巧用几何方法平分图形面积课件.ppt

1、情境导入情境导入 如图所示，在一块矩形土地如图所示，在一块矩形土地上，有一平行四边形水池，怎样修上，有一平行四边形水池，怎样修一条水渠把土地面积分成相等的两一条水渠把土地面积分成相等的两部分？部分？ABCDEFGH困惑与思维突破困惑与思维突破困惑：困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是不规土地被水池占去一部分，剩余的是不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？则图形，怎么平分不规则图形的面积？思维突破：思维突破：原有土地是矩形，水池是平行四边原有土地是矩形，水池是平行四边形，这是两个基本图形的组合图形形，这是两个基本图形的组合图形.要解决怎么平分组合图形的面积，我要解决怎么平分组合图形的面积，我们先

2、来研究基本图形平分面积的情况们先来研究基本图形平分面积的情况.有一块三角形花园，现在物业公司要对其进有一块三角形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角行绿化，要求用一条直线为分界线把这块三角形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？该怎样设计，才能满足要求？ABC平分基本图形的面积平分基本图形的面积 平分三角形的面积平分三角形的面积ABC 三角形一边中线所三角形一边中线所在的直线平分三角形面在的直线平分三角形面积面积积面积.

3、依据：等底等高（或同）依据：等底等高（或同）的两个三角形面积相等的两个三角形面积相等.如果花园形状是矩形，要求用一条直如果花园形状是矩形，要求用一条直线为分界线把这块矩形空地分成面积相等线为分界线把这块矩形空地分成面积相等的两块，应该怎样设计，才能满足要求？的两块，应该怎样设计，才能满足要求？ABOEF割补割补原理原理 过对角线的交点任意一条直线平分矩形面积过对角线的交点任意一条直线平分矩形面积.除了这几种分法外，还除了这几种分法外，还有其它分法吗？怎么分？有其它分法吗？怎么分？ABOEFO过矩形中心的任意一条直线都过矩形中心的任意一条直线都等分矩形的面积。等分矩形的面积。ABOEF 如果花园

4、形状是平行四边形，用一如果花园形状是平行四边形，用一条直线为分界线把这块空地分成面积相条直线为分界线把这块空地分成面积相等的两块，怎么分？等的两块，怎么分？ABCD过平行四边形中心的任意过平行四边形中心的任意一条直线都等分它的面积。一条直线都等分它的面积。过对角线交点的任一直线平分它们的面积过对角线交点的任一直线平分它们的面积平分特殊的平行四边形的面积平分特殊的平行四边形的面积平分正多边形和圆的面积平分正多边形和圆的面积1、尝试平分正五边形和正六边形的面积、尝试平分正五边形和正六边形的面积 正奇边形的对称轴平分面积；过正偶边形中正奇边形的对称轴平分面积；过正偶边形中心的任一条直线平分面积心的任

5、一条直线平分面积.2、尝试平分圆的面积、尝试平分圆的面积过圆心的任一条直线平分面积过圆心的任一条直线平分面积 平分梯形的面积平分梯形的面积1、你能找到一条平、你能找到一条平分梯形面积的直线分梯形面积的直线吗？平分面积你首吗？平分面积你首先想到平分什么？先想到平分什么？首先考虑平分对边首先考虑平分对边.两腰中点所在直线不能平分梯形面积；两腰中点所在直线不能平分梯形面积；两底中点所在直线平分梯形面积两底中点所在直线平分梯形面积.直线平分梯形面积：（1）两底中点所在直线.（2）变形为等积的平行四边形.（3）变形为等积的三角形.注意：所作直线必须与梯形两底都相交.问题解决问题解决 平分变形梯形平分变形

6、梯形依据：上下底中点所在直依据：上下底中点所在直线平分梯形面积；构成线平分梯形面积；构成“8”字型全等三角形字型全等三角形.（自行证（自行证明）明）如果花园是任意四边形，一条直线将如果花园是任意四边形，一条直线将其分成等积的两块，有几种分法？怎么分？其分成等积的两块，有几种分法？怎么分？直线可以任意角度吗？直线可以任意角度吗？ABCD解题策略：解题策略：任意四边形变形为等积的三角形.ABCDDCBAEDCBAEDCBAEDCBAGFEDCBAGFEDCBA平分组合图形的面积平分组合图形的面积ABCDEFGH1、问题情境的解决、问题情境的解决 连接连接AC和和BD交交于于O1，连接，连接EG和和

