水文学第三章课件.ppt

1、内 容：水文统计的意义及基本概念 频率和概率 经验频率曲线 随机变量的统计参数 理论频率曲线 抽样误差 水文频率分析方法 相关分析水文现象具有二重性：水文现象具有二重性：水文现象包含着水文现象包含着(Inevitability)水文现象也包含着水文现象也包含着(Contingency)，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。规律一般称做统计规律。1.1.概述概述物理成因分析法物理成因分析法概率论和数理统计分析方法概率论和数理统计分析方法水文分析计算常用到数理统计的方法水文分析计算常用到数理统计的方法进行流域或地区水资源开发利用，首

2、先要了进行流域或地区水资源开发利用，首先要了解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。这种对未来长期的径流情势（属随机变量）这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行方法进行“概率预估概率预估”。所谓所谓“概率预估概率预估”，即分析水文变量出现大，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可能性为多少。过或小于某

3、个数值的可能性为多少。对随机现象的观测称为随机试验。对随机现象的观测称为随机试验。随机试验的结果叫做事件。随机试验的结果叫做事件。事件分为三类：事件分为三类：必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 随机事件随机事件（Random variable）用以表示随机试验结果的一个数量用以表示随机试验结果的一个数量(事先事先是未知的是未知的)，由于它事先不能确定，是随机的，由于它事先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、如年径流量、年降雨量、洪峰流量等洪峰流量等)。它是指随机试验结果的

4、一个数量。在水文它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母表示，记作学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变而随机变量的可能取的值记作量的可能取的值记作x，即：即：X=x1,X=x2,X=xn 一般称之为一般称之为随机系列随机系列或或随机数列随机数列。Discrete random variable 随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0,1,2，不能取相邻两数值之间的任何值。，不能取相邻两数值之间的任何值。Continuous random variable 随

5、机变量可以取得一个有限区间内的任何数随机变量可以取得一个有限区间内的任何数值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流量可以取量可以取0 极限值之间的任何实数值。极限值之间的任何实数值。（Population/Totality）在统计数学中，把某种随机变量所取数值的在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。全体，称为总体。水文变量如年径流量的总体数是无穷的，故水文变量如年径流量的总体数是无穷的，故无法取得总体。无法取得总体。（Sample）从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，

6、称为称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量样本容量。如实测的水文数据是有限的，是一样本。如实测的水文数据是有限的，是一样本。经有关部门整编后正式刊发的资料；经有关部门整编后正式刊发的资料；水文资料的测验和整编方法的合理性；水文资料的测验和整编方法的合理性；应用数理统计方法进行计算分析时，要求组应用数理统计方法进行计算分析时，要求组成系列的水文资料都是在同一类型和同一条件下成系列的水文资料都是在同一类型和同一条件下产生的。产生的。实测的水文系列可看成总体的一个随机样本实测的水文系列可看成总体的一个随机样本，因此资料（样本）的代表性是指样本的统计特，因此资料（样本）的代表性是指样本的统计特征能否

7、反映总体的统计特征。征能否反映总体的统计特征。样本对总体的代表性的好坏反映在样本对总体的代表性的好坏反映在样本的统计样本的统计参数与总体统计参数的接近程度参数与总体统计参数的接近程度。依据数理统计原。依据数理统计原理，当样本容量愈大，则抽样误差愈小，说明长理，当样本容量愈大，则抽样误差愈小，说明长系列样本代表性高的可能性要大。增加资料系列系列样本代表性高的可能性要大。增加资料系列长度的手段有长度的手段有3 3种：插补展延、增加历史资料、坚种：插补展延、增加历史资料、坚持长期观测。持长期观测。1)1)（Probability）为了比较某随机事件出现（或不出现为了比较某随机事件出现（或不出现)的可

8、能的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，指标，这个数量指标就是事件的概率。这个数量指标就是事件的概率。4.4.概率和频率概率和频率 Probability&Frequency nmAP)(式中式中，P(A)：一定条件下随机事件：一定条件下随机事件A的概率；的概率；n ：试验中所有可能的出现的结果数；：试验中所有可能的出现的结果数；m ：出现随机事件：出现随机事件A的结果数。的结果数。简单简单(古典古典)的随机事件的概率定义用下式表示：的随机事件的概率定义用下式表示：有利于有利于A的试验结果数的试验结果数m为介于为介于0 n之间的数，之间的数，

