数值分析牛顿插值法教学课件.ppt

1、iiijjijiilxlbx11nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211bAx ni,3,2 2.2.2 Newton插值法插值法 2.2.3 等距节点插值公式等距节点插值公式.,12)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2,1,0我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成,1,0 xx),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？.,3,1,0 xx),)(10 xxxx)()(11

2、0nxxxxxx,显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数,ix设插值节点为(),0,1,iiff xin函数值为1,2,1,0,1nixxhiiiiihhmaxnifxPii,1,0,)(插值条件为)()()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式设插值多项式)(xP.,4nifxPxPii,1,0,)()(应满足插值条件000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入

3、差商和差分的概念.,5一、差商(均差)定义1.nifxxfii,1,0,)(处的函数值为在互异的节点设称)(,jixxffxxfjijiji)(,)(均差一阶差商关于节点为jixxxf)(,kjixxxxfxxfxxxfjkjikikji的二阶差商关于为kjixxxxf,)(依此类推.,6,110kkiiiixxxxf阶差商的关于节点为kxxxxxfkkiiii,)(110,110kkxxxxf差商具有如下性质(请同学们自证)：且的线性组合表示可由函数值阶差商的,)(,),(),(,)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf显然kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf12

4、10110,kkkkkxxxxxxfxxxf1210110,.,7,110kkxxxxfkikiiiiiiixxxxxxxxxf0110)()()()(2)差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,210 xxxf,120 xxxf,012xxxf如,)()3(10)的区间存在时在包含节点当（kkxxxxf使得之间必存在一点在,10kxxx,10kxxxf用余项的相同证明!)()(kfk.,8)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商差商的计算方法(表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf

5、,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为零阶差商差商表Chashang.m.,9xifxi fxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2,xi+200283275125621640208 1923827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例1 求 f(xi)=x3在节点 x=0,2,3,5,6上的各阶差商值解:计算得如下表.,10二、Newton基本插值公式)()()()()(110102010nnxx

6、xxxxaxxxxaxxaaxP设插值多项式满足插值条件nifxPii,1,0,)(则待定系数为00fa,101xxfa,2102xxxfa,10nnxxxfa.,11)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxNnkkjjkxxxxxff110100)(,称基本插值多项式次的关于节点为Newtonnxxfi)(定义3.)()()(xNxfxRnn)()!1()(1)1(xnfnn由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为nkkkxxxxff1100)(,10)(kjjxx)(xk为k次多项式.,12,10 xxxxfk,110 xxxxfk则视为

7、一个节点若将,),1,0(,nixxi因此可得)(,)(000 xxxxffxf)(,(0110100 xxxxxxxfxxff)(,)(,10100100 xxxxxxxfxxxxffnjjnnkkjjkxxxxxxfxxxxxff010110100)(,)(,xxxxxxfxxxfkkk,11010)(,1010kkkxxxxxxfxxxf下面推导余项的另外一种形式.,13)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn)(,110 xxxxxfnnnjjnnxxxxxxfxN010)(,)()()(xRxNnn因此)!1()()1(nfn,10nxxxxf!)()(kfk,10kxxxf)(

8、xRk)(,1110 xxxxfkknk 一般Newton插值估计误差的重要公式另外.,14.6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1 插值多项式求四次牛顿时设当iixfx练练习习kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24)()4)(3)(2)(1()()3)(2)(1(0)2)(1(3)1(1)(241314xxxxxxxxxxxN112332248331294241xxxx.,152.2.3 等距节点插值公式定义.称处的函数值为在等距节点设,1,0,)(0nkfkhxxxfkkk

9、kkfff1处的一阶向前差分在为kxxf)(1,1,0nk1kkkfff处的一阶向后差分在为kxxf)(nk,2,1kkkfff12处的二阶向前差分在为kxxf)(12kkkfff处的二阶向后差分在为kxxf)(.,16kmkmkmfff111阶向前差分处的在为mxxfk)(阶向后差分处的在为mxxfk)(依此类推111kmkmkmfff可以证明mkmkmff1kkff222kkff333kkff如.,174433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f

