圆锥曲线离心率的求法（教师版）.doc

1、第 1 页 共 11 页 离心率离心率的的专题复习专题复习 椭圆的离心率10 e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e 一、直接求出一、直接求出a、c，求解，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式 a c e 来解决。 例例 1：已知双曲线1 2 2 2 y a x （0a）的一条准线与抛物线xy6 2 的准线重合，则该双曲 线的离心率为（ ） A. 2 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 3 32 解：解：抛物线xy6 2 的准线是 2 3 x，即双曲线的右准线 2 31 22 c c c a x，则 0232 2 cc，解得2c，3a， 3 32 a c e，故

2、选 D 变式练习变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为0 , 1 1 F、0 , 3 2 F，则其离心率为（ ） A. 4 3 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 1 解：解：由0 , 1 1 F、0 , 3 2 F知 132c，1c，又椭圆过原点，1ca，3ca， 2a，1c，所以离心率 2 1 a c e.故选 C. 变式练习变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. 2 3 B. 2 6 C. 2 3 D 2 解：解：由题设2a，62 c，则3c， 2 3 a c e，因此选 C 变式练习变式练习3： 点P （-3， 1） 在椭圆1 2 2 2 2

3、 b y a x （0ba） 的左准线上， 过点P且方向为 5, 2 a 的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A 3 3 B 3 1 C 2 2 D 2 1 解：解：由题意知，入射光线为3 2 5 1xy，关于2y的反射光线（对称关系）为 第 2 页 共 11 页 0525yx，则 055 3 2 c c a 解得3a，1c，则 3 3 a c e，故选 A 二、构造二、构造a、c的齐次式，解出的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到 关于e的一元方程，从而解得离心率e。 例例 2：已知 1 F、

4、2 F是双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的两焦点，以线段 21F F为边作正三角 形 21F MF，若边 1 MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324 B. 13 C. 2 13 D. 13 解：解：如图，设 1 MF的中点为P，则P的横坐标为 2 c ，由焦半径公式 aexPF p 1 ， 即a c a c c 2 ，得022 2 a c a c ，解得 31 a c e（ 31 舍去），故选 D 变式练习变式练习 1：设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （ba 0）的半焦距为c，直线L过0 , a，b, 0两点. 已知原点到直线的距离为

5、c 4 3 ，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 32 解：解： 由已知， 直线L的方程为0abaybx， 由点到直线的距离公式， 得c ba ab 4 3 22 ， 又 222 bac, 2 34cab ,两边平方，得 4222 316caca，整理得 016163 24 ee， 得4 2 e或 3 4 2 e， 又ba 0 ， 21 2 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e， 4 2 e， 2e， 故选 A 第 3 页 共 11 页 变式练习变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 1 F、 2 F， 0 21 120MFF，则双曲

6、线 的离心率为（ ） A 3 B 2 6 C 3 6 D 3 3 解：解：如图所示，不妨设bM, 0，0 , 1 cF ，0 , 2 cF，则 22 21 bcMFMF，又cFF2 21 ， 在 21MF F中， 由余弦定理，得 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos MFMF FFMFMF MFF , 即 22 22222 2 4 2 1 bc cbcbc ， 2 1 22 22 cb cb ， 222 acb， 2 1 2 22 2 ac a ， 22 23ca ， 2 3 2 e， 2 6 e，故选 B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求

7、解 例例 3：设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 21PF F为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。 解：解：12 12 1 222 22 2 2 21 cc c PFPF c a c a c e 变式练习 1已知长方形 ABCD，AB4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆 的离心率为 . 1 2 变式练习 2已知 F1、F2是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三 角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 13 变式练习 3如图，

8、1 F和 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个 第 4 页 共 11 页 焦点，A和B是以O为圆心，以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等 边三角形，则双曲线的离心率为 . 31 四、根据圆锥曲线的统一定义求解四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例例4：设椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F 且垂直于x轴的弦的长等于点 1 F到 1 l的距离，则椭圆的离心率是 . 解解：如图所示，AB是过 1 F且垂直于x轴的弦， 1 lAD 于D，AD为 1 F到 准线 1 l的距离，

