空间向量在立体几何中的应用sxz课件.ppt

1、(一)证明两直线平行 ab空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 baCDABbDCaBA ,;,?ABCD一.平行问题 明两向量平行。得到两向量，转化为证分别取不同的两点方法思路：在两直线上bayxyxyxCDyxAB ),(),(12212211?则有知?a(二)证明线面平行?AB0AB ,.1ABnnnaBAa?若，的法向量为面面线?aa1e2e?.2221121aeeaeeaa?），若组基底（不共线的向量的一是平面、，的方向向量为外的直线已知面 则可得线面平行。即证明数量积为这一向量与法向量垂直得一向量，证明量，在直线找不同两点方法思路：求面的法向，0)(nAB.,从而证

2、线面平行外的线平行则可得面内一直线与面相等）内存在一向量与方向向底线性表示（即在平面组基方向向量可用平面的一方法思路：证明直线的(三)面面平行?mn?.1?nmnm，和分别是的法向量与不重合的两平面?mABCDO?,.2?mm若，的法向量为面与不重合的两平面?00?mOCDABCDmABmOCDABCDmABm即 则两平面平行。为证明两法向量平行法向量，转化方法思路：求两平面的,两面平行。（即都垂直），则可得量积为的不共线的两向量的数法向量与另一面平面的法向量，再证该方法思路：求出其中一0(一)证明两直线垂直 ab?二.垂直问题 abbabababa?0 ，则有和分别为的方向向量和直线不重合的

3、直线则可证两直线垂直。两向量的数量积为，证明两向量在两直线上各取两点得分别方向向量方法思路：找两直线的,0)(二)证明线面垂直 l?lmamal .1则有，的方向向量为平面，的方向向量为直线am可证线面垂直。需证明两向量平行，则只及平面的法向量上取两点得一向量在两直线向向量方法思路：找直线的方,)(二)证明线面垂直 l?aeaeaeeal00,.22121且则有共线的向量）的一组基底（不是平面，的方向向量为直线1e2eam线面垂直。（即都垂直），则可证量积都为的数与平面内两不共线向量取两点得一向量在两直线上方向向量方法思路：证明直线的 0)(三)证明面面垂直?mn?0 .1nmnm，则有和为的

4、法向量分别和不重合的平面?1e2en?221121n .2eeeen则有向量），的一组基底（不共线的是平面，的法向量为平面则可证明两平面垂直。两向量数量积为为法向量，只需证明方法思路：找两平面的0,线性表示。不共线的向量面的一组基底即法向量可以用另一平向量与另一平面平行面的法向量，证明该法方法思路：找其中一平)(三.处理角的问题(一)求异面所成的角?abABCD|,cos|cos,CDABCDABCDABbabDCaBAba?则有所成的角为是两异面直线。夹角相等或互补直线所成的角与向量的但要理解异面套公式。为向量的夹角问题转化线的方向向量方法思路：找两异面直)(,?l(二)求线面角 ABm|,

5、cos|sin,?mABmlBAl?的法向量，则有是面若，所成的角为与面的斜线设平面互余）与两向量所在直线夹角注意线面角再套公式。转化为向量的夹角问题，向向量与平面的法向量方法思路：找直线的方(,?l(三)求二面角 nml 与的法向量分别为，若面，的大小为设二面角?mn|,cos|cos )2,0()1(?nm?则有即若二面角为锐二面角，|,cos|cos )2()2(?nm，?则有即若二面角为钝二面角，。（钝）二面角，套公式，并结合图形判断是锐为大小的法向量，设二面角的方法思路：找两半平面?lab，已知的大小为设二面角bDCaBAlblabal?,?|CD,ABcos|cos CD,AB,)

6、2,0()1(?，故有相等或互补即与的夹角与等于直线，则即若二面角为锐二面角，baABCD|CD,ABcos|cos CD,AB,)2()2(?，故有相等或互补即与的夹角互补与等于直线，则，即若二面角为钝二面角，?ba公式处理。是锐（钝）二面角，套角问题，结合图形判定为向量的夹垂线所成的角，再转化二面角问题转化这两条垂直于公共棱，则可把在两半平面各找一直线方法思路:四.处理距离问题(一)点到面的距离d?P Qm)(|P:,的投影的长度在法向量向量的距离面到点的法向量，则有是平面得任取一点mPQmmPQdmPQQ?套公式。在法向量的投影的长度转化为得一向量与点在面内任取一点组可求方程任一法向量方