7、FH交于交于O2，作直线作直线O1O2，沿沿O1O2修水渠可把修水渠可把土地平分土地平分.O1O2 思考：问题就这样轻易解决吗？你发现水渠的位置思考：问题就这样轻易解决吗？你发现水渠的位置有什么特点？有什么特点？ABCDEFGH问题情境一反思问题情境一反思因为因为且所作直线和、且所作直线和、均相交均相交.，利用上述方法也可作无数条直，利用上述方法也可作无数条直线平分面积线平分面积ABCDEFGH问题情境一反思修改问题情境一反思修改这是不会出现情境一的情况这是不会出现情境一的情况.本图只能作本图只能作一条直线平分土地面积一条直线平分土地面积.如图，甲、乙两家的地被一条小路如图，甲、乙两家的地被一

8、条小路ABCABC分开，地的两边是两条平行的道路，分开，地的两边是两条平行的道路，现在为方便行走，想把弯道现在为方便行走，想把弯道ABCABC改成直道改成直道(改后两家的地以这条直道为界改后两家的地以这条直道为界)，且不，且不能改变两家的土地面积，你能帮他们改能改变两家的土地面积，你能帮他们改一下吗？一下吗？ABC乙乙甲甲O1O2E EF FD DABC乙乙甲甲E EF F B ACDEFO问题情境二问题情境二 请你在图中画一条直线把它分成面积相请你在图中画一条直线把它分成面积相等的两部分等的两部分.问题解决问题解决方法一（割法）：方法一（割法）：如图，分割成上如图，分割成上下两个长方形下两个

9、长方形.分别作两条对角线分别作两条对角线的交点，过两交点作直的交点，过两交点作直线即平分面积线即平分面积.方法二（割法）：方法二（割法）：问题解决问题解决 如图，分割成左如图，分割成左右两个长方形右两个长方形.分别作两条对角线分别作两条对角线的交点，过两交点作直的交点，过两交点作直线即平分面积线即平分面积.问题解决问题解决方法三（补法）：方法三（补法）：如图，补成一个如图，补成一个大长方形大长方形.分别作两条对角线分别作两条对角线的交点，过两交点作直的交点，过两交点作直线即平分面积线即平分面积.反思：探究到此结束吗？平分面积的直线反思：探究到此结束吗？平分面积的直线还有吗？还有吗？问题情境二反

10、思问题情境二反思借助上述方法我们也可以作无数借助上述方法我们也可以作无数条直线平分面积条直线平分面积问题情境三问题情境三如图，在五边形中，如图，在五边形中，则可以将五边形，则可以将五边形分成面积相等的直线有分成面积相等的直线有条条.方法一：上下分成梯形和矩形方法一：上下分成梯形和矩形.作梯形中位线和两作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，底中点所连线段的交点，再作矩形对角线的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平过两交点作直线，可平分面积分面积.方法二：左右分成梯形和矩形方法二：左右分成梯形和矩形.作梯形中位线和两作梯形中位线和两底中点所连线段的交点，底中点所连线段的交点，再作矩形对

11、角线的交点，再作矩形对角线的交点，过两交点作直线，可平过两交点作直线，可平分面积分面积.只有这两条直线？只有这两条直线？正确方法分析正确方法分析以方法一所作直线以方法一所作直线为基础进行分析为基础进行分析.、问题就在、问题就在，而直线与、，而直线与、均相交均相交.、类比平分梯形面积，、类比平分梯形面积，可构造可构造“”字型全等字型全等三角形就可寻找到正确三角形就可寻找到正确答案答案.问题解决问题解决直线分别交、直线分别交、于、两点，作于、两点，作的中点，过点作任的中点，过点作任意和、均相交的意和、均相交的直线即可直线即可.方法二同上方法二同上过过MNMN的中点任画一条直线，的中点任画一条直线，

12、只要与只要与AEAE相交都满足条件。相交都满足条件。MEBACDO1O2NMEBACDN 如图如图，在一梯形土地上，有一矩形，在一梯形土地上，有一矩形水池，怎样水池，怎样 修一条水渠可以把土地面积修一条水渠可以把土地面积分成相等的两部分分成相等的两部分.问题解决问题解决1、作梯形中位线和上下底中、作梯形中位线和上下底中点所连接的线段交于点点所连接的线段交于点M.2、连接矩形的对角线交于、连接矩形的对角线交于点点N.3、作直线、作直线MN.则水渠沿则水渠沿MN方向修平分土地面积方向修平分土地面积MN 如图，在如图，在 O中，弦中，弦ABCD，怎样作，怎样作一条直线把阴影面积分成相等的两部分一条直

