数学分析课件第四版华东师大研制-第22章-曲面积分.ppt

1、1 第一型曲面积分 第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量.由于定积分、重积分、第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属“黎曼积分”，因此具有相同实质的性质.一、第一型曲面积分的概念二、第一型曲面积分的计算示小曲面块示小曲面块iS(,)iii iS的面积，的面积，为为中任意一点，中任意一点，12,nTSSS.,iS 其中其中 为曲面块的分割，为曲面块的分割，表表 一、第一型曲面积分的概念类似第一型曲线积分类似第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块当质量分布在某一曲面块 S，量为极限量为极限 i|01lim(,),niiiTiS|TTiS为分割为分割 的细度，即为诸的细度，即为诸 中的最大

2、直径中的最大直径.且且密度函数密度函数 在在 S上连续时，曲面块上连续时，曲面块 S 的质的质(,)x y z iS(,)(1,2,),iiiin 上任取一点上任取一点若存在极限若存在极限|01lim(,),niiiiTifSI 定义在定义在 S 上的函数上的函数.对曲面对曲面 S 作分割作分割 T,它把它把 S 分成分成 n 个小曲面块个小曲面块记小曲面块记小曲面块(1,2,),iiSinS 以以iS1|maxiinTS 的的直直径径，的面积的面积,分割分割 T 的细度的细度 在在 定义定义1 设设 S 是空间中可求面积的曲面是空间中可求面积的曲面,为为(,)f x y z且与分割且与分割

3、的取法的取法 无关无关,则称此极限为则称此极限为(,)iiiT 及及上的上的第一型曲面积分第一型曲面积分,记作记作 (,)f x y zS在在(,)d.(1)SIf x y zS于是于是,前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为:(,)1f x y z dSS特别地特别地,当当 时时,曲面积分曲面积分 就是曲面就是曲面 块块 S的面积的面积.(,)d.Smx y zS 二、第一型曲面积分的计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.定理定理 22.1 设有光滑曲面设有光滑曲面:(,),(,),S zz x yx yD为为 S

4、 上的连续函数上的连续函数,则则 (,)f x y z22(,)d(,(,)1d d.xySDf x y zSf x y z x yzzx y(2)(定理证明与曲线积分的定理定理证明与曲线积分的定理20.1相仿相仿,不再详述不再详述.)1d,SSzS其中其中例例1 计算计算 2222xyza是是球球面面被被 平面平面(0)zhha所截所截 得的顶得的顶部部(图图22-1).xyhOza221 图图为为 定义域定义域 S222,zaxyD解解 曲面曲面 的方程为的方程为 圆圆域域 2222.xyah由于由于 222221,xyazzaxy222dd dSDSax yzaxy因此由公式因此由公式(

5、2)求得求得 222202dahrarar 2 ln.aah2222200ddahar rar 22220 ln()ahaar 例例2 计算计算 ()d,SxyzxyzSS22zxy其中其中 为圆锥面为圆锥面 被圆柱面被圆柱面 222xyax 所割所割 下的部分下的部分(图图22-2).解解 对于圆锥面对于圆锥面 22,zxy 有有 222 图图yxO22zxy 222xyaxz2222,xyxyzzxyxy()222()d d.xyDxyxyxyx y()dSIxyzxyzS2212;xyzz 因此因此用二重积分的极坐标变换用二重积分的极坐标变换,Sxy222():().xyDxaya在在平

6、面上的投影为平面上的投影为而而 2 cos32022(sin cossincos)ddatItttttrr44224 2(sin cossincos)cosdattttt t45420648 2cos2.15atdta22()d,SJyzSS例例3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面 2222.xyza 解解：记记 2222222:,.Szaxyxya 根据计算公式根据计算公式 (2),并使用极坐标变换并使用极坐标变换,可得可得 2222221:,;Szaxyxya122222()d()dSSJyzSyzS22222222()2d dxyaa axx yaxy22220022cos2

7、ddaararrar 2202222daarar rar2224028d.3aaaattaat对于由参量形式表示的光滑曲面对于由参量形式表示的光滑曲面 (,),:(,),(,),(,),xx u vSyy u vu vDzz u v在在S上第一型曲面积分的计算公式则为上第一型曲面积分的计算公式则为 2(,),(,),(,)d d,(3)Df x u vy u v z u vEGFu v(,)dSf x y zS其中其中 222222,.uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz螺旋面螺旋面(图图22-3)的一部分的一部分:0,:02.uaDv例例2 计算计算d,SIz S其中