9、根据椭圆的第二定义， 2 1 2 1 1 AD AB AD AF e 变式练习变式练习 1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为1， 则该椭圆的离心率为（ ） A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 解：解： 2 2 1 22 2 AD AF e 变式练习变式练习 2： 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线 交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为 . 6 5 变式练习变式练习 3：已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0） 的直线

10、于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB，则 k = . 2 五、构建关于五、构建关于e的不等式，求的不等式，求e的取值范围的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围， 通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设 椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式 （一）基本问题 第 5 页 共 11 页 例椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若 12 MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是 2 1 2 ， Ex1设1a ，则双曲线 22 22 1 (1)

11、xy aa 的离心率e的取值范围是 ( 25)， （二）数形结合 例已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F1，F2，若该椭圆上存在一点 P，使得F1PF2 60，则椭圆离心率的取值范围是 . 1 ,1) 2 Ex1已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是 . 2 (0,) 2 （三）利用焦半径的取值范围 例 1已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若双曲线 上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc ，则该

12、双曲线的离心率的取值范围是 (1, 21) 变：已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆的右准线上存在一点 P，使 得 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是 Ex1双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则 双曲线离心率的取值范围为 1,3 Ex2已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F1，F2，若该椭圆上存在一点 P，使得 1 2 PF e PF ， 则该椭圆离心率的取值范围是 21,1) 第 6 页 共 11 页 配套练习配套练习 1

13、. 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba） 的离心率为3， 且它的一条准线与抛物线xy4 2 的 准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A. 1 2412 22 yx B. 1 9648 22 yx C. 1 3 2 3 22 yx D. 1 63 22 yx 2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ） A 3 1 B 3 3 C 2 1 D 2 3 3已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线方程为xy 3 4 ，则双曲线的离心率为（ ） A 3 5 B 3 4 C 4 5 D 2 3 4在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点

14、到相应准线的距离为 1，则该椭圆的 离心率为 A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 2 1 ，则该双曲 线的离心率为（ ） A 2 2 B 2 C 2 D 22 6如图， 1 F和 2 F分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆 心，以 1 OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A 3 B 5 C 2 5 D 13 7. 设 1 F、 2 F分别是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） 的左、 右焦点

15、，P是其右准线上纵坐标为c3 第 7 页 共 11 页 （c为半焦距）的点，且PFFF 221 ，则椭圆的离心率是（ ） A 2 13 B 2 1 C 2 15 D 2 2 8 设 1 F、 2 F分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点A， 使 0 21 90AFF， 且 21 3AFAF ，则双曲线离心率为（ ） A 2 5 B 2 10 C 2 15 D 5 9已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 0 60的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A 2

16、, 1 B 2 , 1 C , 2 D , 2 10椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba）的焦点为 1 F、 2 F，两条准线与x轴的交点分别为M、N， 若 21 2FFMN ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 1 , 0 B 2 2 , 0 C 1 , 2 1 D 1 , 2 2 答案：1.由3, c a 2 1 a c 可得3,6,3.abc故选 D 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 2ab，椭圆的离心率 3 2 c e a ，选 D。 3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 22 4345 , 333 bc e aa 可得,故选 A 4.不妨设椭圆方程为

17、22 22 1 xy ab （ab0） ，则有 22 2 21 ba c ac 且，据此求出 e 2 2 第 8 页 共 11 页 5.不妨设双曲线方程为 22 22 1 xy ab （a0， b0） ， 则有 22 21 2 2 ba c ac 且， 据此解得 e2， 选 C 6.解析：如图， 1 F和 2 F分别是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b r a x 的两个焦点，A和B是以O为 圆心，以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，连接 AF1， AF2F1=30 ，|AF1|=c，|AF2|=3c， 2( 31)ac，双曲线的离心率为31，

