河南省名校联盟2020届高三尖子生3月调研考试理科数学及答案.docx

1、 河南名校联盟河南名校联盟 2020 届高三尖子生三月调研考试届高三尖子生三月调研考试 理科数学卷理科数学卷 一、选择题一、选择题 1已知集合 1 2 2 x Ax ， 2 1 log 2 Bxx ，则AB （ ） A B 12xx C 02xx D 24xx 2 3 1 i i i （ ） A1 i B22i C1 i D2 2i 3已知，, a bR，则 22 loglogab是ab成立（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 4 5 2xyxy的展开式中 33 x y的系数为（ ） A30 B10 C30 D10 5已知椭圆 22 1 22

2、:10 xy Cab ab 的离心率与双曲线 22 2 22 :1 xy C ab 的离心率的一个等比中项为 3 2 ，则双曲线 2 C的渐近线方程为（ ） A 1 4 yx B 1 2 yx C 7 4 yx D 4 7 2 yx 6函数 sin3cosf xxx在,2tt上是减函数，则t的取值范围是（ ） A 7 , 66 B 7 , 6 12 C 7 , 12 12 D, 6 7执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ） A3 B5 C9 D16 8一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球， ，与一个半径为2的大球，则该容器容积最 小为（ ） A24 B20 C 128 2

3、D16 2 9 已知正项数列 n a的前n项和为 1 1 , nnn n SSS a ， 且 124 ,S SS成等比数列， 则 5616 .aaa（ ） A2 B4 C12 D12 10已知点,M N是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上的两点，且线段MN恰为圆 222 0xyrr的 一条直径，A为椭圆C上与,M N不重合的一点，且直线,AM AN斜率之积为 1 3 ，则椭圆C的离心率为 （ ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 6 3 11已知圆C与x轴切于点1,0，与y轴正半轴交于点,A B，且2 3AB ，设点P是圆C上与点,A B 不重合的点，则PA PB的取值范围

4、是（ ） A1,3 B25,25 C32 5, 32 5 D2,6 12已知函数 4 1 22x f x 的图象与 2sing xx的图象在8,10有k个交点，分别记作 1122 ,., kk x yx yx y则 1 k ii i xy （ ） A9 B10 C19 D20 三、填空题三、填空题 13已知正数, x y满足约束条件 28, 3212, xy xy 则34xy的最大值为_. 14已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 1 24 nn nana ，则 8 a _. 15在ABC中，内角, ,A B C内角所对的边分别为, ,a b c，若2 coscoscoscCaB bA，且

5、3c ， 则2ab的取值范围是_. 16已知 32 2019 25,0, 4,0, x xxx f x x 则不等式 2 7 8 2 fxf x 的解集为_. 三、解答题三、解答题 17已知数列 n a， n b满足 1 2 2 nn bna n ， 1 4 3 a ， 3 6b 且 n b是等差数列. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 18经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以 每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为 应纳税所得额.某公司下属分公司有3

6、0名员工， 把这30名员工 2020 年 1 月份的工资 （把月工资额减去5000 元作为应纳税所得额）编成如图的茎叶图（单位：百元） （1）求这30名员工中需缴纳个人所得税的员工的 2020 年 1 月份的工资（单位：百元）的中位数； （2）若从月应纳税超过5百元的员工中选3名参加个税法宣传活动，用X表示所选员工中女员工的人数， 试写出X的分布列，并求X的数学期望. 19如图所示，在三棱锥ABCD中，2ABBCBD，2 3AD ， 2 CBACBD ，点E 为AD中点. （1）求证：平面ACD平面BCE； （2）若点F为BD中点，求平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值. 20已知焦点为

7、F的抛物线 2 :20C ypx p与圆 222 :1O xyp交于点 0 1,Py. （1）求抛物线C的方程； （2）在第一象限内，圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线C交于点B（B为第四象限的点） ， 与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点, ,O A B？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由. 21已知函数 lnf xxxaa xR. （1）讨论 f x的单调性； （2）判断方程 f xa在, aa ea ea 上的实根个数； 22在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos 1 sin x y （为参数） ，点P是曲线 1 C上的动点， 点Q在OP延长线上，且3P

8、QOP. （1）求点Q轨迹 2 C的参数方程； （2）以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 3 与曲线 12 ,C C（与原点不重合）的交点 分别为,A B，求AB. 23已知 21f xxxa aR . （1）若1a ，求不等式 2f x 的解集； （2）若存在 0 xR，对任意0,1m恒有 0 14 1 fx mm ，求实数a的取值范围. 河南名校联盟河南名校联盟 2020 届高三尖子生三月调研考试届高三尖子生三月调研考试 高三理科数学参考答案高三理科数学参考答案 1 【答案】C 【解析】 1 21 2 x Axx x ， 2 1 log02 2 Bxxxx ，所以 02ABx

