数学分析第二章习题课课件.ppt

1、;,00MxSxM使S S无上界无上界：;,00LxSxL使S S无下界无下界：.,000MxSxM使S S无界：无界：S S无上界或无上界或S S无下界无下界f(x)f(x)在在D D上无界：上无界：.)(,000MxfDxM使的的有有限限个个点点。之之外外至至多多有有在在有有),(0,(2).,0)1(limnnnnaaUaaNnNaa 第二章习题课第二章习题课数列极限的定义数列极限的定义的的无无限限个个点点。之之外外有有在在有有不不存存在在),(0,(2).,0,)1(000000limnnnnaaUaaaNnNaa .limlimlim.lim,lim122aaaaaaaaaakkkk

2、nnnknnnkk 有有数列极限的等价命题数列极限的等价命题 收敛数列的性质收敛数列的性质 1、唯一性；、唯一性；2、有界性；、有界性；3、保号性；、保号性；4、保不等式性；、保不等式性；5、迫敛性；、迫敛性；6、子列收敛性；、子列收敛性；7、四则运算性。、四则运算性。数列极限存在的条件数列极限存在的条件 单调有界定理。单调有界定理。Cauchy收敛准则。收敛准则。这两个定理都只是在实数系内成立。这两个定理都只是在实数系内成立。求数列求数列an极限的方法：极限的方法：1 1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；2 2、极限的四则运算；、极限

3、的四则运算；4 4、利用单调有界定理；、利用单调有界定理；3 3、利用重要极限、利用重要极限ennn)11(lim5 5、证明奇偶子列收敛于同一个数。、证明奇偶子列收敛于同一个数。6 6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。7 7、利用迫敛性。、利用迫敛性。几个常用数列的极限几个常用数列的极限).0(,01lim nn).1|(|,0lim qqnn).0(,1lim aann.1lim nnnkkkmmmnbnbnbanana 110110lim.,;,0 ;,00mkmkmkba e)n1(1limnn 解题方面注意点：解题方面注意点：1、-N定义求极

4、限，定义求极限，N的找法。的找法。naan|)1(中中解解出出直直接接从从*不再含有不再含有n nnnaan )(),(|)2(解解出出中中则则从从适适当当放放大大法法，若若 *取整后取作取整后取作N2、证明数列、证明数列an单调的方法。单调的方法。比较，比较，与与0 )1(1nnaa 比较，比较，与与 1 )2(1nnaa 数学归纳法。数学归纳法。)3(例例1 1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。.)1(1lim )1(2nnn .1lim )2(nnnn.656)4(lim )3(11 nnnnn.3lim )4(nnn 答答（1）发散。发散。（2）1。（3）1/6。（4）0。.)3

5、2(323n0 )4(nnnn 由迫敛性即得。由迫敛性即得。.721lim )5(22nnnn （5）1/2。例例2 2.lim 23 ,211nnnnxxxx 的的极极限限存存在在并并求求证证明明数数列列证证,301 x则则设设,30 kxkkxx2301 ,363 .30 nx由由归归纳纳法法知知：nnnnxxxx 231又又nnnnxxxx 23232nnnnxxxx 23)1)(3(.0.1nnxx 故故。单单调调有有界界，从从而而有有极极限限所所以以nx，两边取极限，得，两边取极限，得由由nnxx23 1 ,lim axnn 设设,23aa .1 ,3 （舍舍）解解之之得得 aa例例

6、3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求时时当当解解 将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn时时当当例例4 下面极限是否存在？若存在，求之。解).()1)(1)(21 babannbaxnn )(212)(212bannbaxn )()(21baba ,a)(212)(2112bannbaxn )()(21baba ,