9、即即根据事件出现的可能性是否能预先估计，分为：根据事件出现的可能性是否能预先估计，分为：事先概率事先概率事后概率事后概率nm 01)(0 AP随机事件随机事件A的概率的概率例：袋中有手感完全相同的例：袋中有手感完全相同的20个白球和个白球和10个黑球，个黑球，问：摸出白球、黑球的概率各是多少？摸出白球问：摸出白球、黑球的概率各是多少？摸出白球或黑球的概率为多少？摸出红球的概率为多少？或黑球的概率为多少？摸出红球的概率为多少？设事件设事件A在在n 次随机试验中出现了次随机试验中出现了m 次，则次，则定义：定义：nmAW)(2 2）频率）频率（Frequency）为事件为事件A 在在n 次试验中出

10、现的频率。次试验中出现的频率。n 不是所有可能的结果总数，仅是不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。随机试验的次数。丢币次数丢币次数 出现正面的次数出现正面的次数 频率频率 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12019 0.5005当试验次数当试验次数 n 不大时，事件频率有明显的不不大时，事件频率有明显的不稳定性。当试验次数稳定性。当试验次数 n 增加到充分大时，事件增加到充分大时，事件频率显著地出现稳定的趋势，例如：频率显著地出现稳定的趋势，例如：频率与概率的关系频率与概率的关系 频率是通过若干次试验后才能求得的经验值，频率是通过若干次

11、试验后才能求得的经验值，事先不能确定，当试验次数事先不能确定，当试验次数n愈大，即当愈大，即当n趋于无趋于无穷大时，理论上，穷大时，理论上，n变成试验中所有可能的结果总变成试验中所有可能的结果总数，则频率愈接近概率。数，则频率愈接近概率。表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理论值。论值。因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，故可用上式

12、故可用上式 ，式中，式中n为事件为事件A 随机试随机试验次数）推求的频率作为概率的近似值。验次数）推求的频率作为概率的近似值。nmAW)(1)(1)概率相加定理概率相加定理 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，这类事件称为互斥事件；其余事件均不能发生，这类事件称为互斥事件；概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率总和。生的概率等于各个事件发生的概率总和。例例 袋中有手感完全相同的袋中有手感完全相同的2020个白球和个白球和1010个黑球，个黑球，问：摸出

13、白或黑求的概率是多少？问：摸出白或黑求的概率是多少？32102020)(白P31102001)(黑P13132)()()(黑白白或黑PPP例某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位H2.0m和H2.7m的概率？%70)0.4()5.3()7.2()0.2(WWWHP%5.92%70%5.22)7.2()0.2()7.2(HPWHP某站水位频率计算 表3.1 序号水位H（m）频数f（a）频率W（%）累积频率P（%）123454.03.52.72.01.921016935254022.57.55307092.5100 40100 注：表中水位为相对高程。(2)(

14、2)概率相乘定理概率相乘定理 独立事件：某一事件的出现并不影响其他事件的出现，独立事件：某一事件的出现并不影响其他事件的出现，这类事件称为独立事件；这类事件称为独立事件；概率相乘定理：几个独立事件一并（先后）出现的概概率相乘定理：几个独立事件一并（先后）出现的概率等于各事件出现的概率之积。率等于各事件出现的概率之积。例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各为为1/101/10，求这三条排水管道在工作中同时都出现满溢的概率。，求这三条排水管道在工作中同时都出现满溢的概率。p=1/101/101/10=1 p=1/101/101/

