理论力学&06五点的运动学课件.ppt

1、12学习运动学的目的学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外，也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动分析。参考系参考系 运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。主要内容主要内容 包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。运动的力学模型运动的力学模型 点和刚体运动学运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。而不考虑运动发生的原因。引引 言言 运动学运动学引言引言34

2、5-1 5-1 矢量法矢量法1.运动方程显然矢端曲线就是动点的运动轨迹。2.点的速度3.加速度rrrvtttddlim0rrvva 220ddddlimtttt)(trr 运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学51.1.运动方程运动方程如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系kjirzyx 5-2 5-2 直角坐标法直角坐标法直角坐标表示的点的运动方程为)()()(321tfztfytfx以上也就是点的轨迹的参数方程2.点的速度点的速度 kjirvtztytxtddddddddkjivzyxvvv 又运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学6 3.加速度加速度同理同理

3、 kjikjikjivazyxzyxaaatztytxtvtvtvt222222ddddddddddddddtzvtyvtxvzyxdd dd dd 故2z2y2xvvvvvvx),cos(ivvvy),cos(jvvvz),cos(kv速度大小方向zyxaaaa222aaaaaazyx),cos(),cos(),cos(kajaia大小和方向为运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学7 一人在路灯下由灯柱起以匀速 v 沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M 的速度和加速度。v txhOLABlx运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学8解：取坐标轴 Ox

4、 如图。由三角形相似关系，有即从而求得 M 点的直线运动方程 M 点的速度而加速度 a=0，即 M 点作匀速运动。ABBMOLOMlvtxhxvtlhhxvlhhtxvddv txhOLABlxM例 题 5-1运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学9 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M 的轨迹方程。ACByOxMxy已知:例 题 5-2运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学10运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学11ACByOxMxy sin cos)(bybax1)(2222byb

5、ax 考虑任意位置，M点的坐标 x，y可以表示成消去上式中的角，即得M点的轨迹方程:解:例 题 5-2运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学12运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学13思考题：思考题：M点的轨迹是什么曲线点的轨迹是什么曲线？例 题 5-2运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学14轨轨 迹迹 演演 示示例 题 5-2运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学15 在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已知角=t,其中 是常量。yxABCOM2例 题 5-3运动学运动学第五章第五章

6、 点的运动学点的运动学16运运 动动 演演 示示例 题 5-3运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学17cos)cos()2cos(cosaAMOAxsin)cos()2sin(sinaAMOAy 取固定坐标系Oxy，令MAC=2,则 M 点在Oxy中的坐标为解:将=t 代入上式即可得到圆盘边缘上任一点 M 的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即常量tan:xy 故 M点的轨迹是斜率为tan并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。例 题 5-3运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学yxABCOM218运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学19)co

7、s(aOM)cos(tataxtayCB cos,sin 对于圆盘边缘上不同的点，角 取不同的值。但所有各点均作直线运动，且轨迹通过原点O。如令轴O重合于M点的轨迹直线，则有代入=t，得M点沿O的直线运动方程对于点B与C，角=90o与0o，故有例 题 5-3运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学yxABCOM220 xyOACBl 曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且lr，角=t，其中是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。例 题 5-4运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学21运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学22

8、 sin cos222rlrCBOCx.sin1 cos22tlrltrx考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标将t 代入上式得令=r/l，将上式的根式展开，有xyOACBlttt sin81 sin211 sin1442222解:例 题 5-4运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学23ttrlx2 cos4 cos412,2sin2sinddttrtxv.2coscosdd222ttrtxa略去4以及更高阶项，并利用关系滑块B的速度和加速度为xyOACBl2t2 cos1 sin2ttlrltrx sin1 cos22则可表示为例 题 5-4运动学运动学第五章第五章

9、点的运动学点的运动学24 5-3 5-3 自然法自然法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然法自然法。该方法适用于动点的 轨迹为已知的情况。1.1.弧坐标弧坐标弧坐标表示的运动方程 为 S=f(t)选定轨迹上的一点O为参考点，并设O点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定,s 称为动点M在轨迹上的弧坐标弧坐标。运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学252.自然轴系自然轴系运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学26运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学273.点的速度点的速度rrrrvvtSStSStStSStttttddddddli