7、法思路：求出平面的,PQPQ),(m(二)求两异面直线的距离d ab?ABCD|m|mAC ,?则两异面直线的距离，都垂直的向量找一向量与两异面直线，是两异面直线，知dmbDCaBAba|m|mACd,mAB ,CA,m?距离上的投影的长度在向量就是则其距离异面直线上各任取一点然后分别在两向量与两异面直线都垂直的的距离，先找一向量方法思路：求异面直线d的坐标，可用方程组求出都垂直，、与异面直线向量 mbam五.如何建立适当的坐标系 OABC三线两两互相垂直有公共顶点的不共面的.1锥等等。侧棱垂直于底面的三棱三角形且过直角顶点的是直角是矩形的直棱柱、底面正方体、长方体、底面2.有一侧棱垂直底面有

8、一侧棱垂直底面 OABCOABOC底面?是等边三角形）（OAB1?为斜边的直角三角形是以）（OBOAB2?PABCD是菱形，且四边形底面ABCDABCDPA?的菱形是，且四边形底面?60ABCABCDABCDPA直棱柱的底面是菱形3.有一侧面垂直于底面有一侧面垂直于底面.60ADCABCD 2 PCDABCDP的菱形是底面垂直，的正三角形，且与底面长为是边中，侧面四棱锥?32SCSAABCSAC4ABC,ABCS?且，底面平面的正三角形，是边长为中在三棱锥两平面垂直的性质定理:若两面垂直,则在其中一面 内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化 为有一线垂直于底面的问题.正四棱锥正四棱锥 正

9、三棱锥正三棱锥 侧面是正三角形另一且的斜边是公共是全等的直角三角形、侧面中在三棱锥如图1,CDBD,3AD,AD,ACDABD,BCDA,ABDC223112的距离。到平面求点的大小的正切值；求二面角；平面求证：且面的中点分别是、的正方形是边长为例：如图，GMNB)3(CMNG)2(GMN BD)1(2ABCDCG,AD,ABNM,4 ABCD?CGA M B C D G N xyZ )0,4,4()0,4,2()2,0,0()0,0,4()0,4,0()0,2,4()0,0,0(GMNBDN,2)0,2,2(),0,4,4()1(面又建系略略解：?MBDMNBDMNBD GMNBDGMNMN

10、面面又?),()(zyxmGMN?个法向量为的一设平面法二A M B C D G N xyZ)0,4,4()0,4,2()2,0,0()0,0,4()0,4,0()0,2,4()0,0,0(?0200242)2,4,2(),(022)0,2,2(),(zyxyxzyxzyxGMmyxzyxMNm)3,1,1(,3,1,1?mzxy故则取GMNBDGMNMN面面又?GMNBDmBDBD面又而?,0)0,4,4()2,0,0()2(?CGCMN的一个法向量为易得半面)20?（的大小为设二面角CMNG32tan,3111126|cos?mCGmCG)0,0,2(),3,1,1()3(?MBmGMN又

11、的一个法向量为面?11112311030121|222?mmMBdGMNB的距离到面故点ECABDxyZ1A1B1C1DOF的大小。求二面角的坐标试求点上且在若点；平面求证：如图建立空间直角从标系为原点的中点，以为棱，交于与且的棱长为例：正方体)3(F,)2(BO)1(,A,ADDEOBDAC2 DCBAABCD11111111CAEBAEFBAEFEACxyz?)1,02(),0,1,1()2,2,0(),2,2,2(),2,0,2(),02,0()0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(111EODCBADCBA),0(zyF的距离。到平面求点的大小的正切值；求二面角；

12、面求证：底面中，例：四棱锥PCDBAPCDPACBCACB)3()2()1(90,3PA,120BAD1,CDADCD,ABABCD,PAABCDP?Bzyx),3,0,0(),0,21,23(),0,21,23(),0,0,23(),0,2,0(),0,0,0(PDCEBA?EECD的中点取Bzyx大小的正切值求二面角面APCDPACBC?)2()1(?3 1310,0,0,0,0,3,0,02222APCD?（建系略）)2()3,21,23(),0,1,0(),0,2,0(?DPDCB，则有的一个法向量为设面),(PDCzyxm?03212300)3,21,23(),(0)0,10(),.

13、(00zyxyzyxzyxDPmDCm)1,0,2(?m则可取)20(A-PC-D.,PAC0,23,23)1(?的大小为设二面角的一个法向量是平面知由BC51|533|,cos|cos?BCmBCmBCm?52sin?2tan?的一个法向量是面知由又PCDmPBB)1,0,2()2(),3,2,0(),0,2,0()3(?515|530220|?mmPBdPCDB的距离到平面点的距离到平面点)3(PCDB的距离。到平面求点的余弦值；求二面角；平面求证：。平面且上的点为的正方形是边长为四边形中直二面角如图)3()2()1(,2 ,ACEDEACBBCEAEACEBFCEFEBAEABCDEAB