9、x，故选 C. 2 【答案】A 【解析】 3 2 12 11 1111 i i iii iii iiii ，故选 A. 3 【答案】A 【解析】依题意， 22 loglog0abab，所以一定有ab，但0abab，所以 22 loglogab是ab成立的充分而不必要条件，故选 A. 4 【答案】D 【解析】 5 xy的展开式中 32 x y， 23 x y的系数分别为 2 5 C， 3 5 C所以 5 2xyxy的展开式中 33 x y的 系数为 23 55 210CC ，故选 D. 5 【答案】D 【解析】由题意得 2222 22 9 16 abab aa ，所以 4 7 16 b a ，

10、4 7 2 b a ，所以双曲线 2 C渐近线方程为 4 7 2 yx ，故选 D. 6 【答案】B 【解析】 sin3cos2sin 3 f xxxx 的递减区间是 7 2,2 62 kkkZ ，又0t ， 2tt ，所以0t ，所以 7 ,2, 66 tt ，所以 7 612 t ，故选 B. 7 【答案】D 【解析】第一次循环，9S ，2n；第二次循环，4S ，3n；第三次循环，16S ，4n，结束 循环，故输出S的值为16.故选 D. 8 【答案】C 【解析】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相比，此时容积 的高为 22 1 21 22 132 2

11、，所以该容器容积最小为 2 232 2128 2， 故选 C. 9 【答案】A 【解析】 由 1 1 11 nn nnn SS aSS 得 22* 1 12, nn SSnnN ， 所以 2 n S为等差数列， 且公差1d ， 所以 22 1 1 n SSn， 2 1 1 n SSn， 由 124 ,S SS成等比数列， 得 222 111 31SSS， 所以 2 1 1S ， n Sn， 5616164 .422aaaSS，故选 A. 10 【答案】D 【解析】由题意知点,M N关于原点对称，设,M s t，则,Nst ，设 00 ,A x y，由 22 22 1 st ab ， 22 00

12、 22 1 xy ab 相减得 222 0 222 0 tyb sxa ，所以 222 000 222 000 AMAN tytytyb kk sxsxsxa ，所以 2 2 1 3 b a ，椭 圆C的离心率为 2 2 6 1 3 b e a ，故选 D. 11 【答案】D 【解析】由题意，设圆C方程为 22 2 10xybrr，则rb， 2 22 13r，所以2r ， 圆C方 程 为 22 2 122xy， 可 得 0 , 23A， 0,23B， 设,Pxy则 22 4122,6PA PBxyyx ，故选 D. 12 【答案】C 【解析】 1 1 4221 2 1 22221 2 xx x

13、xx f x ， 由 12 12 x x y 是奇函数， 可得 f x图象关于点1,0对称， 2sing xx的图象也关于点1,0对称，函数 4 1 22x f x 的图象与 2sing xx的图象在 8,10有19个交点，其中1个为1,0，其余9对关于点1,0对称，所以 1 19 k i i x ， 1 0 k i i y ，所以 1 19 k ii i xy ，故选 C. 13 【答案】18 【解析】作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分） ，其中2,3B，设34zxy，则 3 44 z yx ， 平 移 直 线 3 4 yx 至 经 过 点B时 ， 直 线 3 44 z yx 的

14、 纵 截 距 最 大 ， 所 以 max 346 1218zxy. 14 【答案】2304 【解析】 由 1 24 nn nana 得 1 2 121 nn aa nnn n ， 所以数列 1 n a n n 是首项为 1 4 ， 公比为2的 等比数列，所以 7 8 1 2 8 94 a ， 8 2304a . 15 【答案】 3,2 3 【解析】由2 coscoscoscCaB bA得2sincossincossincossinsinCCABBAABC， 因为sin0C ，所以 1 cos 2 C ， 3 C ， 所以2 sinsinsin abc ABC ， 所以24sin2sin4sin

15、2sin3sin3cos2 3sin 36 abABAAAAA ， 因为 3 C ，所以 2 0 3 A ， 662 A ， 1 sin1 26 A ，2ab的取值范围是 3, 2 3. 16 【答案】 , 12, 【 解 析 】 由 题 意 可 得 f x在, 上 是 增 函 数 ， 且 22 3 8 2 f xfx ， 所 以 222 773 8201 222 fxf xxxxxx 或2x. 17 【解析】 （1）设等差数列 n b的公差为d， 由 1 4 3 a ， 3 6b ，得 11 3 2 2 ba，所以 31 1 2 2 dbb， 所以 1 12 n bb ndn， 2 2 24

16、 1 41 2 2 n nn a n n n . （2）因为 2 22 41111 11 41412 2121 n n a nnnn ， 所以 2 11111122 1. 233521212121 n nnn Snn nnnn . 18 【解析】 （1）月工资在5000元以上的员工需缴纳个人所得税，共15人，这15人月工资的中位数为58万 元， 所以年度应纳税所得额的中位数为58（百元）. （2）月工资超过5百元的员工年度应纳税超过5百元，有10人，其中女员工3人，所以X的取值依次为 0,1,2,3. 3 7 3 10 7 0 24 C p X C ， 12 37 3 10 21 1 40 C