18、选 D。 7.由已知 P （c c a 3, 2 ） ， 所以 22 2 )3()(2cc c a c化简得 2 2 02 22 a c eca 8.设 F1，F2分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F1AF2=90 ，且 |AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中 12 2| 2aAFAF， 22 12 2|10cAFAF， 离心率 10 2 e ，选 B。 9.双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右 支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于

19、等于渐近线的斜率 b a ， b a 3，离心 率 e2= 222 22 cab aa 4， e2，选 C 10.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若 2 |2 a MN c ， 12 | 2FFc， 12 MNFF，则 2 2 a c c ，该椭圆离心率 e 2 2 ，选 D 第 9 页 共 11 页 椭圆椭圆离心率离心率 a c e 的求的求法法 1.椭圆方程01: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于BA,两点， 直线l的倾斜角为 60，FBAF2,求椭圆的离心率？（焦半径

20、公式 11 exaPF， 22 exaPF的应用左加右减，左加右减，弦长公式为直线的斜率kxxkd,1 21 2 ） 2.椭圆方程01: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在 点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的范围？（焦准距 c b2 的应用） 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于ca,的 二元二次方程 0 22 pcnacma 解法） 4.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴上的一个端点，线段BF的延长线交C于D,且 FDBF2,则C的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例

21、的应用） 5.过椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的左焦点F,右顶点为A,点B在椭圆上，且xBF 轴，直 线AB交y轴于点P，若PBAP2，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用） 6.过椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P, 2 F为右焦点，若 60 21PF F，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)( 2 tan 21 2 PFFbS ） 7.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质 222 cba的应用） 8.椭圆14 22 yx的离心率为?（椭圆基本性质 222 cba的应用） 9.

22、椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的焦点为 21,F F，两条准线与x轴的交点为NM,，若 21 2FFMN ，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质 222 cba的应用） 第 10 页 共 11 页 10.设 21,F F分别是椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使 线段 1 PF的中垂线过点 2 F，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距 c b2 ；垂直平分线性质：垂 直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用） 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离

23、为 1，则该椭圆的 离心率为？（通径 a b22 ，焦准距 c a2 ） 12.已知椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的左右焦点分别为 21,F F，若椭圆上存在点 P 使 1221 sinsinFPF c FPF a ， 则 该 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 ？ （ 正 弦 定 理 R C c B b A a 2 sinsinsin ，第一定义aPFPF2 21 ） 13.在平面直角坐标系中， 2121 ,BBAA为椭圆的四个顶点，F为其右焦点， 直线 21B A与直线FB1 相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为？ （直

24、线方程交点坐标） 14.在ABC中， 18 7 cos,BBCAB.若以BA,为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率 为？（余弦定理Abccbacos2 222 ，第一定义） 15.已知正方形ABCD，则以BA,为焦点，且过两点DC,的椭圆的离心率为？（通径 a b22 ） 16.已知椭圆的焦距为c2，以点O为圆心，a为半径作圆M。若过点 0 , 2 c a P作圆M的两条 切线相互垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质） 17.已知 21,F F分别是椭圆的左、右焦点，满足0 21 MFMF的点M总在椭圆的内部，则椭圆 离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于 90） 18.过椭圆

25、左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于BA,两点，若FBFA 2 3 ，则椭圆的离心 第 11 页 共 11 页 率为?（焦半径公式，弦长公式 21 2 1xxk） 19.已知椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆的离心率为？ 20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？ 21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为 21,B B，左右焦点分别为 21,F F，长轴右端点为A，若 0 2222 BFBFAF，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减） 22.若以椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于 不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距 c a2 ） 23.已知点bA , 0，B为椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C的左准线与x轴的交点， 若线段的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为？ 24.若斜率为 2 2 的直线l与椭圆01: 2 2 2 2 ba b y a x C有两个不同的交点，且这两个交点在 x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径 a b22 ） 25.已知BA,两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若0BFAB，则 椭圆C的离心率为？（两直线垂直，有1 21 kk）