八省八校2023届高三第一次学业质量评价T8联考数学试题+答案.pdf

1、数学试题第页共页广东实验中学东北育才中学石家庄二中华中师大一附中西南大学附中南京师大附中湖南师大附中福州一中八校 届高三第一次学业质量评价(T 联考)数学试题考试时间:年 月 日上午 试卷满分 分考试用时 分钟注意事项:答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共小题,每小题分,共 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的复数z满足zi zi i,则

2、zA iBiC iD i若集合Mx|x,Nx|l o gx,则MNAxxBxxCxx或xD R已知Sn是数列an的前n项和,则“an”是“Sn是递增数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件某同学掷骰子次,分别记录每次骰子出现的点数,根据次的统计结果,可以判断一定没有出现点数的是A中位数是,众数是B平均数是,中位数是C方差是,平均数是D平均数是,众数是数学试题第页共页已知s i n()c o s,则s i n()A BC D已知圆台上底面半径为,下底面半径为,球与圆台的两个底面和侧面均相切,则该圆台的侧面积与球的表面积之比为A BC D已知函数f(x)及其导函数f

3、(x)的定义域均为R,记g(x)f(x)x,若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则f()A B C D 已知椭圆C:xayb(ab),直线l过坐标原点并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的倍,直线Q A交椭圆于点B,若直线B P恰好是以P Q为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为ABCD二、选择题:本题共小题,每小题分,共 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分在正方体A B C D ABCD中,M,N,P分别是面A B,面BD,面DA的中心,则下列结论正确的是ANPD CBMN平面A C PCDC平面

4、MNPDPM与B C所成的角是 将函数f(x)s i n(x)()的图像向左平移个单位得到函数g(x)的图像,若g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,则下列说法正确的有A数学试题第页共页BCg(x)的对称轴过f(x)的对称中心D m,n,使得f(m)g(n)设数列an的前n项和为Sn,且n Snn()Snn()nn()n,nN(),若S,则下列结论正确的有AaB当n时,Sn取得最小值C当Sn时,n的最小值为D当n时,Snan取得最小值 已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,若f(x)f(x)x s i nxex,f(),则下列结论正确的是Af()eBf()f()C方程f(x)

5、f(x)e有两个解Df(x)在区间(,)上单调递增三、填空题:本题共小题,每小题分,共 分 二项式(x)(x)展开式中x的系数为 已知非零向量a,b满足bab,(ab)a,则a,b的夹角大小是 若关于x的不等式(l nx)a xl nx有且只有一个整数解,则实数a的取值范围为 已知双曲线C:xayb(a,b)的左、右焦点分别为F和F,O为坐标原点,过F作 渐 近 线ybax的 垂 线,垂 足 为P,若FP O,则 双 曲 线 的 离 心 率 为;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q,且O P Q的面积SO P Q,则该双曲线的方程为数学试题第页共页四、解答题:本题共小题,共 分解答应写出

6、文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分 分)已知数列l nan是等差数列,记Sn为an的前n项和,Sna是等比数列,a()求an;()记bn l o gan l o gan,求数列()nbn的前 项和(本小题满分 分)在A B C中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且c o s(AC)c o sB()求角A、B、C;()若b,延长B C至D,使A B D的面积为,求s i n C AD(本小题满分 分)党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进高中学生对党的二十大的理解,某校组织开展党的二十大知识

7、竞赛活动,以班级为单位参加比赛,最终甲、乙两班进行到了最后决赛,决赛采取五局三胜制,约定先胜三局者赢得比赛已知每局比赛中必决出胜负,每一局若甲班先答题,则甲获胜的概率为,若乙班先答题,则甲获胜的概率为,每一局输的一方在接下来的一局中先答题,第一局由乙班先答题数学试题第页共页()求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;()若规定每一局比赛中胜者得分,负者得分,记X为比赛结束时甲班的总得分,求随机变量X的分布列和数学期望(本小题满分 分)如图(),菱形A B C D中,A B C ,动点E,F分别在边AD,A B上(不含端点),且E FD B(),沿E F将A E F向上折起得到P E F

8、,使得平面P E F平面B C D E F,如图()所示()当为何值时,B FP D;()若直线P C与平面B C D E F所成角的正切值为,求平面P E F和平面P B D夹角的大小数学试题第页共页(本小题满分 分)已知抛物线C:yp x(p)的准线与x轴的交点为H,直线过抛物线C的焦点F且与C交于A,B两点,HA B的面积的最小值为()求抛物线C的方程;()若过点Q(,)的动直线l交C于M,N两点,试问抛物线C上是否存在定点E,使得对任意的直线l,都有EME N,若存在,求出点E的坐标;若不存在,则说明理由(本小题满分 分)已知函数f(x)exxea,其中ae,函数f(x)在(,)上的零