15、10=1 条件概率：条件概率：在事件在事件B B发生的情况下事件发生的情况下事件A A的概率。记为的概率。记为P(AP(AB)B)P(AB)=P(B)P(AP(AB)=P(B)P(AB)B)例：一纸箱中有相同大小的乒乓球例：一纸箱中有相同大小的乒乓球5050个，其中白色个，其中白色4040个，黄色个，黄色1010个，现任意从中取一个不放回，再个，现任意从中取一个不放回，再从中取另一个，问两次取球均为白色的概率。从中取另一个，问两次取球均为白色的概率。随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表即随机变量取值都有

16、一定的概率与之相对应，可表示为：示为：nn2211PxXPPxXPPxXP )()()(上式中上式中P1,P2,Pn 表示随机变量表示随机变量X 取值取值x1,x2,xn 所对应的概率。所对应的概率。x1 x2 x3 x4 xnXP 离散型随机变量概率分布图离散型随机变量概率分布图 一般将这种对应关系称作随机变量的一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规概率分布规律律，简称为，简称为分布律分布律。可以用以下的分布图形表示：。可以用以下的分布图形表示：变量的取值充满变量的取值充满整个数值区间整个数值区间，无法一一列，无法一一列出其每一个可能值，只能以区间的概率来分析其出其每一个可能值，只能以区

17、间的概率来分析其分布规律。分布规律。连续系列按由大到小顺序排列，分成连续系列按由大到小顺序排列，分成N N组，组组，组距值距值 x=xi-xi+1，任一组内概率为，任一组内概率为 p，组间平均概率为，组间平均概率为f=p/x，此值称为，此值称为 x区间对应的概率密度。区间对应的概率密度。区间足够小时，区间足够小时，水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：于某个值的概率，表示为：它是它是x的函数，称作随机变量的函数，称作随机变量X 的分布函数的分布函数(Distribution function)，记作，记作F(x)，即即 表示表示随机

18、变量随机变量X大于或等于值大于或等于值x的概率，的概率，其几其几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学上何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称通常称累计频率曲线，简称频率曲线累计频率曲线，简称频率曲线）。）。)(xXP dxxfxXPxFx )()()(f(x)f(xi)F(x)xi密度曲线密度曲线分布曲线分布曲线dxxfxFx )()(xxdx已知概率密度函数已知概率密度函数f f(x x)，可求出随机变量，可求出随机变量X X落落在在(x x+dxx x+dx)区间即区间即dxdx上的概率上的概率=f f(x x)dxdx，称，称之为概率元素，即为图中的阴影面积；之为概率元素，

19、即为图中的阴影面积；已知概率密度函数已知概率密度函数f f(x x)，可求出随机变量，可求出随机变量 X X 概率分布函数概率分布函数F F(x x)，其与密度函数，其与密度函数f f(x x)有如下有如下的数学关系的数学关系:dxxfxXPxFx )()()(F(x)分布函数，反映随机变量分布函数，反映随机变量X超过某超过某个值个值 x 的概率。的概率。这两个函数能完整地描述随机变量的分布这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。规律。f(x)密度函数，反映随机变量密度函数，反映随机变量X落入落入dx 区区间的平均概率；间的平均概率；可见，可见，随机变量的二个函数的物理意义：随机变量的二个函

20、数的物理意义：例题：某站有例题：某站有6262年的降水资料（书中年的降水资料（书中4141页表页表3.33.3）。分析年降水量的概率分布规律。）。分析年降水量的概率分布规律。将将6262年降水量按大小每隔年降水量按大小每隔x=200mmx=200mm划分为一划分为一组，统计各组值出现的次数，计算各组值相应组，统计各组值出现的次数，计算各组值相应得频率、频率密度、累积次数、累积频率的值。得频率、频率密度、累积次数、累积频率的值。以年降水量为纵坐标，以频率密度为横坐标，以年降水量为纵坐标，以频率密度为横坐标，绘成频率密度直方图，而以累积频率为横坐标，绘成频率密度直方图，而以累积频率为横坐标，绘成累