17、 C p X C ， 21 37 3 10 7 2 40 C C p X C ， 3 3 3 10 1 3 120 C p X C . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 p 7 40 21 40 7 40 1 120 721719 0123 40404012010 EX . 19 【解析】 （1）因为 2 CBACBD ，所以BC 平面ABD， 因为AD 平面ABD，所以BCAD. 因为ABBD，点E为AD中点，所以BEAD. 因为BCBEB，所以AD 平面BCE. 因为AD 平面ACD，所以平面ACD平面BCE. （2）以点B为坐标原点，直线,BC BD分别为x轴，y同，过点B与平面BC

18、D垂直的直线为z轴，建立 空间直角坐标系，则0,0,0B， 0, 1, 3A，2,0,0C，0,2,0D， 13 0, 22 E ，0,1,0F， 2,0,0BC ， 13 0, 22 BE ，2,1,0CF ， 0,2, 3AF ， 设平面BCE的一个法向量 111 ,nx y z，则 0, 0, n BC n BE 即 1 11 20, 13 0, 22 x yz 取 1 1z ，则 1 0x ， 1 3y ，所以 0,3,1n ， 设平面ACF的一个法向量 222 ,mx y z，则 0, 0, m AF m CF 即 22 22 230, 20, yz xy 取 2 2z ，则 2 3

19、 2 x ， 2 3y ，所以 3 ,3,2 2 m ， 设平面BCE与平面ACF所成锐二面角为， 则 2 22 222 3 0331 2 2 5 31 coscos 31 3 03132 2 n m . 所以平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值. 5 31 31 . 20 【解析】 （1）由抛物线C与圆O交于点 0 1,Py，点 0 1,Py在圆O上， 可得 0 yP ，又1, P在抛物线C上， 解得2p ，所以抛物线C的方程为 2 4yx. （2）假设存在点A，以点D为圆心的圆过点, ,O A B， 则OAOB，点D为线段AB中点， 由题意知，直线OA的斜率存在且大于0， 设OA的方

20、程为0ykx k，则OB的方程为 1 yx k ， 又圆O方程为 22 5xy， 由 22 , 5, ykx xy 得 2 5 1 x k ，所以得 22 55 , 11 Ak kk ， 由 2 1 , 4 , yx k yx 得 22 4xk，所以得 2 4, 4Bkk， 因为点D为线段AB中点， 所以 2 5 4 1 kk k ，整理得 2 16110k ， 符合条件的k不存在，所以满足条件的点A不存在. 21 【解析】 （1）由 lnf xxxaa， 得 11 10 xa fxx xaxa ， 所以当,1xa a时 0fx， f x是减函数； 当1 ,xa时 0fx， f x是增函数.

21、（2）由（1）知， 11f xf a， 由 aa eaea ，得 aa ee ，所以0a . 若01a，由 1f x 可得 f xa在, aa ea ea 上没有实数根； 若1a ，由1, aa aea ea 可知， f xa在, aa ea ea 上有1个实数根1a； 当1a 时 f x在,1 a ea a 上是减函数，在1, a aea上是增函数， 由11f aa ，ln aaaa f eaeaeaaaeaa ， 可得 f xa在,1 a ea a 上有一个实根， 又ln aaaa f eaeaeaaaea 设 2 a g a ea，则 20 a g ae， 所以 g a在1,上是增函数，

22、所以 120g age ， 所以20 a ea， a eaa， 所以 f xa在1, a ae a 上有1个实根， 综 上 可 得 ， 若01a， f xa在, aa ea ea 上 没 有 实 数 根 ； 若1a ， f xa在 2 , aa ea ea 上有1个实数根；若 1a 时 f xa在, aa ea ea 上有2个实根. 22 【解析】 （1）由点Q在OP延长线上，且3PQOP， 可得4OQOP，设,Q x y，则, 4 4 x y P ， 由点P是曲线 1 C上动点，可得 cos , 4 1 sin, 4 x y 即 4cos , 44sin, x y 所以点Q轨迹 2 C的参数

23、方程为 4cos , 44sin, x y （为参数）. （2）因为曲线 12 ,C C的参数方程分别为 cos , 1 sin, x y 4cos , 44sin, x y 消去参数，得曲线 12 ,C C的直角坐标方程分别为 22 20xyy， 22 80xyy， 由 222 xy，siny，得曲线 12 ,C C的极坐标方程分别为2sin，8sin， 所以2sin3 3 OA ，8sin4 3 3 OB ， 所以3 3ABOBOA. 23 【解析】 （1）当1a 时， 1 3 , 2 1 2112, 1, 2 3 ,1, x x f xxxxx x x 当 1 2 x 时，由 2f x 得32x ，所以 2 3 x ， 当 1 1 2 x 时，由 2f x 得22x ，所以10x ， 当1x时，由 2f x 得32x，所以1x， 综上得 2f x 的解集为 2 ,0, 3 . （2）因为 111 21 222 f xxxaxxaxxaa ， 当 1 2 x 时取等号， 14141414 15529 1111 mmmm mm mmmmmmmm . 所以存在 0 xR，对任意0,1m恒有 0 14 1 fx mm ， 则 1 9 2 a， 1 99 2 a ，即 1917 22 a 所以实数a的取值范围是 19 17 , 22 .