9、点为x,函数g(x)xaxaex,xx,(x)l nxax(),xx()证明:x;函数g(x)有两个零点;()设g(x)的两个零点为x,x(xx),证明:exxexxexx(参考数据:e ,e ,e ,l n ,l n)数学试题参考答案第页共页 届高三第一次学业质量评价(T 联考)数学试题参考答案及多维细目表题号 答案C B A C B D C DA B D A C A B DA C D【答案】C【解析】由zi zi i可得(i)z,zi i,故选C【答案】B【解析】Mx|x,Nx|x,故MNx x,故选B【答案】A【解析】若an,则SnSn,Sn是递增数列,“an”是“Sn是递增数列”的充分

10、条件;若Sn是递增数列,则SnSn,an(n),但 是a的 符 号 不 确 定,“an”不 是“Sn是递增数列”的必要条件,故选A【答案】C【解析】选项A:有可能出现点数,例如,;选项B:有可能出现点数,例如,;选项C:不 可 能 出 现 点 数,(),如果出现点数,则方差大于或等于,不可能是;选项D:有可能出现点数,例如,故选C【答案】B【解析】s i n()c o ss i nc o ss i n(),s i n()s i n()c o s()s i n(),故选B【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为r,下底面半径R,母线长为l,球的半径为R,球与圆台的两个底面和侧面均相切,lrR,R,

11、圆 台 的 侧 面 积 与 球 的 表 面 积 之 比 为S侧S表(rR)l R(),故选D【答案】C【解析】g(x)为偶函数,g(x)g(x),即fx()xfx()x,两边同时对x求导得f x()f x(),即f(x)f(x),令x,则f(),f(x)为奇函数,f(x)f(x),又f(x)f(x),即f(x)f(x),联立f(x)f(x)得f(x)f(x),即f(x)f(x),f()f()f(),故选C【答案】D【解析】依题意,设P(x,y),Q(x,y),B(x,y),A(x,),直线P Q、Q B Q A()、B P的斜率分别为k,k,k,则k y()x x()yxk,kk,kk,xay

12、b,xayb,两 式 相 减 得xxayyb,(yy)(xx)(yy)(xx)ba,即kkba,ba,ba,ecaba,椭圆的离心率e,故选D【答案】A B D【解 析】连 接AC,AD,则NP是ACD的 中 位 线,NPD C,故选项A正确;连 接BD,BA,则MNAD,MN平面A C D,即MN平面A C P,故选项B正确;连接BD,BA,AD,则平面MNP即为平面BAD,显然DC不垂直平面BAD,故选项C错误;PMB D,D B C即为PM与B C所成的角,D B C ,故选项D正确故选A B D【答案】A C【解析】方法一:将f(x)s i n(x)的图像向数学试题参考答案第页共页左

13、平 移个 单 位 得 到g(x)s i n(x)s i n(x)的图像,g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,g()f(),即c o ss i n,经检验,满足题意,故选项A正确,选项B不正确;设f(x)的周期为T,g(x)的图像是f(x)的图像向左平移T个得到,g(x)的对称轴过f(x)的对称中心,故选项C正确;当m,时,f(m)的 值 域 为,当n,时,g(n)的值域为,故选项D不正确故选A C 方法二:由题意可得g(x)s i n(x)s i n(x),g(x)的 图 像 与f(x)的 图 像 关 于y轴 对称,g(x)f(x),即s i n(x)s i n(x),xxk,kZ,解

14、得k,kZ,故选项A正确,选项B不正确;f(x)s i n(x),令xk,kZ,得f(x)的对称中心为(k,),kZ,g(x)s i n(x),令xk,kZ,得g(x)的对称轴为xk,kZ,g(x)的对称轴过f(x)的对称中心,故选项C正确;选项D的判断同上【答案】A B D【解 析】由n Snn()Snn()nn()n,nN()得SnnSnnnn,nN(),SS,SS,SnnSnnn,累加得SnnSn n(),解得Snn n n,nN(),当n时,S 满足上式,Snn n,当n时,anSnSnnn,a,故选项A正确;当n时,annn 单调递增,又aS,aSS,an 单调递增,且aaaaaa,

15、当n时,Sn 单调递减,当n时,Sn 单调递增,且SS,当n时,Sn取得最小值,故选项B正确;又S ,S ,当Sn时,n的最小值为,故选项C错误;当n,时,Snan;当n,时,Snan;当n时,Snan,当n,时,考虑Snan的最小值,又当n,时,an恒为正且单调递减,Sn恒为负且单调递增,Snan单调递增,当n时,Snan取得最小值,故选项D正确,故选A B D【答案】A C D【解析】由题意得f(x)exxs i nxex,设F(x)f(x)ex,则F(x)xs i nxex,易得当x 时,F(x),当x 时,F(x),函数F(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,F()F(),即f