8、其中 S 为为 cos,:sin,(,),xuvSyuvu vDzv解解 先求出先求出 223 图图Ozy(,0,0)ax2 S22222cossin1,uuuExyzvvsin cossin cos0,uvuvu vFx xy yz zuvvuvv 22222222sincos11;vvvGxyzuvuvu 然后由公式然后由公式(3)求得求得:221.EGFu222001d dd1daDIvuu vv vuu2220121ln122auuuu 2221ln1.aaaa 22()d,SJyzSS例例3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面 2222.xyza 解解(解法一解法一)记记

9、2222222:,.Szaxyxya 根据计算公式根据计算公式 (2),并使用极坐标变换并使用极坐标变换,可得可得 2222221:,;Szaxyxya122222()d()dSSJyzSyzS22222222()2d dxyaa axx yaxy22220022cos2ddaararrar 2202222daarar rar2224028d.3aaaattaat222222222coscoscossinsin,Eaaaasincos,sinsin,cos,xayaz (,)0,0,2.S(解法二解法二 )的参数方程为的参数方程为按按(3)式计算如下式计算如下:222222(sinsincos

10、)sin d dDJaaa 22sin cos sin cossin cos sin cos0,Faa 22222222sinsinsincossin,Gaaa2422sinsin;EGFaa2422200d(sincoscos)sinda 242240182sincosd.33aa 22(,),(,),(,).f x y zxg x y zyx y zS (解法三解法三)令令 由于由于 关于平面关于平面 Sxy(,)x y z对称对称,且在对称点且在对称点 与与 (,)y x zS(,)(,),f x y zg y x z 处有处有 因此因此 (,)d(,)d,SSf x y zSg x y

11、 zS22dd.SSxSyS即即 类似地类似地,有有22dd.SSxSzS由此得到由此得到222222()d()d3SSyzSxyzS224228d.333SaSaSa质量质量分布的密度函数为分布的密度函数为(,).x y z 试导出曲面块试导出曲面块 S复习思考题 (,),(,),zz x yx yD 1.设可求面积的曲面设可求面积的曲面 S的方程为的方程为的重心和的重心和转动惯量公式转动惯量公式.2.试讨论第一型曲面积分的轮换对称性试讨论第一型曲面积分的轮换对称性.3.给出第一型曲面积分的中值定理给出第一型曲面积分的中值定理,并加以证明并加以证明.4.模仿定理模仿定理 20.1 的证明的证

12、明,写出定理写出定理 22.1 的证明的证明.2 第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系 一、曲面的侧 设连通曲面设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,另一个另一个指向就是负方指向就是负方 向向.又

13、又设设 0M为为 S 上任一点上任一点,L为为 S上上任一经过点任一经过点0,M且不超出且不超出 S 边界的闭曲线边界的闭曲线.当当 S 上的动点上的动点 M 从从 0M出发沿出发沿 L 连续移动一周而回到连续移动一周而回到 时时,如果有如果有如下特如下特0M0M征征:出发时出发时 M 与与 取相同的法线方向取相同的法线方向,而回来时仍而回来时仍 保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该曲面则称该曲面 S 是双侧的是双侧的.否则否则,若若 M由某一点由某一点 0M出发出发,沿沿 S 上某一封闭曲线上某一封闭曲线 0M回到回到 时时,其法其法线方向与出发时的方向相反线方向与出发时的方

14、向相反,则称则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带带.它的构造方它的构造方 法如下法如下:取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如图22-4(a),将其将其 一端扭转一端扭转 180 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起(即让即让 A 与与 C 重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).224 图图ABCD(a)ACBD0M(b)默比乌斯默比乌斯(Mbius,A.F.1790-1868,德国德国)通常由通常由 (,)z

15、z x y所表示的曲面都是双侧曲面所表示的曲面都是双侧曲面,其法其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧另一侧称为下侧.当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧习惯上把上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为又把封闭曲面的外侧作为 正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.(,)i+(,)j+(,)kvP x y zQ x y zR x y z二第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题先考察一个计算流量