21、积频率直方图。绘成累积频率直方图。1 1）累积频率与随机变量的关系）累积频率与随机变量的关系 水文特征值属于连续型随机变量，在分析水水文特征值属于连续型随机变量，在分析水文系列的概率分布时，用文系列的概率分布时，用xxxxi i的概率。的概率。累积频累积频率率是指等量值和超量值累计出现的次数与总观是指等量值和超量值累计出现的次数与总观测次数之比。在实际应用中用样本系列频率分测次数之比。在实际应用中用样本系列频率分布代替整体系列的频率分布。当样本容量相当布代替整体系列的频率分布。当样本容量相当的大，而组距很小时，可以绘出频率分布曲线。的大，而组距很小时，可以绘出频率分布曲线。频率：工程上习惯把累

22、积频率称为频率。频率：工程上习惯把累积频率称为频率。根据选取样本系列的方法不同，频率根据选取样本系列的方法不同，频率分为：分为：年频率：采用年最大值法选样，得到的频率年频率：采用年最大值法选样，得到的频率称为年频率。称为年频率。次频率：采用超定量法或超大值法选样，得次频率：采用超定量法或超大值法选样，得到的频率称为次频率。到的频率称为次频率。所谓的重现期是指某一随机事件在长时所谓的重现期是指某一随机事件在长时期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为“多少年一遇多少年一遇”）。即在许多试验中，某一随）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数

23、，即平均机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。效地替代频率。2)2)重现期重现期 Recurrence interval/return perioda.a.当研究洪水或暴雨问题当研究洪水或暴雨问题 水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨量发生的频率，因此，重现期指在很长时期量发生的频率，因此，重现期指在很长时期N N年内，出现大于等于某水文变量年内，出现大于等于某水文变量X XP P 事件的平均事件的平均重现的间隔期重现的间隔期T T：式中式中:T-:T-重现期，以

24、年计；重现期，以年计；P-P-大于等于某水文变量大于等于某水文变量 X XP P事件的频率。事件的频率。1TP 频率频率P与重现期与重现期T关系的两种表示法：关系的两种表示法：水文上关心的是小于水文上关心的是小于X XP P的事件出现的频率的事件出现的频率及相应的重现期。及相应的重现期。重现期指在很长的时期内重现期指在很长的时期内(N(N年年)出现小于出现小于某水文变量某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文事件的平均重现间隔期。若水文变量大于等于变量大于等于XP的频率为的频率为P P，则小于，则小于XP事件的事件的频率应为：频率应为：1-P1-P，在，在N N年内小于年内小于XP事件出现的

25、次事件出现的次数应为数应为N(1-P)N(1-P)，因此其重现期为：，因此其重现期为：注意：注意：重现期不是固定多少年重复一次。重现期不是固定多少年重复一次。b.b.当研究枯水问题当研究枯水问题1=(1-)1-NTNPP 例例1 1、P=5%=5%的丰水年，重现期等于的丰水年，重现期等于_年。年。例例2 2、P=95%的枯水年，重现期等于的枯水年，重现期等于_年。年。工程上习惯把设计频率叫做设计保证率，即供工程上习惯把设计频率叫做设计保证率，即供水或供电来水得到保证的程度水或供电来水得到保证的程度(频率频率50%)50%)。例：供水保证率为例：供水保证率为90%90%，其重现期为，其重现期为_

26、年。年。例：例：发电年设计保证率为发电年设计保证率为95%95%，重现期则为，重现期则为_年。年。注意：注意：重现期不是固定多少年重复一次。重现期不是固定多少年重复一次。c.c.设计保证率设计保证率例：例：P=5%P=5%的丰水年，重现期等于的丰水年，重现期等于_年。年。例：例：P=95%P=95%的枯水年，重现期等于的枯水年，重现期等于_年。年。例：百年一遇洪水，是指例：百年一遇洪水，是指 a、大于等于这样的洪水每隔、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出现一次年必然会出现一次b b、大于等于这样的洪水平均大于等于这样的洪水平均100年可能出现一次年可能出现一次c c、小于等于这样的洪水正好

27、每隔小于等于这样的洪水正好每隔100年出现一次年出现一次d d、大于等于这样的洪水平均大于等于这样的洪水平均100年可能出现一次年可能出现一次 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特征值出现的量值做为工程设计的标准。主管用水文特征值出现的量值做为工程设计的标准。主管部门根据工程的规模、工程在国民经济的地位以及工部门根据工程的规模、工程在国民经济的地位以及工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水文特征值的水文资料，通过水文分析计算，求出对水文特征值的水文资料，通过水文分析计算，求出对应于