10、mlim)(limlim0000显然nb以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。经过 t时间,点沿轨迹由M到M，矢径有增量 ，则r运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学28tvtStvtv)(vttdddddddddddd22vaa22tddddtStv(1)切向加速度切向加速度（表示速度大小的变化）4.点的加速度点的加速度(2)法向加速度法向加速度 （表示速度方向的变化）SvtSSvtvtvttta0200nlim)(limlimdd)ddlim(0vtStSt运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学29由图可知1dd)22sin

11、(lim2sin2lim|lim000SSSSttt2sin22sin|2|22sin ,0 ,0St时当 1|于是naaana2nt2ndd ,vtvv即nt2n2t|arctg ,aaaaa全加速度的大小方向为为轨迹曲线在点M 处的曲率半径运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学30 飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500 m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例 题 5-5运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学31OM0Mr(-)s(+)v0vatana解：因已知

12、飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用 自然法求解。取M0为弧坐标 s 的原点，s 的正 负方向如图所示。当t=5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定 m 375 152502tts先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度,10250ddttsv,m/s10dd2ttva22n)10250(15001tva例 题 5-5运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学32 故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为 sm 8.602n2t2aaa166.0 tanntaa5.9OM0Mr(-)s(+)v0vatana代入 t=5s2sm 300v,sm 102ta2nsm 60a 得例 题 5-5运

13、动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学33 销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 （时间以s计，以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。ROREDBCsOA-s+s例 题 5-6运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学34运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学35 已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标Rs 但是，由几何关系知 ，且 ，将其代入上式，得t2sin82 2sin402tRs这就是B点的自然形式的运

14、动方程。解：ROREDBCsOA-s+s例 题 5-6运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学36ROREDBCsOA-s+sB点的速度在切向上的投影 2t2cos20ddttsvvtB点的加速度 a 在切向的投影 2sin10dd3ttttva而在法向的投影 2cos401.02cos2024222nttvaatan例 题 5-6运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学37当 时,，又 ,。可见,这时B点的加速度大小且a1沿切线的负向。当 t1=1 s 时,又 可见，这时点B的加速度大小且 a2 沿半径 B2A。a2=a1nADB1B2R1Ea1=a1t例 题 5-6运动学运动学

15、第五章第五章 点的运动学点的运动学38 半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角=t，其中是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。OHCDMxy例 题 5-7运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学39OAHBCDMxy 在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴 y 铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH。于是，在图示瞬时动点M 的坐标为 sinrrMBMHAHOHOAx弧 cos

16、rrBCHCHBAMy解：1.1.求求M点的运动方程。点的运动方程。例 题 5-7运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学40)sin(ttrx)cos1(try 这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间 T=2/，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。O AHBCDMxyP 以 代入，得M点的运动方程 t sinrrx cosrry对对E例 题 5-7运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学41 求坐标 x，y 对时间的一阶导数，得)cos1(trvxtrvy sin故得M点速度 v 的大小和方向 2sin2sin)cos1(2222t

17、rttrvvvyxMDMBtvvx2sin2sin),cos(ivMDBDtvvy2 cos2 cos),cos(jvM点的速度矢恒通过轮子的最高点D。O AHBCDMPxy2.2.求求M点的瞬时速度。点的瞬时速度。v2例 题 5-7运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学42 求vx，vy对时间的一阶导数，得 trax sin2tray cos2故得M点加速度 a 的大小和方向，有 ,222raaayxMCMBaax sin),cos(ia,cos),cos(MCBCaayja,0 xv;0yv,0 xa2rayx=0,y=0;当t=0时，有 这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，

18、而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。O AHBCDMPExy2a3.3.求求M点的瞬时加速度。点的瞬时加速度。例 题 5-7运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学43运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学44 试求例 7 中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。OHCDMxy2Pav例 题 5-8运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学45解：2 sin2trv由因而它的切向加速度 2 cosdd2ttrtva 注意，当 时，而当 时，；两者相差一个负号。在 以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点，运动方向发生突然逆转，由 突变为

19、 。00t;20tra21t21 tra1tta2r2rOHCDMExy22vata例 题 5-8运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学46矢量 at 和 an 的方向分别沿MD 和MH。2 sin22t2ntraaaM点的法向加速度大小OHCDMExy22vataan例 题 5-8运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学47另一方面，故轨迹的曲率半径为 2nva 2 sin42 sin2 sin42222n2trtrtrav可见，轨迹的最大曲率半径 ，对应于轨迹的最高点 。r4max)(tEOHCDMxy22vataanE例 题 5-8运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学48运动学运动学第五章第五章 点的运动学点的运动学