清华版线性代数第四章课件.ppt

1、第四章第四章 向量空间向量空间一、证明集合 是一个向量空间，并求它的一组基及其维数.1211(,)0nnniiVx xxxx 证明：1()nxxV 10niix 1()nyyV 10niiy 加法：11()nnxyxyV数乘：1()nkkxkxV 满足：(1)(2)()()(3)0(4)()0 (5)()klkl(6)()kkk(7)()()klk l(8)1 这个向量空间是 的解空间10nxx(11)A 1(110)2(1010)1(101)n 维数：1n 习题一习题一 向量空间向量空间二、给定两个矩阵 100011002A 100020031B 的行向量组是 3R的两组基，试问 AB、AB

2、、2AB 向量组哪个是 的行(列)3R一组基.解：200031031AB 不是 000011033AB 不是 1002002035AB 是三、设 4R中的两个向量 1(1,2,0,1)T 2(1,1,1,1)T 线性无关，试将其扩充为 4R的一组基.解：设 1234(,)Tx xxx 11124221234(,)20(,)0TTxxxxxxx 32130T 41021T 四、给定三维向量空间 3R的两组基：1101 2210 3111 与 1121 2221 3211 (1)由基 123 、到基 123、的过渡矩阵；(2)求向量(3,1,2)在这两组基下的坐标.解：33222331221512

3、2A (312)153()222习题二习题二 向量的内积向量的内积 一、设 n维实向量,的内积组成的行列式(,)(,)(,)(,)(,)G ，则(,)0G 的充要条件是,线性相关.证明：必要性(,)0G G行向量之间线性相关即(,),(,)(,),(,)k (,),(,)(,),(,)kk (,),(,)(,),(,)kk (,)(,)(,)(,)kk (,)0(,)0kk (,)0k kk (,)0kk (,)0kk 0k ,线性相关充分性,线性相关k (,)(,)(,)(,)(,)G (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)kGkkk 2(,)(,)(,)(,)kkk 0 二

4、、设 1210 2201 3122 是 的一组基，试用施密特3R正交化方法将其化成 的一组标准正交基，3R在该标准基之下的坐标.并求向量(2,3,4)T 解：11210 21221112 5(,)4 5(,)1 3231332122111(,)(,)2(,)(,)2 11125150 2222 3 54 3 55 3 5 3331 32 32 3 (2,3,4)T 在该标准基之下的坐标.7284(,)353 5三、给定 1(1,1,1,1)T 2(1,0,0,1)T 正交，求非零向量 34、使 1234,两两相交.解：设：1234(,)Tx xxx 11234(,)0 xxxx 214(,)0

5、 xx 10110T 21201T 310110T 2342333(,)1111(,)T 四、不唯一五、给定齐线性方程组：123123202420 xxxxxx 求，其解空间的一组标准正交基.解：121121242000A 12211001 1221 512 501 单位化：正交化：1225130152300530 习题三习题三 正交矩阵正交矩阵一、若一、若 均为正交矩阵，则均为正交矩阵，则 是正交矩阵，并问是正交矩阵，并问 ,A BAB是否是正交矩阵，是否是正交矩阵，AB 并证明你的结论.证明:,TTA AE B BE ()()TTTABABB A ABE 则则 是正交矩阵是正交矩阵AB()

6、()()()TTTABABABAB TTTTA AA BB AB B 2TTEA BB A 二、设二、设 是是 的一个基，的一个基，12,n nR()ijn nAa 为可逆矩阵，则12,nAAA是 nR的基的基.证明：证明：12,n 是一个基，则是一个基，则12,0n 1212(,)(,)nnAAAA 1212(,)(,)nnAAAA 1212(,)(,)0nnAAAA 12,nAAA线性无关任意n维向量均可由12,nAAA线性表示三、若三、若 为为 阶正交矩阵，阶正交矩阵，.()ijn nAa n1A 证明：(,1,2)ijijaA i jn 其中其中 为行列式为行列式 中元素中元素 的代数

7、的代数ijAAija余子式余子式.证明：A正交矩阵正交矩阵 1A *1*TAAAAA 11111111nnnnnnnnaaAAaaAA 四、四、是是 中的两个向量，证明：中的两个向量，证明：12,nR对任一对任一 阶正交矩阵阶正交矩阵nA均有均有1212(,)(,)AA 且且 的夹角等于的夹角等于 的夹角的夹角12,AA 12,证明：证明：1212(,)()TAAAA 12TTA A 12TE 12T 12(,)A正交矩阵正交矩阵 1212121212(,)(,)coscosAAAA 00180 12五、试证：若五、试证：若 是实对称矩阵，是实对称矩阵，正交矩阵，则正交矩阵，则 也是对称矩阵也

8、是对称矩阵.AT1TAT 证明：证明：11()()()TTTTTTATATTT A TTAA TT TE 1TAT 六、证明：若六、证明：若 是是 阶上三角正交矩阵，则阶上三角正交矩阵，则 是对角矩阵是对角矩阵AnA且主对角线上的元素是且主对角线上的元素是 .1 证明：证明：A正交正交TA AE 1TAA A上三角上三角TA下三角下三角1A 上三角上三角A是对角矩阵是对角矩阵1naAa 11111TnnaaAAaa 1ia 自测题自测题一、选择题1 1由由 的基的基 到到 基的过渡矩阵基的过渡矩阵 为为3R123,3122,P(A)(A)（B B）（C C）（D D）100010001 100