28、设计频率的水文特征值，作为工程设计的依据。应于设计频率的水文特征值，作为工程设计的依据。4.5 4.5 设计标准设计标准5.5.经验频率曲线经验频率曲线【例】已知某地年降雨量的观测资料【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大，并由大 到小排列，按到小排列，按 计算频率。计算频率。式中，式中，P：大于或等于某一变量值：大于或等于某一变量值 x 的的经验频率经验频率；m：x 由大到小排列的序号，即在由大到小排列的序号，即在n 次观测资次观测资料中出现大于或等于某一值料中出现大于或等于某一值 x 的次数。的次数。nmP 经验频率计算表：经验频率计算表：n=12由此得到经验频率分布曲线由此

29、得到经验频率分布曲线:0.02 0.04 0.06 0.08 0.01 0 0.0P(%)8 0 01 0 0 01 2 0 01 4 0 0年 降 雨 量 (m m)经经 验验 分分 布布 曲曲 线线P(X x)x%31.92112121 nmP样本的每一项的经验频率用公式样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进进行计算，当行计算，当m=n时，时，P=100%，说明样本的最末项，说明样本的最末项为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修正，中国常采用下面的公式进行计算：正，中国常采用下面的公式进行计算：经验频率的计算公式：经验频率的计算公式：这样，当

30、这样，当m=n=12 时，时，该公式在水文计算中通常称为该公式在水文计算中通常称为期望公式期望公式1 nmP2 2）经验频率曲线的绘制）经验频率曲线的绘制 如果有如果有n n年实测资料，可按下列步骤绘经验频率曲线：年实测资料，可按下列步骤绘经验频率曲线：1 1将按时间顺序排列的实测资料按递减顺序排列成将按时间顺序排列的实测资料按递减顺序排列成x x1 1,x,x2 2,x,xn n,对应的序号对应的序号m m为为1 1，2 2，n n。2 2利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。3 3以水文变量以水文变量x x为纵坐标，以频率为纵坐标，以频率P P为横

31、坐标，在坐标纸为横坐标，在坐标纸上点绘经验频率点，目估通过点群中心绘一条光滑的曲上点绘经验频率点，目估通过点群中心绘一条光滑的曲线，这就是经验频率曲线。线，这就是经验频率曲线。4 4根据工程设计标准指定的频率，在曲线上查出所需的根据工程设计标准指定的频率，在曲线上查出所需的水文数据。水文数据。绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡，绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡，即上部急剧上升，下部急剧下降，而两端正是工即上部急剧上升，下部急剧下降，而两端正是工程设计频率所用的部位。为了比较方便和精确的程设计频率所用的部位。为了比较方便和精确的绘制频率曲线，人们采用频率计算专用的概率格绘制频率

32、曲线，人们采用频率计算专用的概率格纸。常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概纸。常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概率分布分格制成的。所以，正态概率分布曲线绘率分布分格制成的。所以，正态概率分布曲线绘在这种格纸上呈直线，非正态概率分布曲线绘在在这种格纸上呈直线，非正态概率分布曲线绘在这种格纸上，其两端曲线坡度也会大大变缓，有这种格纸上，其两端曲线坡度也会大大变缓，有利于曲线外延。概率格纸的纵坐标，可以是均匀利于曲线外延。概率格纸的纵坐标，可以是均匀分格，也可以是对数分格。分格，也可以是对数分格。3 3）经验频率曲线的外延）经验频率曲线的外延由于实测资料年数不多，用其绘制的经验频率曲线位于概率