16、的问题.设某流体以流速设某流体以流速 从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的负侧流向正侧(图图22-5),其中其中 P,Q,R 为为 所讨论范围上的连续函所讨论范围上的连续函 数数,求在单位时间内流过求在单位时间内流过 曲面曲面 S 的总流量的总流量 E.设在设在 S 上任一点上任一点(,)x y z处的正向单位法向量为处的正向单位法向量为 225 图图S(,)iii nviS(cos,cos,cos),n 这里这里 ,都都是是 x,y,z 的函数的函数.则单位时间内流经则单位时间内流经 小曲面块小曲面块 iS的流量的流量 (,)(,)iiiiiiiivnS (,)cos(,)cosiiiiiii

17、iPQ (,)cos,iiiiiRS 其中其中(,)iiiiiMS 是任意取定的一点是任意取定的一点;(cos,cos,cos)iiiin 是点是点 处的单位法向量处的单位法向量;iM分别是分别是 iScos,cos,cosiiiiiiSSS 在坐标面在坐标面 ()()()(,)(,)(,).iiii yziiii zxiiii xyPSQSRS ()(),.i zxi xySSiS于是单位时间内由于是单位时间内由 的负侧的负侧流向正流向正 所以所以,单位时间内由单位时间内由 S的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第这种与曲面的侧有关的和式极限

18、就是所要讨论的第 侧的流量侧的流量 也就近似等于也就近似等于 i()|011lim(,)nniiiii yzTiiPS ()()(,)(,).iiii zxiiii xyQSRS 上投影区域的近似面积上投影区域的近似面积,分别记作分别记作 ,yz zx xy(),i yzS 的投影区域的面积的投影区域的面积,它们的符号由它们的符号由iS的方向来确定的方向来确定:()()(),i yzi zxi xySSSiS分别表示分别表示 在三个坐标面上在三个坐标面上 二型曲面积分二型曲面积分.定义定义1 设设 P,Q,R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数上的函数.对对 S 作分割作分割 T,

19、它把它把 S 分为分为 12,nSSS分割分割 T 1|max.iinTS 的的直直径径()0,0,ii xyiSSS ;取上侧取上侧取下侧取下侧的细度为的细度为 ()|01lim(,)niiii yzTiIPS ()|01lim(,)niiii xyTiRS (,),1,2,.iiiiSin 若若 ()0,0,ii yziSSS ;取前侧取前侧取后侧取后侧()0,0,.ii zxiSSS 取右侧取右侧取左侧取左侧()|01lim(,)niiii zxTiQS S在曲面在曲面 所指定所指定一侧上的一侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分,记作记作 的选取无关的选取无关,则称此极限则称此极限 I 为

20、向量函数为向量函数 (,)iii 中的三个极限都存在中的三个极限都存在,且与分割且与分割 T 和和点点 的的(,)i+(,)j+(,)kFP x y zQ x y zR x y z(,)d d(,)d d(,)d d,SP x y zy zQ x y zz xR x y zx yI(1)(,)d d.SR x y zx yI(,)d d(,)d dSSP x y zy zQ x y zz x或或(,)vP Q RS据此定义据此定义,某流体以速度某流体以速度 从曲面从曲面 的的 负侧流向正侧的总流量即为负侧流向正侧的总流量即为 (,)d d(,)d d(,)d d.SP x y zy zQ x

21、y zz xR x y zx y 又如又如,若空间中的磁场强度为若空间中的磁场强度为 (,),(,),(,),EP x y z Q x y z R x y z(,)d d(,)d d(,)d d.SHP x y zy zQ x y zz xR x y zx yS则按指定方向穿过曲面则按指定方向穿过曲面的磁通量的磁通量(磁力线总数磁力线总数)为为若以若以S表示曲面表示曲面 S 的另一侧的另一侧,由定义易知由定义易知 d dd dd dSP y zQ z xR x yd dd dd d.SP y zQ z xR x y 第二型曲面积分有第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质类似于第二型曲线积分

22、的性质:1.若若 d dd dd d(1,2,)iiiSP y zQ z xR x y ik 存在存在,1d dd dd d,ikiiiiiScP y zQ z xR x y 111()d d()d d()d dkkkiiiiiiiiiSc Py zc Qz xc Rx y则有则有 其中其中(1,2,).ic ik是常数是常数2.若曲面若曲面S是由两两无公共内点的曲面是由两两无公共内点的曲面12,kS SS所组成所组成,则有则有 d dd dd dSP y zQ z xR x y1d dd dd d.ikiSP y zQ z xR x y三第二型曲面积分的计算定理定理22.2 设设(,)R x