16、()ef()e,f()e,选项A正确;f()f()s i ne,f()f(),选项B错误;设h(x)f(x)f(x)xs i nxex,则h(x)(xs i nxex)c o sxxs i nxex,数学试题参考答案第页共页设r(x)c o sxxs i nx,则当x时,r(x)(x)(s i nxc o sx)();当x 时,s i nxx,且 c o sx,r(x);当x时,r(x)s i nxc o sx s i n(x),当x(,)时,r(x),r(x)单调递增,当x(,)时,r(x),r(x)单调递减,又r(),r(),x(,),使得r(x),即当x(,x)时,r(x),当x(x,)

17、时,r(x);综上:当x(,x)时,r(x),即h(x),h(x)单调递增;当x(x,)时,r(x),即h(x),h(x)单调递减,h(),当x时,h(x)h(),当x时,易证xs i nx,h(x),且当x时,h(x),又x(,),h()ee e,方程h(x)e有两个解,即方程f(x)f(x)e有两个解,选项C正确;由F(x)f(x)ex可得f(x)exF(x),f(x)exF(x)F(x),令u(x)F(x)F(x),则u(x)F(x)F(x)xs i nxexxs i nxexxs i nxexc o sx(xs i nx)exr(x)ex,由以上分析可知,当x(,)时,r(x),即u(

18、x),u(x)单调递增,u(x)u()F()F(),f(x),f(x)在区间(,)上单调递增,选项D正确故选A C D【答案】【解析】(x)(x)(x)x(x),展开式中x的系数为CC【答案】【解析】方法一:作向量O Aa,A Bb,则O Bab,由题意O AO B,且A BO B,O A B,a,b的夹角为方 法 二:由bab平 方 得baabb(),(ab)a,aba,代入ba abb()得ba,c o sa,babab,a,b的夹角为【答案】l n,l n)【解析】令f(x)l nxx,则f(x)l nxx,当x(,e)时,f(x),f(x)单调递增;当x(e,)时,f(x),f(x)单

19、 调递减,且当x(,)时,f(x),当x(,)时,f(x),方法一:原不等式等价于x,l nxxa,或x,l nxxa,有且只有一个整数解,f()af(),即实数a的取值范围为l n,l n)方法二:原不等式等价于(l nxx)al nxx,若a,则l nxxa或l nxx,l nxx显然没有整数解,要满足l nxxa有且只有一个整数解,又f()l nl nf()f(),则f()af(),可得l nal n;若a,则l nxx或l nxxa,l nxx有无数多个整数解,l nxxa没有整数解;若a,不等式显然有无穷多个整数解,综上,实数a的取值范围为l n,l n)【答案】;xy【解析】方法一

20、:设P O F,则有t a nba,又数学试题参考答案第页共页FP垂直于渐近线ybax,|O P|a,|P F|b,s i nbc,c o sac,在O FP中,由 正 弦 定 理:as i n()cs i n ,abcacc,a ba,ab,ab,ecaaba,方法 二:依 题 意 可 得P(ac,a bc),Fc,(),Fc,(),P F(acc)(a bc)ac,又P Oa,O Fc,在O P F中,O FP FP OP OP Fc o s FP O ac,即c aca aac,化简得c a,eca,xayb 如图,过P点 的 切 线P Q与 双 曲 线 切 于 点M(x,y),设P(x

21、,y),Q(x,y),又P,Q均在双曲线的渐近线上,故设P(x,bax),Q(x,bax),又t a nba,s i n t a n t a nba(ba)a bab,SP O QO PO Qs i n x(bax)x(bax)a babbaxx,过M点的切线P Q:xxayyb,即ybxxyaby,代入bxay,化简得(aybx)xabxxab,又bxayab,abx abxxab,即x xxa,xxa,SP O Qbaxxa bbb,b,b,a,故双曲线的方程为xy 【解 析】()由 题 意 得 l nal nal na,aaa,又Sna是等比数列,Sa()(Sa)Sa(),a,aa,a(

22、)aa(),a a,又an,故a,又l nan是等差数列,故an为等比数列,首项a,公比qaa,an的通项公式为an n分()an n,bn l o gan l o gan l o gn l o gn n n n,令Cn()nbn,则CnCnbnbn(bnbn)(bnbn)(bnbn)(nN),记Cn的前n项和为Tn,T(CC)(CC)(bbb)(),数列()nbn的前 项和为 分 【解析】()由ABC,ACB,c o sB c o s(AC),c o s(AC)c o s(AC),s i nAs i nC,又a,b,c成等比数列,故ba c,s i nB s i nAs i nC,s i n