33、格纸的中间部分，而工程上往往需要推求稀遇频率的水文数据，对经验频率曲线进行外延就是一种常用的推求方法。然而，由于没有实测点据控制，目估使曲线外延往往带有相当大的主观成分。其次，由于水文现象的随机性，有时点绘的经验频率点分布比较散乱，使得经验频率曲线的定线比较困难。这样，就会影响设计水文数据的精度。为了解决定线和外延上的困难，人们提出用数学方程式来表示频率曲线，这就是理论频率曲线。在实际问题中，随机变量的分布函数有各种在实际问题中，随机变量的分布函数有各种形式，不易确定，或有时不一定需要用复杂的完整形式，不易确定，或有时不一定需要用复杂的完整的形式来说明随机变量的分布规律，而只要知道其的形式来说

34、明随机变量的分布规律，而只要知道其主要特征就可以。故采用随机变量的分布函数和密主要特征就可以。故采用随机变量的分布函数和密度函数中的一些特征参数（如均值、变差系数、偏度函数中的一些特征参数（如均值、变差系数、偏态系数），来反映随机变量分布的特点：如有的分态系数），来反映随机变量分布的特点：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布对称，有的分布布集中，有的分布分散，有的分布对称，有的分布非对称，等等。在统计学中用以表示随机变量这些非对称，等等。在统计学中用以表示随机变量这些分布特征的某些参数，称之为分布特征的某些参数，称之为。x式中式中 N样本系列的总项数，样本系列的总项数，N=f1+f2+fn。

35、（Position characteristic parameter）加权平均法加权平均法设有一实测系列由x1,x2,xn组成，各个随机变量出现的次数分别为f1,f2,fn,则系列均值为:niiinnnfxNfffxfxx11111平均 算术平均法算术平均法 若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。niixnx11平均式中式中 n样本系列的项数。样本系列的项数。对于水文系列来说，一年内只选一个样或几对于水文系列来说，一年内只选一个样或几个样，水文特征值重复出现的机会很少，

36、一般使个样，水文特征值重复出现的机会很少，一般使用算术平均值。用算术平均值。均值的物理意义均值的物理意义（1 1）反映系列的数值水平均值反映了随机变量的平）反映系列的数值水平均值反映了随机变量的平均水平，能代表整个随机变量系列的水平高低。系列均水平，能代表整个随机变量系列的水平高低。系列数值水平高的，其平均数大，系列数值水平低的，其数值水平高的，其平均数大，系列数值水平低的，其平均数小。平均数小。（2 2）概率论中大数定律指出，当项数增大时，平均数）概率论中大数定律指出，当项数增大时，平均数将渐趋一个稳定值。根据这一特性，在水文学中常利将渐趋一个稳定值。根据这一特性，在水文学中常利用均值推求设

37、计频率的水文特征值；也可以利用均值用均值推求设计频率的水文特征值；也可以利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各种等表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各种等值线图。例如，年径流等值线图、年降水量等值线图、值线图。例如，年径流等值线图、年降水量等值线图、最大最大24h24h雨量等值线图。该图显示各地水文现象的地区雨量等值线图。该图显示各地水文现象的地区差异。差异。模比系数（变率）模比系数（变率）K =1 =1niixnx11平均xxiniinKnnKKKK1211.kxxkii,11121 niinknnkkkk 令称模比系数，则 该参数用以反映随机变量分布离散程度该参数用以反映

38、随机变量分布离散程度(相对相对于随机变量分布中心即平均值的差距于随机变量分布中心即平均值的差距)的指标，通的指标，通常有以下几种：常有以下几种：(variability)s值愈大，分布愈分散；值愈大，分布愈分散；s 值愈小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。(Standard deviation)2)(xxE 1 2 2 1f(x)x标准差对密度标准差对密度函数的影响函数的影响 均方差s的因次与变量xi相同。s值较小时，表示系列的离差较小，说明变量间的变化幅度较小，分布比较集中；s值较大时，则说明变量间的变化幅度较大，分布比较分散，即离散程度较大。同时，均方差s还可以说明均值对系列的代表性，s值