23、 y z是定义在光滑曲面是定义在光滑曲面 ():(,),(,).xyS zz x yx yD 上的连续函数上的连续函数,以以 S 的上侧为正侧的上侧为正侧(这时这时S的法线方的法线方 ()(,)d d(,(,)d d.(2)xySDR x y zx yR x y z x yx yz向与向与 轴正向成锐角轴正向成锐角),则有则有证证 由第二型曲面积分的定义由第二型曲面积分的定义,|max00.iTSd的的直直径径()|01(,)d dlim(,)niiii xyTiSR x y zx yRS ()01lim(,(,),niiiii xydiRzS 由于由于 R 在在 S 上连续上连续,()xyz

24、D在在上连续上连续(曲面光滑曲面光滑),据据 在在(,(,)R x y z x y()xyD复复合函数的连续性合函数的连续性,上也连续上也连续.由二重积分的定义由二重积分的定义,()max.i xydS的直径的直径这里这里 显然有显然有()()01(,(,)d dlim(,(,).xyniiiii xydiDR x y z x yx yRzS :(,),Sxx y z()(,)yzy zD()(,)d d(,),)d d.(3)yzSDR x y zy zR x y zy zy z()(,)d d(,(,)d d.xySDR x y zx yR x y z x yx y所以所以 这里这里 S

25、是取法线方向与是取法线方向与 x轴的正向成锐角的那一轴的正向成锐角的那一 类似地类似地,当当 在光滑曲面在光滑曲面 (,)P x y z上连续时上连续时,有有 ():(,),(,)zxSyy z xz xD(,)d d(,(,),)d d.(4)zxSDQ x y zz xQ x y z x zz x一侧为正侧一侧为正侧.侧为正侧侧为正侧.当当 在光滑曲面在光滑曲面 (,)Q x y z上连续时上连续时,有有这里这里 S 是取法线方向与是取法线方向与 y轴的正向成锐角的那一轴的正向成锐角的那一 xyOz226图图 1S2Sd d,Sxyz x y例例1 计算计算 S2221xyz其中其中是球面

26、是球面的外侧（图的外侧（图22-6）.解解 曲面曲面 S 在第一、五卦限部在第一、五卦限部 分的方程分别为分的方程分别为 22112222:1,:1.SzxySzxy 0,0 xy部分并取球面部分并取球面在在 它们在它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限平面上的投影区域都是单位圆在第一象限 部分部分.因积分是沿因积分是沿12SS的的上上侧侧和和的下侧进行的下侧进行,故故 12d dd dd dSSSxyz x yxyz x yxyz x y()()22221d d1d dxyxyDDxyxyx yxyxyx y()2221d dxyDxyxyx y13220022dcos sin1d=

27、.15rrr 其中其中22ed d,ySz xxzS例例2 计算计算 是由曲面是由曲面221,2yxzyy 与与所围立体表面的外侧所围立体表面的外侧.解解 曲面曲面 123,SSSS 其中其中 221(,)1,1,Sx y xzy222(,)2,2,Sx y xzy221:1;Dxz 其投影为其投影为223(,),12,Sx y yxzy112222eed dd dySDz xz xxzxz 21001edd2e.r rr 2222222eed dd dySDz xz xxzxz223:12.Dxz 其投影为其投影为222:2;Dxz 其投影为其投影为2222001edd2 2e.r rr 2

28、2332222eed dd dyxzSDz xz xxzxz 22201edd2(ee).rr rr 222ed d2(21)e.ySz xxz 因此因此如果光滑曲面如果光滑曲面 S 由参量方程给出由参量方程给出:(,),:(,),(,).(,),xx u vSyy u vu vDzz u v(,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v 若在若在 D 上各点它们的函数行列式上各点它们的函数行列式 不同时为零不同时为零,则分别有则分别有(,)d d(,),(,),(,)d d,(5)(,)SDy zP y zP x u v y u v z u vu vu v(,)d

29、 d(,),(,),(,)d d,(6)(,)SDz xQ z xQ x u v y u v z u vu vu v(,)d d(,),(,),(,)d d,(7)(,)SDx yR x yR x u v y u v z u vu vu v注注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应三式前的正负号分别对应 S 的两个侧的两个侧,所选定的正所选定的正 uvS特别当特别当 平面的正方向对应于曲面平面的正方向对应于曲面 向一侧时向一侧时,式前取正号式前取正号,否则取负号否则取负号.3d d,Sxy z其中其中 S 为椭球面为椭球面 例例3 计算计算 2222221xyzabc的上半部分的上半部分