14、D?以线段以线段AB的中点为原点的中点为原点O，OE所在直线 为为x轴轴,AB 所在直线为y轴，过轴，过O点平行于点平行于AD 的直线为的直线为z轴轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.ABEBCABBCABABEABCD面故为正方形，交线为面由已知得面?,ABCD)2,0,0(),2,01(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,0(DCBAO?)0,0,1(,EBEAEBCEAEAEBCAEBFACEBF点面又面?xyzO3331|cos),20EACB?nmnm?（的平面角为设二面角；平面求证BCEAE?:)1(的余弦值；求二面角)2(EACB?的距离。到平面求点)3(ACED的距离

15、。到平面求点的大小；求二面角；证明：的中点分别为面面的正三角形是边长为中例：在三棱锥)3()2()1(.,32.,4 ,CMNBBCMNSBACSBABNMSCSAABCSACABCABCS?xyz)(,如图建立空间坐标系面交线为面面连结的中点取xyzOBOSOABCSOACABCSACACBOACSOBCABSCSAOBOSOAC?)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(),0,0,0(NMSCBAO?Oxyz),2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(),0,0,0(NMSCB

16、AO?BCMN 2)1(）求二面角（证明：SBAC?O),0,0,4(?AC)22,32,0(?SBSBACSBAC?0)1,6,2?n31|22322|OS|n|OSncos),2(0?则有设二面角的大小为31arccos 的大小为二面角BCMN?的距离到面）点（CMNB3的一个法向量是平面)1,6,2(),0,3,1()3(CMNnMB?324324|?nnMBdCMNB的距离到平面点ABDC明理由。的位置；若不存在，说角？若存在，确定成与面，使上是否存在一点在线段的大小；求二面角；求证：另一侧面是正三角形且是公共的斜边形是全等的直角三角、侧面中在三棱锥如图例：30)3()2()1(.1,

17、CDBD,3AD,AD,ACDABD,BCDA)(EBCDEDEACDACBBCAD?223112.,1 示的空间直角坐标系建立如图所正方体中的锥放置在一棱长为解析：依题意可把三棱)111(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(ACBD),1,(,1,0,AC),(xxEyzxzyxE即则上一点是线段设?BCADBCDABCDA?0)0,1,1(),1,1,1(6arccos31?CEEAC点且上存在线段则有和的法向量分别是与面设面),(),()2(cbanzyxmDACBAC?)1,1,1(1,0)1,0,1(),(0)0,1,1(),(?mxzxzyxCAmyxzyxBCm，则取

18、)1,0,1(?nDAC的一个法向量同理可求得平面)20(DACB?的大小为设二面角36arccos,3623101|cos所求二面角的大小为?nmnm?),1,(,1,0,AC),(xxEyzxzyxE即依题意可知上一点是线段设?)120(60,30),1,0,0(?或则成与面要使的一个法向量为易知平面pDEBCDEDpBCD说明理由。若不存在的位置确定？若存在成与面使是否存在一点上在线段的大小求二面角,30,)3()2(EBCDEDEACDACB?12|222121|,cos22?xCExxxpDEpDEpDE角。成与面时，点且上存在故线段?30 1BCDEDCEEACyxz，轴建立空间直

19、角坐标系分别为为原点以解析,)1(:1zyBABBB),0,2,0(),2,0,0(),0,0,0(,3,2,2,1111BABBCCABBBBC得由于?)0,23,23(),0,21,23(1CC?)0,21,23(),(23210)2(43)0,2,23()2,23(Eaaaaaa故舍去或即?.,04343)02323()0,21,23(11EBBEEBBE?即BEABBBCCAB?故面又,111 ,14143|,1故距离为而的公垂线段是异面直线故?BEEBABBE的夹角与为直线的平面角锐二面角11111111,)2(ABEAAEBAEBABEBEA?.22tan,32|cos),2,21

20、,23(),2,0,0(111111?即故而ABEAABEAEABAAB的平面角的正切值。求二面角的距离；与求异面直线如图已知的一点、上异于为棱侧面中在三棱柱例1111111111111)2()1()(,3,12,2,:AEBAEBABBCCBCBBABEBEACCCCECCBBABCBAABC?0)0,23(11?EBEAEBEAaE，得，由设?lab，已知的大小为设二面角bDCaBAlblabal?,?|CD,ABcos|cos CD,AB,)2,0()1(?，故有相等或互补即与的夹角与等于直线，则即若二面角为锐二面角，baABCD|CD,ABcos|cos CD,AB,)2()2(?，故

21、有相等或互补即与的夹角互补与等于直线，则，即若二面角为钝二面角，?ba公式处理。是锐（钝）二面角，套角问题，结合图形判定为向量的夹垂线所成的角，再转化二面角问题转化这两条垂直于公共棱，则可把在两半平面各找一直线方法思路:,90,:?为正方形面面如图例PADABCDABCDPAD的中点。分别是线段，且,2CDPDPAGFEADPA?请说明理由。若不存在的值求出若存在距离为的到平面使得上是否存在一点在线段所成的角与求异面直线平面求证,;54,)3(;)2(;:)1(CQEFQAQCDBDEGEFGPB xyz)0,2,1(),1,1,0(),1,0,0(),2,0,0(),0,2,0(),0,2,