39、越小，均值的代表性越强。例如：甲系列：150，125，100，75，50 乙系列：120，110，100，90，80 甲系列和乙系列的均值大小相等，其均方差分别为s甲39.5、s乙15.8、s甲s乙说明甲系列的离散程度比乙系列大。例子：例子：x=10004.08二个系列：二个系列：第一系列：第一系列：5，10，15，第二系列：第二系列：995，1000，1005，x=10=4.08但对于均值的相对离散程度则不同：但对于均值的相对离散程度则不同：第一系列：第一系列：最大值和最小值与均值差都是最大值和最小值与均值差都是5，相当于，相当于均值的均值的5/10=0.5;第二系列：第二系列：最大值和最小

40、值与均值差都是最大值和最小值与均值差都是5，但相当，但相当于均值的于均值的5/1000=0.005，可见该系列对均值的差距极，可见该系列对均值的差距极小，比第一系列分布更集中。因此以离差系数能更好小，比第一系列分布更集中。因此以离差系数能更好地比较出二系列的离散程度：地比较出二系列的离散程度：CV1=0.408 CV2=0.00408变差系数（离差系数，离势系数变差系数（离差系数，离势系数 (Coefficient of variation)xxECV )(CV1CV2CV2 CV1f(x)x变差系数对密变差系数对密度函数的影响度函数的影响CV值愈大，分布愈分散；值愈大，分布愈分散；CV 值愈

41、小，分布愈集中。值愈小，分布愈集中。对于均值不同的二个系对于均值不同的二个系列，用均方差来比较其列，用均方差来比较其离散程度就不合适，则离散程度就不合适，则要采用均方差和均值的要采用均方差和均值的比值来表示：比值来表示：离差系数的物理意义离差系数的物理意义（1）Cv是流域形状的一种特征参数。狭长流域Cv的一般大于枝状流域；小流域Cv大于大流域。（2）测站位置与Cv的关系 同一流域，各支流汇合前Cv大，汇合后的干流段Cv小，同一河流，上游Cv大，下游Cv小。（3）实测时段长短与Cv的关系 同一水文现象，长系列Cv小，短系列Cv大。例如，月降水量Cv小，日降水量Cv大。（4）地理位置与Cv的关系

42、各类河流的Cv值一般为沿海小，内陆大；南方小，北方大；平原小，山区大。f(x)x偏态系数对密度函数的影响偏态系数对密度函数的影响当密度曲线对当密度曲线对 对称，对称，CS=0；若不对称：若不对称：CS 0,称为正偏；称为正偏；CS 0Cs0 偏态系数（偏差系数偏态系数（偏差系数)(Coefficient of skewness)33)(xXECs(8-8)x矩法矩法 Method of Moments 矩在统计学中常用来描述随机变量的分布特矩在统计学中常用来描述随机变量的分布特征，均值等统计参数有些可以用矩来表示。征，均值等统计参数有些可以用矩来表示。矩可分为矩可分为原点矩原点矩和和中心矩中心

43、矩两种。两种。-原点矩原点矩 随机变量随机变量X X对原点离差的对原点离差的r r次幂的数学期次幂的数学期望望E E（XrXr），称为随机变量），称为随机变量X X的的r r阶原点矩，阶原点矩，以符号以符号mrmr表示，即表示，即:mr=Emr=E（XrXr）(r=1(r=1，2 2，3 3，。，。，n n）对离散型随机变量，r阶原点矩为:mr=E（Xr）=对连续型随机变量，r阶原点矩为:mr=E（Xr）=当r=1时，m1=E（X1）=，即一阶原点矩就是数学期望，也就是算术平均数（均值）。-中心矩中心矩 随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的数学期望EX-E（X）r，称为随机变量X的r阶中

44、心矩，以符号r表示，即:r=EX-E（X）r 对离散型随机变量，r阶中心矩为:r=EX-E（X）r=对连续型随机变量，r阶中心矩为:r=EX-E（X）r=当r=2时，2=EX-E（X）2=2，即二阶中心矩就是标准差的平方（称方差）。由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩。矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。前述，一阶原点矩的计算公式就是均值 ，均方差的计算式为二阶中心矩开方，偏态系数CS计算式中的分子则为三阶中心矩。我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体更接近些，为无偏估值，因此，需要将上述公式加以修正。根据统计学的证明可知：根据统计学的证明