10、.,18在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfihfi 11222iiffh2222hfi,321iiiixxxxf312223hffii33!3 hfiiiiixxff112211,iiiiiixxxxfxxf332121,iiiiiiiixxxxxfxxxf.,193322223hfxfii333!3 hfi,1miiixxxf依此类推mimhmf!mmimhmf!,10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!.,20即是等距节点如果节点,10nxxxnabhnkkhxxk,1,0,0,10kxxxfkkhkf!0由差商与向

11、前差分的关系)(xNnnkkkxxxxff1100)(,Newton插值基本公式为如果假设thxx01.Newton向前(差分)插值公式.,2110)(kjjxx)(xk1000)(kjjhxthx10)(kjhjtkkhkf!0nkf10)(10kjhjt!0kfknkf10)(10kjjt)(xNnnkkkxxxxff1100)(,)(0thxNn)(xRn)()!1()(1)1(xnfnn则插值公式化为其余项)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(化为.,22)(0thxRn)!1()()1(nfnnjnjth01)(!0kfknkf10)(10kjjt)(0thxN

12、n称为Newton向前插值公式（又称为表初公式）插值余项为.,23!kfnknknf1)(10kjjt)(thxNnn)(thxRnn)!1()()1(nfnnjnjth01)(插值余项为根据向前差分和向后差分的关系mkmkmff如果假设thxxn)0(t可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式.,24 例例 4 设设x0=1.0,h=0.05,给出给出 在在 处的函数值如表处的函数值如表2-5的第的第3列，试用三次等距节点插值公式求列，试用三次等距节点插值公式求f(1.01)和和f(1.28)的近似值。的近似值。xxf)()6,1,0(0 kkhxxk32 0 1.0

13、0 1.00000 0.02470 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00059 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00054 -0.00005 3 1.15 1.07238 4 1.20 1.09544 0.02307 -0.00048 -0.00003 5 1.25 1.11803 0.02259 -0.00045 6 1.30 1.14017 0.02214 32kkfxk表表2-5.,25 解解 用用Newton向前插值公式来计算向前插值公式来计算f(1.01)的近似值。先构造与均的近似值。先构造与均差表相似的差分表，见表差表相似的差分表，见表2-5

14、得上半部分。由得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得的得.00499.1)01.1()01.1(3 Nf用用Newton向后插值公式计算向后插值公式计算f(1.28)的近似值，可利用表的近似值，可利用表2-5中的下半部中的下半部分。由分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得，得.13137.1)28.1()28.1(3 Nf事实上，事实上，f(1.01)和和f(1.28)的真值分别为的真值分别为1.00498756和和1.13137085。由。由此看出，计算结果是相当精确的。此看出，计算结果是相当精确的。例例 2.5 已知已知f(x)=sinx的数值如表的数值如表2-6的第的第2列，分

15、别用列，分别用Newton向前、向后插值公式求向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。.,260.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521 0.00480 0.7 0.64422 0.07958 -0.00563 -0.00083 x sinx 2 2 3表2-6 解解 作差分表如表作差分表如表2-6，使用，使用Newton向前差分公式向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,则则t=(x-x0)/h=0.7891,02002)1(21)57891.0(fttftfN ,5

16、4714.0)00563.0()1(2108521.047934.0 ttt即即sin0.578910.54714。误差为。误差为.,27.1095.25.0cos1036.3)(,7.05.0),cos)(2)(1(!3)(55232 xRttthxR 若用若用Newton向后插值公式，则可取向后插值公式，则可取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,x=0.57891,h=0.1,t=(x-x2)/h=-0.2109。于是。于是22222)1(21)57891.0(fttftfN ,54707.000480.0)1(2108521.056464.0 ttt即即sin0.578910.54707。误差为。误差为.1057.4)(,6.04.0),)(2)(1(!3)(5232 xRttthxR .,