30、,并取外侧并取外侧.sincos,sinsin,cos(0,02).2xaybzc()3333d dsincosd d,(8)SDxy zaA 由由(5)式有式有 解解 把曲面表示为参量方程把曲面表示为参量方程:其中其中2cos sinsin cos(,)sincos,(,)sin0bby zAbcc 积分是在积分是在 S 的正侧进行的正侧进行.由上述的注由上述的注,(8)式右端取正式右端取正 ()33332d dzsincossincos d dSDxyabc 235432002sindcosd.5a bca bc 号号,即即 五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建

31、立与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系两种类型曲面积分的联系.设设 S 为光滑曲面为光滑曲面,并以上侧为正侧并以上侧为正侧,R 为为 S 上的连续上的连续 函数函数,曲面积分在曲面积分在 S 的正侧进行的正侧进行.因而有因而有 ()|01(,)d dlim(,).(9)niiii xyTiSR x y zx yRS 由曲面面积公式（第二十一章由曲面面积公式（第二十一章6）,()1d d,cosi xyiSSx y iS其中其中 是曲面是曲面 的法线方向与的法线方向与 z 轴正向的交角轴正向的交角,它它 是定义在是定义在 ()i xyS上的函数上的函数.因为积分沿

32、曲面正侧进行因为积分沿曲面正侧进行,所以所以 是锐角是锐角.又由又由 S 是光滑的是光滑的,所以所以 cos 在闭域在闭域使这点的法线方向与使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角轴正向的夹角 *i 满足等式满足等式 上连续上连续.应用中值定理应用中值定理,在在 内必存在一点内必存在一点,()i xyS()i xyS()*1,cosii xyiSS*()cos.i xyiiSS*()(,)(,)cos.(10)iiii xyiiiiiRSRS 或或与与 z 轴正向夹角的余弦轴正向夹角的余弦,则由则由 cos 的连续性的连续性,可推可推 于是于是 现以现以 cosi 的法线方向的法线方向 iS表示曲

33、面在点表示曲面在点(,)iiix y z|0T时时,(10)式右端极限存在式右端极限存在.因此由因此由(9)式式 得当得当 得到得到 (,)d d(,)cos d.(11)SSR x y zx yR x y zS 这里注意当改变曲面的侧向时这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号左边积分改变符号;cos 右边积分中角右边积分中角 改为改为 .因而因而 也改变符号也改变符号,(,)d d(,)cos d,(12)SSP x y zy zP x y zS 其中其中 ,分别是分别是 S 上的法线方向与上的法线方向与 x 轴正向和与轴正向和与 y 所以右边积分也相应改变了符号所以右边积分也相应改变

34、了符号.同理可证同理可证:(,)d d(,)cosd,(13)SSQ x y zz xQ x y zS 轴正向的夹角轴正向的夹角.一般地有一般地有 cos,cos,cos 这样这样,在确定了余弦函数在确定了余弦函数 之后之后,由由(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系分的联系.()(,),(,)xyzz x yx yD 注注 当曲面由当曲面由 表示表示,且取上侧且取上侧 (,)d d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y(,)cos(,)cosSP x y zQ x y z(,)

35、cosd.(14)R x y zS(,)d d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y2222cos,cos,cos1;11yxxyxyzzzzzz ()(,)()(,)()(,)d d.xyxyDP x y zzQ x y zzR x y zx y因此因此 上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而从而使计算得到简化使计算得到简化.22d1d d,xySzzx y 时时,例例4 计算计算 22()d dd d()d d,Sy xzy zxz xyxzx y S225,zxy 1z 其中其中 为为 的部分的

36、部分,并取上侧并取上侧.22():4;2,2.xyxyDxyzxzy22()d dd d()d dSy xzy zxz xyxzx y()2222(5)(2)(2)d dxyDy xxyxxyyxzx y()2223200d ddsind4.xyDyx yrr 解解 上面第二步计算后得到上面第二步计算后得到 是利用了积分区是利用了积分区 ()2d d,xyDyx y域的对称性和被积函数的奇偶性域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外除了这一项外,其其 他各积分项全都等于零他各积分项全都等于零.3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广.格林公式建立了平面区域上的二重