45、可知：由矩法求到的样本平均值由矩法求到的样本平均值 为总体平均数为总体平均数的无偏估计量，然而二阶中心矩的无偏估计量，然而二阶中心矩、CV,CS 则不则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数量。故需要对参数CV,CS 进行修正，使其变成进行修正，使其变成无偏估计量。无偏估计量。x无偏估计量：无偏估计量：由统计学的定义，若由统计学的定义，若 是未知数是未知数 的估的估计量，而且计量，而且 ，则称，则称 为为 的无偏估的无偏估计量。计量。)(E 因此，需要将上述公式加以修正，修正后的参数计算式为：31323132)3()1()2)(1()

46、1()2)(1(VniiVniissCnKnnnCnKnnnCC (当当 n 较大时较大时)1)1(112 nKnnCCniivv求求 Cv,Cs 的无偏估计量的修正计算式：的无偏估计量的修正计算式：用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。7.7.水文中常用的概率分布曲线水文中常用的概率分布曲线(8-9)xexfxx222)(21)(式中，式中，：平均数；：平均数；：标准差。：标准差。x 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服

47、从正态分布。等一般服从正态分布。xxxf(x)a.单峰，只有一个众数；单峰，只有一个众数；b.对于平均数对称对于平均数对称,Cs=0；c.曲线二端趋于曲线二端趋于，并以并以x 轴为渐近线轴为渐近线;d.1)(dxxf正态分布曲线的特点正态分布曲线的特点：正态分布的密度曲线正态分布的密度曲线在在 处出现拐点，处出现拐点，而且：而且：x 33)()(0.997)33(0.683)(xx2xxxx2xxdxe21xXxPdxe21xXxP2222 xxxf(x)x3 x3 经验频率曲线目估定线和外延会产生较大的经验频率曲线目估定线和外延会产生较大的误差，因此借助于某些数学形式的频率曲线误差，因此借助

48、于某些数学形式的频率曲线作为定线和外延的依据。作为定线和外延的依据。1 1、实测资料中选取或算得、实测资料中选取或算得2323个有代表性的个有代表性的特征值作参数；特征值作参数；2 2、选配一些数学方程作为总体系列频率密度、选配一些数学方程作为总体系列频率密度曲线的假想数学模型；曲线的假想数学模型；3 3、按一定方法确定累积频率曲线。、按一定方法确定累积频率曲线。注意：注意：理论理论非物理意义上严格被证明水文非物理意义上严格被证明水文现象概率频率符合这种曲线。现象概率频率符合这种曲线。概率密度函数表达式：概率密度函数表达式：)(100)()()(axeaxxf 式中式中,()的伽玛函数的伽玛函

49、数,a 0：三个参数，与三个统计参数：三个参数，与三个统计参数有一定的关系，其表达式为：有一定的关系，其表达式为：dxexx 01)(VSx CC,VSSVSCaxCCxC C02242(1)可见，当以上三个参数确定后，可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函型密度函数亦完全确定。数亦完全确定。皮尔逊曲线特点：皮尔逊曲线特点：1、只有一个众数，该处斜率为零；、只有一个众数，该处斜率为零；2、曲线两端或一端以横轴为渐近线。、曲线两端或一端以横轴为渐近线。f(x)皮尔逊皮尔逊 型概率密度曲线型概率密度曲线 a0 xP PxdxxfP)(xP-III型曲线的特点：型曲线的特点：一端有限另一端无

50、限的不对称单峰正偏曲线，很一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合多水文变量均符合P-III型分布。型分布。PxaxPdxeaxxXPP)(100)()()(1)在水文计算中，一般要求出指定概率在水文计算中，一般要求出指定概率 P 所相应所相应的随机变量的取值的随机变量的取值 xP，即求出的，即求出的 xP满足下列等式：满足下列等式：取标准变量取标准变量(离均系数离均系数)，即即 代入上式代入上式(1)，,a0以相应的以相应的 和和 关系式表示，简化后得：关系式表示，简化后得：VCxxx)()1(VCxx VCx,SC dCfPPsP),()(0.031.302.473.38