7、b 不存在。不存在。limnnx 解.0,)(lim21121 nnnmnnnaaaaaa，其中，其中求求，则则记记),max(21maaaa 例例5nnmnnaaa121)(nna1)(annma1)(nma 1nm nnmnnnaaa121)(lim.a例例6收收敛敛。证证明明满满足足：设设,3,2,10|,|11nnnnnnxnkxxkxxx 证证|11 nnnnxxkxx|212 nnxxk|121xxkn|npnxx 则则|1211nnpnpnpnpnxxxxxx|121123122xxkxxkxxknpnpn|1)1(1221xxkkkpn|1121xxkkn ,01 nkn时，时

8、，当当.|,0,0 npnxxpNnN有有，故故由由Cauchy准则，准则，xn收敛。收敛。|1121xxkkn|npnxx 例例7 证明证明收敛。!1!21!111nxn证证1213211!1 nnn|)!(1)!2(1)!1(1|pnnnxxnpn 11212121 pnnn211)211(21 pn由由Cauchy准则，准则，xn收敛。收敛。.|,0,0 npnxxpNnN有有，故故112121 pnn121 n).(,0 n211)211(21 pn|npnxx 例例8 斐波那契（斐波那契（Fibonaci,1170-1250,意大利数学家）意大利数学家）斐波那契数列：斐波那契数列：1

9、，1，2，3，5，8，13，21，).3(,12121nuuuuunnn后人求出了它的通项：)251()251(51nnnu一个正整数数列竟然要用无理数来表示！更令人叫绝的是618.0215lim1nnnuu黄金分割数！解例例9（用单调有界定理）均均为为正正数数，、知知由由 3 30 111xxx )3(0 112xxx 故故，则则设设)1(230 kxk113xx )3()(212121xx 23,23)3()(21)3(0221 kkkkkxxxxx).1(230 nxn.),3,2,1()3(30 11限限的的极极限限存存在在，并并求求此此极极证证明明，设设nnnnxnxxxx 例例9（

10、接接着着证证单单调调性性）nnnnnxxxxxn )3(1 1 时时，当当nnnnnxxxxx )3()23(，0 nnnnnnnnnxxxxxxxxx )3()3()()3(.单单调调（增增）nx.的的极极限限存存在在nx.),3,2,1()3(30 11限限的的极极限限存存在在，并并求求此此极极证证明明，设设nnnnxnxxxx .),3,2,1()3(30 11限限的的极极限限存存在在，并并求求此此极极证证明明，设设nnnnxnxxxx 例例9（接接着着求求极极限限）,lim axnn 记记,)3(1nnnxxx 由由),3(21nnnxxx 有有得得令令,n),3(2aaa 023 a

11、a，解解得得.（舍舍去去）.23lim nnx.0 1且且单单调调增增）时时，（nxn 作业中的问题作业中的问题P39 3(1)极限存在，并求其值。极限存在，并求其值。证明证明设设,2,211nnnaaaa 证证,221 a,2 na设设,22221 nnaa则则。有上界有上界故故2nannnnaaaa 21)2(nnaa ,0 单调减。单调减。故故na则则存存在在，设设其其值值为为故故,limaann aa2.2 0，解之解之 a.2 0,22 aaan不不合合题题意意，从从而而故故由由于于P39 3(2)证证单调增加。单调增加。显然显然na,121 cca,12 can设设1121 ccc

12、acann则则,12 c。有有上上界界故故12 can则则存存在在，设设其其值值为为故故,limaann aca .2411ca 解解之之.2411 02411,0cacaan 不合题意，从而不合题意，从而故故由于由于极限存在，并求其值。极限存在，并求其值。证明证明设设,),0(11nnnaacacca P39 6.解解.lim ,lim:AxxAxxxnnnnknnkk 收收敛敛且且试试证证单单调调且且有有收收敛敛子子列列若若，单单调调，不不妨妨设设为为单单调调增增 nx,Mxxpk ,无无上上界界若若nx,Mxxp knpnkk ，若若ABxnn lim，则则任任意意子子列列有有ABxknk lim .lim Axnn 与已知矛盾！与已知矛盾！,MxpMp 使使则则有有单单调调增增，由由,pkxn 收收敛敛矛矛盾盾！这这与与knx单调有界，从而收敛。单调有界，从而收敛。nx