9、010011 010011100 010011100 2 2 均为均为 阶正交矩阵，则阶正交矩阵，则,A Bn（A A）都是正交矩阵都是正交矩阵 ；,AB AB（B B）是正交矩阵，是正交矩阵，不是正交矩阵；不是正交矩阵；ABAB（C C）不是正交矩阵，不是正交矩阵，是正交矩阵；是正交矩阵；ABAB（D D）都不是正交矩阵都不是正交矩阵.,AB AB 3 3设设 是正交矩阵，则是正交矩阵，则H(A)(A)（B B）（C C）（D D）HE 1H 1THH 0H 4 4 维列向量维列向量 是是 的标准正交基的充要条件是的标准正交基的充要条件是n12,n nR（A A）两两正交；）两两正交；(B(

10、B）均为单位向量；（）均为单位向量；（C C）线性无关；）线性无关；（D D）1212(,)(,)TnnE 5 5设设 ，是二阶正交阵，且是二阶正交阵，且 则则 1111A P10002P AP P (A)(A)（B B）（C C）（D D）11221122 11221122 11221122 11221122 6 6 的向量的向量 在基在基4R(0,0,0,1)1(1,1,0,1)2(2,1,3,1)3(1,1,0,0)4(0,1,1,1)之下的坐标是(A)(A)（B B）（C C）（D D）(1,0,1,0)(1,0,1,0)(1,0,1,0)(1,0,10)7 7设向量设向量 ，且且 则

11、则 (1,2,3)a (3,2,5,1)(,)1 (A)(A)（B B）（C C）（D D）253515 35 二、填空题1 1向量向量 经单位化后的向量经单位化后的向量 (1,1,11)T 11 11(,)22 22T2 2若向量若向量 是单位向量，则是单位向量，则 11(,1)32TK67K 3向量组 1(1,0,1)2(1,1,0)3(2,1,1)则向量 (3,2,1)在这组基下的坐标是 (1,0,2)4与 1(1,1,0,2)2(2,3,1,1)3(0,0,1,2)都正交的单位向量是 1121(,)7777 5 5设设 为为 阶正交矩阵，则阶正交矩阵，则An200011A 6 6 两个

12、基两个基2R123 245 和 111 213 则 12 、到基 12 、的过渡矩阵 11221322 7向量 1 2 3 4 （，）与向量 42 1)a （，正交，则 7a 三、计算题1将向量 1(11 0 2 1T，）2(3,2,4,1,0)T 3(4,1,4,1,1)T 4(1,4,4,5,2)T 扩充成 5R一组基，并化为一组标准正交基 解：123410120111()000000000000 12,为其一个极大无关组设：12345()Txxxxx 1124521234(,)20(,)3240 xxxxxxxx 144(100)55T 237(010)55T 323(001)55T 正

13、交化、单位化1(00100)T 2(00010)T 3(00001)T 422(000)22T 522(000)22T 2、求线性方程组 123412341234032202230 xxxxxxxxxxxx 的解空间的一组标准正交基.解：111110343212014521230000A 123445,1001 正交化单位化12413314,131160131 12413314113,13126442160131 3 3已知已知 两个基两个基2R1(1,1)211 （，）和 121 33 1 （，）（，）求由基 12 、到基 12 、的过渡矩阵和坐标变换公式.解：解：1212()()A 112

14、12()()A 2211A 1122yxAyx 4 1230 111 0 1111TTT （，）、（，）、（，）是是 一组基一组基3R试用施密特正交化方法将其化成试用施密特正交化方法将其化成 的标准正交基的标准正交基.3R解：解：正交化单位化101212 2261616 3131313 5 5 中两个向量中两个向量4R1(1,1,0,1)2(1,1,1,0)求非零向量 34,使 正交。1234,解：设：1234()xxxx 11242123(,)0(,)0 xxxxxx 34111022110122 6给定 3R的基 123(1,2,2)1 0 1537TTT 、（，）、（，）（1 1）将其化

15、为）将其化为 的一组标准正交基的一组标准正交基3R123,(2(2）求向量求向量 在标准正交基在标准正交基(1,1,1)T 123,下的坐标.解：正交化单位化12311039792321,3931798438262739 四、证明题1 与 123,都正交，试证 与 123,任意线性组合均正交.证明:112233(,)kkk 112233(,)(,)(,)kkk 112233(,)(,)(,)0kkk 2若 123,是是 一组标准正交基，证明：一组标准正交基，证明：3R31231(447)911231(84)921231(84)9也是的一组正交基.证明:1212312311(,)(84),(84

16、)99 123123184,84810 1323(,)0 (,)0 3 12,是 2R一组基 1122121123272 、21253证明：12,与 12,都是都是 的基，的基，2R并求 12,到 12,过渡矩阵.证明:11212212121232737 =、=12121 23 7 12121 203 7 12,是基是基 12122 51 3 12122 501 3 12,是基是基4 4 是正交矩阵，则是正交矩阵，则 也是正交矩阵也是正交矩阵.AA*()()TAA11()()TA AA A()()TTTA AA A 2()()TTTAAA TA A E 证明:5 是 阶正交矩阵，若 ，则An1A 0EA 证明:TEAA AA TA AE()TAE A TAE A TTAE ()TAE AE 20AE 0EA 6证明：若 维向量空间向量 与任意 维向量都正交，n n则 是零向量 证明:与任意 维向量都正交，n 与1n 都正交1naa 设设：11111(,)000(,)01nnnnaaaaaa 0