13、线把阴影面积分成相等的两部分.阴阴 影影ABCDABCD问题解决问题解决分析：分析：阴影部分为轴对称图形阴影部分为轴对称图形.1、作对称轴分别交、作对称轴分别交AB和和CD于于M、N；MN2、作线段、作线段MN的中点；的中点；3、过中点作任一条直线、过中点作任一条直线且与且与AB、CD均相交均相交.则所作直线即平分阴影面积则所作直线即平分阴影面积.如图所示，在等腰梯形如图所示，在等腰梯形ABCD中，中，ADBC，AB=CD，分别以，分别以AB、CD为直径挖去两个全等弓为直径挖去两个全等弓形，怎样做一条直线把阴影部分分成面积相等的两形，怎样做一条直线把阴影部分分成面积相等的两部分部分.CABD阴

14、 影问题解决问题解决分析：分析：阴影部分为轴对称图形阴影部分为轴对称图形.1、连接、连接AD、BC中点中点M、N；2、作梯形中位线交、作梯形中位线交MN的的中点中点O；3、过中点、过中点O作任一条直线作任一条直线且与且与AD、BC均相交均相交.则所作直线即平分阴影面积则所作直线即平分阴影面积.ABDCMNO 如图在六边形如图在六边形ABCDEF中，中，BCADEF，怎样作一条直线把六边形分成面积相等的两部怎样作一条直线把六边形分成面积相等的两部分分.DABCEF问题解决问题解决1、作梯形、作梯形ADEF上下底上下底中点所连线段和中位线中点所连线段和中位线的交点的交点M；ABCEFD2、作梯形、

15、作梯形ABCD上下底上下底中点所连线段和中位线中点所连线段和中位线的交点的交点N；MN3、作直线、作直线MN交交EF于于P，交，交BC于于Q；4、作、作PQ的中点的中点O，过，过O点作与点作与EF、BC均相交均相交的任意直线的任意直线.则所作直线即平分六边形的面积则所作直线即平分六边形的面积O 如图梯形如图梯形ABCD和和EFGH两块土地，两块土地，ABCDEFGH，怎样修一条小路穿过，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等两块土地，使小路两旁的土地面积相等.DACBEFGHDACBEFGH问题解决问题解决1、作梯形、作梯形ABCD中位中位线与两底中点所连线线与两底中点所连线段的

16、交点段的交点M；2、作梯形、作梯形EFGH中位中位线与两底中点所连线线与两底中点所连线段的交点段的交点N；3、作直线、作直线MN.NM则沿则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等修小路可使小路两旁土地面积相等.如图梯形如图梯形ABCD和和EFGH两块土地，两块土地，ABCD，EFGH，怎样修一条小路穿过，怎样修一条小路穿过两块土地，使小路两旁的土地面积相等两块土地，使小路两旁的土地面积相等.DACBGEFH问题解决问题解决1、作梯形、作梯形ABCD中位中位线与两底中点所连线线与两底中点所连线段的交点段的交点M；2、作梯形、作梯形EFGH中位中位线与两底中点所连线线与两底中点所连线段的交点段的交点

17、N；3、作直线、作直线MN.NM则沿则沿MN修小路可使小路两旁土地面积相等修小路可使小路两旁土地面积相等.DACBGEFH 如图三个梯形土地，怎样修一条小如图三个梯形土地，怎样修一条小路穿过三块土地，使小路两旁的土地面积路穿过三块土地，使小路两旁的土地面积相等相等.问题解决问题解决1、作梯形、作梯形中位线与中位线与两底中点所连线段的两底中点所连线段的交点交点M；2、作梯形、作梯形中位线与中位线与两底中点所连线段的两底中点所连线段的交点交点N；3、作直线、作直线MN交交的上底于的上底于P，交，交的上底于的上底于Q，做做PQ的中点的中点O1；则沿则沿O1O2修小路可使小路两旁土地面积相等修小路可使

18、小路两旁土地面积相等.MN4、作梯形、作梯形中位线与两底中点所连线段的交点中位线与两底中点所连线段的交点O2；5、作直线、作直线O1O2.O1O2PQ 问题4 如何用一条直线把四边形分成面积相等的两部分解题策略：解题策略：任意四边形变形为等积任意四边形变形为等积的三角形的三角形课堂小结（2）平分平行四边形面积：找过中心的直线.（3）平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形.（4）平分一般四边形面积：变形为等积的三角形.1知识点（1）平分三角形面积：找中线.课后思考：课后思考：如果花园形状是任意四边形如果花园形状是任意四边形ABCD，四，四边形内部有一条折线小路边形内部有一条折线小路AEC刚好平分刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点限制，小路要通过点A，并且只能修在，并且只能修在AC和点和点E之间，同时还要平分四边形面之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计？积，请你帮助设计？