37、积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系;高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系;斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系.一、高斯公式 二、斯托克斯公式 一、高斯公式 定理定理22.3 设空间区域设空间区域 V由分片光滑的双侧封闭曲由分片光滑的双侧封闭曲 面面 S 围成围成.若函数若函数 P,Q,R 在在 V上连续上连续,且有一阶连且有一阶连 续偏导数续偏导数,则则d d dVPQRx y zxyzd d+d d+d d,(1)SP y z Q z x R x y 其中其中 S 取外侧取外侧.(1)式称为式称

38、为高斯公式高斯公式.证证 下面只证下面只证 d d dd d.VSRx y zR x yz 读者可类似读者可类似 d d dd d,VSPx y zP y zx d d dd d.VSQx y zQ z xy 这些结果相加便得到了高斯公式这些结果相加便得到了高斯公式(1).先设先设V是一个是一个 xy 型区域型区域,即其边界曲面即其边界曲面 S 由曲面由曲面 证明其余两式证明其余两式:11():(,),(,),xySzz x yx yD及垂直于及垂直于()xyD的柱的柱面面 3S组成组成(图图22-7),其中其中 12(,)(,).zx yzx y于是按三重积分的计算方于是按三重积分的计算方

39、21()(,)(,)d d dd ddxyzx yzx yVDRRx y zx yzzz22():(,),(,),xySzzx yx yD法法,有有 227 图图xyzO2S1S3S()xyD()2(,(,)d dxyDR x y zx yx y21(,)d d(,)d dSSR x y zx yR x y zx y12,SS3Sxy在在其中其中 都取上侧都取上侧.又由于又由于 平面上投影面平面上投影面 21(,)d d(,)d d,SSR x y zx yR x y zx y()21(,(,)(,(,)d dxyDR x y zx yR x y z x yx y()1(,(,)d dxyDR

40、 x y zx yx y从而得到从而得到 231d d dd dd dd dVSSSRx y zR x yR x yR x yz对于不是对于不是 xy 型区域的情形型区域的情形,一般可用有限个光滑一般可用有限个光滑 3(,)d d0.SR x y zx y积为零积为零,所以所以 曲面将它分割成若干个曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论型区域来讨论.d d.SR x y 例例1 计算计算 22()d dd d()d d,SIy xzy zxz xyzxx y 其中其中 S 是边长为是边长为 a 的正立方体表面并取外侧的正立方体表面并取外侧.22()()()d d dVIy xzxyxzx y

41、 zxyz解解 应用高斯公式应用高斯公式,2401d.2aaayaya000()d d d=dd(+)daaaVyxx y zzyy xx注注 若在高斯公式中若在高斯公式中,Px Qy Rz 则有则有d dd dd d(111)d d d.SVx y zy z xz x yx y z 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体的体 积的公式积的公式:11d dd dd d.3SVx y zy z xz x y 例例2 计算计算 22()d dd d()d d,Sy xzy zxz xyxzx y S225zxy 1z 其中其中 为曲面为曲面上上的部分

42、的部分,并取并取 上侧上侧.解解 由于曲面不是封闭的由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式不能直接应用高斯公式.为了能使用高斯公式以方便计算为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面可补充一块平面 221:4,1,Sxyz 1SS 并取下侧并取下侧,则则 构成一构成一封封闭曲面闭曲面.于是于是 122()d dd d()d dSSy xzy zxz xyxzx y()d d dVxyx y z2225001dd(cossin)d0.rrrrr z 而而122()d dd d()d dSy xzy zxx zyxzx y2()d d4.Dyxx y 因此因此 22()d dd d()d d4

43、.Sy xzy zxz xyxzx y 例例3 证明电学中的高斯定理证明电学中的高斯定理:在由点电荷在由点电荷 q所产生的所产生的 Eq静电场中静电场中,电场强度电场强度 向外穿过任何包含向外穿过任何包含在其内在其内 S4.q 部的光滑封闭曲面部的光滑封闭曲面的电通量都等于的电通量都等于 q1,S1S证证 以以 为球心作一半径充分小的球面为球心作一半径充分小的球面使使 全部全部 Sq落在落在所包含的区域内部所包含的区域内部,并将坐标原点取在并将坐标原点取在处处.由由电学知识电学知识,在点在点(,)M x y z处的电场强度为处的电场强度为 3(ijk),qExyzr设设 333(,),(,),

