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1、概率论概率论 第一章第一章 习题课习题课 主要内容主要内容例题选讲例题选讲概率论概率论 概率论概率论 集合论集合论样本空间（必然事件）样本空间（必然事件）全集全集不可能事件不可能事件 空集空集事件的包含事件的包含 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB积事件积事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 对立事件对立事件 补集补集 AA概率论概率论 概率的公理化定义概率的公理化定义 ,E设是随机试验是它的 ,AP ,赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一个个事事件件对对于于样样本本空空间间AE:,A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概

2、率的概率称之为事件称之为事件 ;0 1 AP 非非负负性性 2 1;P 规范性规范性 ,321有有对对于于两两两两互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质概率论概率论 1性质性质 0.P 2性性质质,21则则两两两两互互斥斥设设有有限限个个事事件件nAAA 1212.nnP AAAP AP AP A 3 性质性质,有有对于任何事件对于任何事件 A .1APAP 4 性质性质,则则且且为为两两事事件件、设设BABA BPAPBAP 并并且且 .BPAP 概率的性质概率的性质概率论概率论 5 性质性质,都有都有对于任一事件对于任一

3、事件 A .1 AP 6 性质性质,则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 概率论概率论 称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.AP A包含的基本事件数中的基本事件总数三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式:概率论概率论 设设A、B是两个事件，且是两个事

4、件，且P(B)0,则称则称 )()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.四、条件概率四、条件概率概率论概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0概率论概率论 若若 P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若若 P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A)概率论概率论 ,E设试验的样本空间为nBBB,21 ,0 1,2,iP Bin为的一个划分 且则对,恒有恒有

5、样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1概率论概率论 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(ni,21 ,E设试验的样本空间为12,nAAA为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分,B 为为 中的任一事件中的任一事件,且且P(B)0,则有则有概率论概率论 例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试分别表示甲、乙、丙命中目标，试用用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均

6、命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCABC概率论概率论 作业 P23 1.7若W表示昆虫出现残翅，E表示有退化性眼睛，且P(W)=0.125，P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的频率：（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛 P(W+E)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.175（2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛 P(W-E)=P(W)-P(WE)=0.1（3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛 P W E=1-P W+E=0.825概率论概率论 2(),(

7、),().P Ax P By P ABz例用x,y,z 表示下列事件的概率：1)()P AB2)()P AB3)()P AB4)()P AB解 1)()()1()1P ABP ABP ABz 2)()()()P ABP BAP BAByz3)()()()()1P ABP AP BP ABxz 4)()()1P ABP ABxyz 概率论概率论 例例3 3（摸球问题）（摸球问题）设盒中设盒中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从合中任从合中任抽抽2 2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。解解:设设A A表示表示“取到一红一白取到一红一白”25()NC 1213

8、)(CCAN53)(251213CCCAP例例4 4（分球问题）（分球问题）将将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：每盒恰有一球的概率是多少？问：每盒恰有一球的概率是多少？解解 设设 A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球3()3N !3)(AN92)(AP概率论概率论 例例5 5（随机取数问题）（随机取数问题）从从1 1到到200200这这200200个自然数中任个自然数中任取一个；取一个；(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求求取到的数能被取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数

9、既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率.解：设A=取到的数能被6整除 B=取到的数能被8整除C=取到的数即能被6整除又能被8整除 N(N()=200,)=200,N(C)=200/24=8N(C)=200/24=8 N(A)=200/6=33,N(A)=200/6=33,N(B)=200/8=25N(B)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25概率论概率论 例例6 6 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的

10、分别占全体市民人数的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同时定的人同时定甲甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求求从该市任选一人从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报概率论概率论 作业 P23 1.17 一批产品共20件，其中5件次品，其余为正品。现从这20件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：（1）在第一、二

11、次取到正品的条件下，第三次取到次品（2）第三次才取到次品（3）第三次取到次品解 设 iiA 第 次取到正品31212331231231231235(1)()1815 14 535(2)()201918228(3)()()()()()15 14 55 15 415 5 45 4 312019182019182019182019184P A A AP A A AP AP A A AP A A AP A A AP A A A概率论概率论 作业作业 P24 1.20设男女比例为设男女比例为51:49，已知在所有男子中有，已知在所有男子中有5%，在，在所有女子中有所有女子中有2.5%患有色盲症。随机抽一

12、人发现患患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？色盲症，问其为男子的概率是多少？解：设解：设A=“抽中男子抽中男子”，B=“抽中女子抽中女子”C=“这人有色盲这人有色盲”(|)0.05P C A(|)0.025P C B()0.51P A()0.49P B()()(|)(|)()()(|)()(|)P ACP A P A CP A CP CP A P C AP B P C B0.05 0.511020.51 0.050.49 0.025151概率论概率论 例例7 7 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有

13、率分别为产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。试求市场上该品牌产品的次品率。概率论概率论 123:BAAA设：产品是次品产品是甲厂生产产品是乙厂生产产品是丙厂生产)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP概率论概率论 作业 P24 1.22 仓库中有10箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，5箱由丙厂生产，三个厂的

14、合格率分别为95%，90%和96%，（1）求该批产品的合格率（2）从该10箱中任取一箱，再从中任取一件，若此件是合格品，问此件产品由甲、乙、丙厂生产的概率各是多少？解 123 ,AB B B设 产品为甲、乙、丙厂生产分别为产品是合格品为 1(1)|niiiP AP BP A B23595%90%96%0.94101010概率论概率论（2）1111295%()()()1910()()()0.9494P B P A BP ABP B AP AP A2222390%()()()2710()()()0.9494P B P A BP ABP B AP AP A3333596%()()()2410()()

15、()0.9447P B P A BP ABP B AP AP A概率论概率论 例例8 8 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯,每箱每箱2020只只,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1，某顾客选，某顾客选中一箱，从中任选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下只检查，结果都是好的，便买下了这一箱了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解 设设A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的.B0 0,B1 1,B2 2分别表示事件每箱

16、含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品概率论概率论 已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由由Bayes 公式公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848.019121.0541.018.0541.0概率论概率论 例9 在一个电视节目热门游戏中，对于某问题，主持人给出分别标有A，B，C的三个答案，其中只有一个正确。假定你对问题一窍不通，只能现场猜一个。你若能给出正确答案，将赢得大奖，否则不但无奖，还会被罚下场。节目开始后，你选择

17、答案A。在宣布正确结果前，你利用规则请主持人在剩余答案中去掉了一个错误答案B，这时，你有一个改变决定的机会（可重新选择A或者C），你是坚持原来的选择A还是改选C？（选A或C哪个获奖的概率更大？）分别表示答案是 A，B，C；用D 表示“主持人去掉 答案B，并且B是错误的”123,A A A解：用13()()P A DP A D分析：只需计算和比较大小概率论概率论 123123,1P(A)=P(A)=P(A)=3A A A 组成了样本空间的一个划分，且1231P(),P()0,P()1,2D AD AD A另外，则由贝叶斯公式：1113111P()P()132P()1111301P()P()3233iiiAD AA DAD A 32()3P A D 同理，选C更有可能赢大奖！