22、2(),0,0,2(),0,0,0(,:GFEPDCBAxyzA则角坐标系建立如图所示的空间直解析?xyz63|,cos)0,2,2()1,2,1(?BDEGBDEGBDEGBDEG?请说明理由。若不存在的值求出若存在距离为的到平面使得上是否存在一点在线段所成的角与求异面直线,;54,)3(;)2(CQEFQAQCDBDEG63arccos 所成的角为与故异面直线BDEG如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC的中点.(1)证明:PA平面 BDE;(2)求二面角 B-DE-C 的平面角的余弦值;(3)在棱PB上是否存在点F,使PB

23、面DEF?证明你的结论.例:一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：()求三棱锥 A-PDC 的体积；()试在 PB 上求点 M，使得 CM平面 PDA；()在 BC 边（不包括端点 B、C）上是否存在点 Q，使得二面角 A-PD-Q 为120？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由 解：由三视图可知：PBABCD?底面，底面 ABCD 为直角梯形，PB=BC=CD=1,AB=2,所以1111 1326A PCDP CDAVV?ABCDP()当 M 为 PB 的中点时，CM平面 PDA.现证明如下：取 PA 中点 N,连结 MN，DN，因为 M、N 分别为 PB、PA 的中点 所以MNA

24、B，且 MN=112AB?，?MNCD且 MNCD，?四边形 CDNM是平行四边形CMDN，而CM?平面 PDA ，DN?平面 PDA，CM平面 PDA ABCDPNM()分别以 BC、BA、BP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（如图）.假设在 BC 边上存在点 Q，使得二面角 A-PD-Q 为120。(,0,0),01,Q aa?设，易得?0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,1,BADP 设平面 PQD的法向量),(1111zyxn?,1DQn?1,nPD?01?DQn?，10nPD?而),0,1,1(?aDQ(1,1,1),PD?11111111(1,1,0

25、),(1,1,1)(1)01111,1,(,1),0DQaPDx ayaaxnxyzaaaa?1令z=,y=得uuu ruuu ru r)1,1,1(aaan?同理设平面 PDA 的法向量),(2222zyxn?可得)2,1,1(2?n?yzzABCDP依题意得,21120cos61113,cos022212121?aaannnnnn?化简、整理得2210,aa?解得11,2aa?或，因为01,a?所以12a?，1(,0,0),Q2BC?Q即 为边中点.yzzABCDP 如图一，平面四边形如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，60,90,AC?2CD?把ABD?沿沿BD折起 （如图二），

26、使二面角CBDA?的余弦值等于的余弦值等于33 对于图二，完成以下各小题：（）求CA,两点间的距离；（）证明：?AC平面BCD；（）求直线AC与平面ABD 所成角的正弦值所成角的正弦值 解：解：（）取BD的中点E，连接CEAE,，由CDCBADAB?,，得：BDCEBDAE?,AEC?就是二面角就是二面角CBDA?的平面角，的平面角，33cos?AEC2 分分 在在ACE?中，2,6?CEAE AECCEAECEAEAC?cos2222 43326226?2?AC4 分分 （）由22?BDADAC，2?CDBCAC?,222ABBCAC?,222ADCDAC?90ACDACB6 分,ACBC

27、ACCD?，又CCDBC?AC?平面BCD8 分 （）方法一：由（）方法一：由（）知）知?BD平面ACE，?BD平面平面ABD平面?ACE平面ABD10 分分 平面?ACE平面AEABD?，作CFAE?交交AE于于F，则则CF?平面ABD,CAF?就是AC与平面ABD所成的角，(12 分分)3sinsin3CECAFCAEAE?14 分分 方法二：设点C到平面ABD的距离为h，BCDAABDCVV?10 分 11112 22 2 sin602223232h?2 33h?12 分 于是AC与平面ABD所成角?的正弦 为33sin?ACh?14 分 方法三：以方法三：以CACDCB,所在直线分别为

28、所在直线分别为x轴，轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系空间直角坐标系xyzC?，则)0,2,0()0,0,0(),0,0,2(),2,0,0(DCBA 10 分分 设平面ABD的法向量为 n),(zyx?，则 n0?AB，n0?AD，?022,022?zyzx 取1?zyx，则 n)1,1,1(?，-12 分 于是AC与平面ABD所成角?的正弦即 3323|200|sin?CAnCAn?14 分分 图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 MN，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体 MNPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角 MNQP 的大小。