44、(,),qxqyqzP x y zQ x y zR x y zrrr其中其中 222.rxyz易验证易验证(参见图参见图22-8)0.PQRxyz 所以穿过所以穿过 1S的电通量为的电通量为 13d dd dd dSqx y zy z xz x ya 33d d d4,Vqx y zqa 1SV1Sa其中其中 取外侧取外侧,是是 包围的半径为包围的半径为 的球体的球体.S1S 在在与与所围的空间区域所围的空间区域 上应用高斯公式上应用高斯公式,其边其边 S1S界的外测是界的外测是 的外侧和的外侧和 的内侧的内侧.因为因为 228 图图xyOzS1Sq1d dd dd dd dd dd dSSP

45、 y zQ z xR x yP y zQ z xR x yd d d0,PQRx y zxyz 所以穿过所以穿过 S的电通量为的电通量为d dd dd dSP y zQ z xR x y1d dd dd dSP y zQ z xR x y4.q 二、斯托克斯公式 先对双侧曲面先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线的侧与其边界曲线 L 的方向作如下的方向作如下 规定规定:设有人站在设有人站在 S 上指定的一侧上指定的一侧,若沿若沿 L 行走行走,指指 定的侧总在人的左方定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线则人前进的方向为边界线 L 的正向的正向;若沿若沿 L 行走行走,指定的侧总在人的右方指定

46、的侧总在人的右方,则人则人 前进的方向为边界线前进的方向为边界线 L 的负向的负向.这个规定也称为右这个规定也称为右 手法则手法则,如图如图 22-9 所示所示.定理定理22.4 设光滑曲面设光滑曲面 S 的边界的边界 L 是按段光滑的连是按段光滑的连 续曲线续曲线.若函数若函数 P,Q,R 在在 S(连同连同 L)上连续上连续,且有且有 一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则有则有斯托克斯公式斯托克斯公式如下如下:229 图图正向正向LS负向负向LS其中其中 S 的侧与的侧与 L 的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定.证证 先证先证 其中曲面其中曲面 S 由方程由方程 确定确定,它的正侧法线方

47、它的正侧法线方 (,)zz x yd dd dd,LSPPz xx yP xzy(3)ddd,(2)LP xQ yR z()d d()d d()d dSRQPRQPy zz xx yyzzxxycoscos,.coscoszzxy 若若 S 在在 xy 平面上的投影为区域平面上的投影为区域(),xyDLxy在在平面上平面上 的投的投影为曲线影为曲线 .现由第二型曲线积分定义及格林现由第二型曲线积分定义及格林 公式有公式有 (,)d(,(,)dLP x y zxP x y z x yx(,1),xyzz(cos,cos,cos),向数为向数为方向余弦为方向余弦为所以所以 (,(,),PPzP x

48、 y z x yyyzy所以所以 ()(,(,)d d.xyDP x y z x yx yy 因为因为 ()(,(,)d dxyDP x y z x yx yyd d.SPPzx yyzy cosd dd dcosSSPPzPPx yx yyzyyz d dcoscoscosSPPx yyz d dd d.SPPz xx yzy由于由于 cos,coszy 从而从而 coscosdSPPSyz d dd dd(4)LSQQx yy zQ yxz d dd dd(5)LSRQy zz xR zyx 将将 (3),(4),(5)三式相加三式相加,即得公式即得公式 (2).如果如果 S 不能以不能以

49、(,)zz x y的形式给出的形式给出,则可用一则可用一些些 光滑曲线把光滑曲线把 S 分割为若干小块分割为若干小块,使每一小块能用这使每一小块能用这 综合上述结果综合上述结果,便得到所要证明的便得到所要证明的(3)式式.当曲面当曲面 S 表示为表示为(,),(,)xx y zyy z x时时,同样同样可可证证 为了便于记忆为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式斯托克斯公式也常写成如下形式:d dd dd dddd.LSy zz xx yP xQ yR zxyzPQR(2)d()d()d,Lyzxxzyyzz例例4 计算计算其中其中种形式来表示种形式来表示.因而这时因而这时 (2)式也能成

50、立式也能成立.1Lxyz为为平平面面与各坐标面的交线与各坐标面的交线,取图取图 22-8 所示的方向所示的方向.解解 应用斯托克斯公式推得应用斯托克斯公式推得:(2)d()d()dLyzxxzyyxz(11)d d(11)d d(12)d dSy zz xx y132d d2d dd d11.22Sy zz xx yxyOz22 10图图(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)车胎状的环形区域则是非单连通的车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理性也有下面相应的定理.不经过不经过 V 以外的点