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类型矩阵的秩及其求法课件.ppt

  • 上传人(卖家):晟晟文业
  • 文档编号:4621482
  • 上传时间:2022-12-26
  • 格式:PPT
  • 页数:18
  • 大小:1.77MB
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    关 键  词:
    矩阵 及其 求法 课件
    资源描述:

    1、一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法第四节矩阵的秩及其求法 第二章 三、满秩矩阵三、满秩矩阵1ppt课件1.k 阶子式阶子式定义定义1 设设 nmijaA在在A中任取中任取k 行行k 列交叉列交叉),min1(nmkk称为称为A的一个的一个k 阶子式。阶子式。阶行列式,阶行列式,处元素按原相对位置组成的处元素按原相对位置组成的一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念2ppt课件设设110145641321A,例如例如矩阵矩阵A 的第一、三行,第二、四列相交处的元素的第一、三行,第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为所构成的二阶子式为10122D而1015643213D

    2、为为 A 的一个三阶子式。的一个三阶子式。显然,显然,nm矩阵矩阵 A 共有共有knkmcc个个 k 阶子式。阶子式。3ppt课件2.矩阵的秩矩阵的秩nmijaA设,有有r 阶子式不为阶子式不为0 0,任何任何r+1阶阶记作记作R(A)或秩或秩(A)。子式子式(如果存在如果存在的话的话)全为全为0,定义定义2称称r为矩阵为矩阵A的秩,的秩,4ppt课件规定:规定:零矩阵的秩为零矩阵的秩为 0.注意:注意:(1)如如 R(A)=r,则,则 A 中至少有一个中至少有一个 r 阶子阶子式式0,rD 所有所有 r+1 阶子式为阶子式为 0,且更高阶,且更高阶子式均为子式均为 0,r 是是 A 中非零的

    3、子式的最高阶数中非零的子式的最高阶数.(2)由行列式的性质,由行列式的性质,()().TR AR A(3)R(A)m,R(A)n,0 R(A)min m,n .(4)如果如果 Ann ,且且0,A 则则 R(A)=n.反之,如反之,如 R(A)=n,则则0.A 因此,方阵因此,方阵 A 可逆的可逆的充分必要条件充分必要条件是是 R(A)=n.5ppt课件二、矩阵秩的二、矩阵秩的求法求法1、子式判别法、子式判别法(定义定义)。例例1设000007204321B为阶梯形矩阵,为阶梯形矩阵,求R(B)。解解02021,由于由于存在一个二阶子式不为存在一个二阶子式不为0,而,而任何三阶子式全为任何三阶

    4、子式全为0,则则 R(B)=2.结论:阶梯形矩阵的秩结论:阶梯形矩阵的秩=台阶数。台阶数。6ppt课件010010100321A 3AR001021B 2BR例如例如100010011C 3CR125034000D2R D 21235081530007200000E 3R E 一般地,一般地,行阶梯形矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数台阶数”非零行的行数。非零行的行数。7ppt课件aaaA111111,3AR如果1a求 a.解解 3ARaaaA1111110)1)(2(2aa或2a例例2 设8ppt课件KKKKA111111111111 3AR则K3例例331 1111113(1)(

    5、3)1 111 11KAKKKKK9ppt课件2、用初等变换法求矩阵的秩、用初等变换法求矩阵的秩定理定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即BA则)()(BRAR说明:说明:jirr.1只改变子行列式的符号。只改变子行列式的符号。irk.2是是 A 中对应子式的中对应子式的 k 倍。倍。jikrr.3是行列式运算的性质。是行列式运算的性质。由于初等变换不改变矩阵的秩,由于初等变换不改变矩阵的秩,而任一而任一nmA都等价都等价于行阶梯矩阵。于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数,即为其秩等于它的非零行的行数,即为.AR所以可以用初等变换化所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩

    6、阵来求为阶梯矩阵来求A的秩。的秩。10ppt课件例例4211163124201A解解R(A)=2 000021104201,21102110420113rr 122rrA求.AR11ppt课件,2,6352132111,求)(且设ARA4580443021116352132111A015044302111,2)(AR1,501,05例例512ppt课件三、满秩矩阵三、满秩矩阵,nAR称称 A 是是满秩阵满秩阵,(,(非奇异矩阵非奇异矩阵),nAR称称 A 是是降秩阵降秩阵,(,(奇异矩阵奇异矩阵)可见可见:0AnARA 为为 n 阶方阵时,阶方阵时,定义定义313ppt课件定理定理3设设A是满

    7、秩方阵,则存在初等方阵是满秩方阵,则存在初等方阵.,21sPPP使得使得EAPPPPss121,对于满秩方阵对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵施行初等行变换可以化为单位阵E,又根据初等阵的作用:又根据初等阵的作用:每对每对A施行一次初等行变换,施行一次初等行变换,相当于用一个对应的初等阵左乘相当于用一个对应的初等阵左乘A,由此得到下面的由此得到下面的定理定理14ppt课件例如例如它的行最简形是它的行最简形是 n 阶单位阵阶单位阵 E.EAnAR nEAnAR213212321A320430321320110001E100010001 3AR对于满秩矩阵对于满秩矩阵A,A为满秩方阵。15

    8、ppt课件定理定理5 5 R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)minR(A),R(B)。关于矩阵的秩的一些重要结论:关于矩阵的秩的一些重要结论:性质性质1 1设设A是是nm矩阵,矩阵,).()()(ABRnBRARB是是tn矩阵,矩阵,性质性质2 2 如果如果 A B=0 则则.)()(nBRAR性质性质3 3 如果如果 R(A)=n,如果如果 A B=0 则则 B=0。性质性质4 4 设设A,B均为均为 nm矩阵,则矩阵,则).()()(BRARBAR16ppt课件设设A为为n n阶矩阵,证明阶矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)n证:证:(A+E)+(E-A)=2E R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n而而 R(E-A)=R(A-E)R(A+E)+R(A-E)n例例817ppt课件作业作业P109 1 2 318ppt课件

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