知 解:内严格单调、连续,且)2,2(sin在yx,0cosydydx由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有2211sin11cos11xyydydxdxdy即211)(arcsinxx类似可得.11)(arccos2xx.,cot,arctanzyxarczxy及求例19.已知 解:内严格单调、连续,且)2,2(tan在yx,0sec2ydydx22211tan11se
18、c11xyydydxdxdy即211)(arctanxx类似可得.11)cot(2xxarc由定理2知在x所对应的区间 内,(,)2.2.6 高阶导数高阶导数)(xfy 函数的二阶及二阶以上的导数统称为y 的高阶导数。如果)(xfy的导数也存在,则称其为的二阶导数,记为.)()(2222dxxfddxydxfy或或或 三阶导数或三阶以上导数可类似定义。.),0()(naxyaey求例20.已知 解:axaxaxeaaxeeyaxaxaxeaeaeay 2axnneay)(xyey例21.y是由 所确定的x的函数,求解:两边同时对x求导,得.y,yxyyey,xeyyy所以对上述等式两边再对x求
19、导,得,)(2yxyyyeyeyy 整理并将 代入得y.)1()22()()(232232 yxyyyxeyexeyyyyy2.3.1 微分的定义微分的定义2.3.2 微分的几何意义微分的几何意义 2.3.3 微分的计算微分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 2.3 微微 分分 第二章 2.3 微微 分分问题提出:x xx x x x 2xxx面积增量为22()Sxxx22()x xx x的高阶无穷小x正方形边长为2Sx给边长增量 ,xx,面积为2.3.1微分的定义微分的定义)(xfy)()(xfxxfy)(xxAyx)(x0 x定义定义2.设函数设函数 在在x 的某个临域内有定
20、义,的某个临域内有定义,可以表示为可以表示为其中其中 A是不依赖于是不依赖于 的的x 的函数,的函数,是当是当 时比时比高阶的无穷小,则称函数高阶的无穷小,则称函数 在点在点 x处可微,并称处可微,并称 为函数为函数 在在x 处的微分,记作处的微分,记作如果函数的增量如果函数的增量x)(xfy xA)(xfy xAdy,dy即xxAxy)(如果如果 在点在点 x处可微,在处可微,在 两端同除以两端同除以,得,得)(xfy)(xxAyx两边同时求极限得Axf)(即有dxxfxxfdy)()(2.3.22.3.2微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydx
21、tan当 很小时,xyyd时,当xy 则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.3.2微分的计算微分的计算dvduvud)()1(udvvduvud)()2(2)()3(vudvvduvud一、微分的四则运算法则二、一阶微分的形式不变性()()dyf u g x dx()yf u()ug x()(),dyf u g xdx()yf g xx设函数和可导,即则复合函数在点的微分为()()f ug x dx()f u du例22 求2yx在1,2,0.1xxx 且时的微分.解:2
22、2dyxdxxx10.12 1 0.10.2;xxdy 20.12 2 0.10.4;xxdy 例23 已知tan,.xyedy求解:tantan2(tan)secxxdyedxexdx2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用一、函数值的误差估计0,x,xyyy设是x的函数,x的测量值为且测量误差为计算y时将产生误差00.yf xxf x 把xy与分别称为x和y的绝对误差,而把xx与分别称为x和y的相对误差。当x很小时,有如下近似公式0yfxx 00()()fxyxyf x 利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。的误差(1)已知测量x所产生的误差,估计由x所引起的y的误差
23、。(2)根据y所允许的误差,近似地确定测量x时所允许的误差。例24 设已测得一圆的半径r为21.5厘米,且测量的绝对误差不超过0.1厘米,求计算圆面积S时所产生的绝对误差。解:已知0.1r的测量值为021.5r 厘米,绝对误差厘米,因此S的绝对误差为r00()2SS rrrr 2221.5 0.14.3()厘米例25 从一批密度均匀的药丸中,把所有直径等于0.1厘米的胶丸挑出来,如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差,并且选择的方法以重量为依据,试问在挑选时称量重量的相对误差应不超过多少?解:设胶丸的密度为,半径为r(单位为厘米),重量为W,则有34W=g3r由于2dW=4,grr因而2
24、3dW4=3,4W3g rrrrg r 从而11,33rdWWrWW要使3%,rr只要13%,3WW即可9%.WW因而二、函数值的近似计算当x很小时,由式(2-33)可得000()()()f xxf xfxx上式可用于计算0()f xx0 x在附近的近似值。例26 计算sin44o的近似值。解:设22()sin,()cos,(),(),4242yf xx fxx ff所以22sin44()()()41804180421802offf例27 求3的近似值。解:设 yf xx则1,2yx 取03.0276,x 有0()3.02761.74,f x011(),2 1.7423.0276fx所以3(3
25、.02760.0276)f(3.0276)(3.0276)(0.0276)ff 11.74(0.0276)2 1.74 1.740.0081.7322.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.4.2 洛必达法则洛必达法则2.4.3 函数增减性和函数的极值函数增减性和函数的极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.4 2.4 导数的应用导数的应用 第二章 2.4.4 函数凹凸性及拐点函数凹凸性及拐点2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(xfy)()()(fabafbf)(ba定理定理3 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 a,b上连续,在上连续,在 使得使得 开区间开区间(a,b
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