23、B,方法一:c o sB,又c o sBacba c数学试题参考答案第页共页aca ca ca ca ca c,当且仅当ac时,等号成立,c o sB,ac,又 B,ABC分方法二:若B,则c o sB,代入c o s(AC)c o sB,则c o s(AC),A,C,AC若B,则c o sB,代入c o s(AC)c o sB,则c o s(AC)(舍),综上ABC分()b,|A B|,SA B D|A B|B D|s i n ,即|B D|,|B D|,|C D|,由余弦定理:在A C D中,|AD|A C|C D|A C|C D|c o sD C A(),又 由 正 弦 定 理:|AD|

24、s i n|C D|s i nC AD,s i nC AD,s i nC AD 分【解析】记Ai(i,)表示“第i局甲获胜”,()设A表示“比赛一共进行了四局并且甲班最终获胜”,则事件A包括三种情况:AAAA,AAAA,AAAA,这三种情况互斥,且A,A,A,A相互独立,P(A)P(AAAAAAAAAAAA)P(AAAA)P(AAAA)P(AAAA)分()由题意,X的所有可能取值有,P(X)P(AAA),P(X)P(AAAAAAAAAAAA),P(X)P(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA);P(X)P(X)P(X)P(X);分X的分布列为:XP E(X)分【解 析】

25、()菱 形A B C D中,A B C ,故A ,A BAD,A B D是 等 边 三角形,又E FD B,E FB D,P E F也是等边三角形,平面P E F平面B C D E F,取E F的中点O,则P OE F,且P O平面B C D E F,连接D O,由B FPD,而P OB F,D OP O,B F平面P O D,B FO D,延长D O交A B于点N,则DNA B,又A OB D,O为A B D的重心,又O点在E F上,E FB D,E FD B,即分()方法一:由()连接C O,设A B D边长为a,则|P O|a,|C O|()a,P O平面B C D E F,直线P C与

26、平面B C D E F所成角为P C O,t a nP C O|P O|C O|,解得,E F是A B D的中位线,数学试题参考答案第页共页在棱锥P B C D E F中,设O C与B D相交于M点,连接PM,又设平面P E F平面P B D于直线l,则l过点P,E FB D,E F平面P B D,E F平面P B D,又平面P E F平面P B D于直线l,E Fl,同理lB D,由上可知P OE F,C OE F,E F平面P OM,l平面P OM,O PM就是平面P E F和平面P B D所成二面角的平面角,又P OOM,且P OOM,O PM,即平面P E F与平面P B D的夹角为

27、分方法二:以O为坐标 原 点,以O F,O C,O P为x轴,y轴,z轴 建 立 空 间直角坐标系(如图所 示),设 菱 形A B C D边 长 为,则P(,),E(,),F(,),B(,),D(,),C(,),P O平面B D E F,P C O即为P C与平面B C D E F所成的角,t a nP C OP OO C,解得,O C平面P E F,O C(,)即为平面P E C的法向量设平面P B D的法向量为nx,y,z(),则nB D,nP B,即x,xyz,取n,(),则c o sO C,nO CnO Cn,O C,n ,平面P E F与平面P B D的夹角为 分【解析】()由题意,

28、A B斜率不为零,设A B:x yp代入y p x(p),y p yp,设Ax,y(),Bx,y(),则yyp,yyp,SH A Bp|yy|p(yy)yypppp,当时,SH A B取最小值p,p,p,抛物线C的方程为:yx分()假 设 存 在E x,y(),设Mx,y(),N x,y(),由题意,MN斜率不为零,设MN的方程为xt(y)代入yx,可得yt yt,yyt,yyt,yyxxyyxx,(yy)(yy),y(yy)yyy,yt yt,即t(y)y,y,y,解得y,故存在定点E(,)满足题意 分【解析】()f(x)ex,当x时,ex,f(x),f(x)在(,)单调递增,ae,f()e

29、aeee(e),f()eaeee ,f(x)存在唯一的零点x,且x分当xx时,g(x)xaxaex,g(x)xaexexxaex,x,a,ex,xa,g(x),g(x)在(,x)单调递增,x,g(x)g()aaee e e ,又g()aaeea(e)e(e)(e)e ee e,g(x)在,x有唯一的零点,(注:取g()数学试题参考答案第页共页也可以);当xx时,g(x)l nxx a l nxxa l n l n ,g(x)在(x,)单调递减,g()l na l n(e)l n e ,g(e)(e)a(e)(e)(e)e ,g(x)在(x,)有唯一的零点,综上,函数g(x)有两个零点分()由()可知g(x)g(x),其中xxx,由g(x)得xaxaex,即xa(ex)xex,由g(x)得l nxa(x)xl nx,设h(x)l nxa(x)xl nx,则h(x)h(ex),xxx,exe,xxe,而xe时,h(x)xa l nxeaee,h(x)在(e,)单调递减,xex,要证exxexxexx,即证exexxxexx,即证exexexxxx,即证exxexxxx,设xxt,则即证etett,设h(t)etett,t,则h(t)etet,当t时,h(t)单调递增,h(t)h(),即证 分