自动控制原理(胡寿松-)第四章根轨迹法参考课件.ppt
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- 自动控制 原理 胡寿松 第四 轨迹 参考 课件
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1、4-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 4-2 绘制系统根轨迹的基本法则绘制系统根轨迹的基本法则4-3 4-3 控制系统的根轨迹分析方法控制系统的根轨迹分析方法 学习指导与小结学习指导与小结14-1 4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 rkkdktkqitpiteBeAAtckki110)sin()(反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数。只要求解出闭环系统的特征根,系统响应的变化规律就知道了。但出闭环系统的特征根,系统响应的变化规律就知道了。但是对于是对于3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可阶以上的系统求根比
2、较困难。如果系统中有一个可变参数时,求根就更困难了。变参数时,求根就更困难了。qirkkkkimjjsspszsabsRsCs1122100)2()()()()()(2 1948年,年,提出了一种确定系统闭环特征根的提出了一种确定系统闭环特征根的图解法图解法。在已知。在已知分布的基础分布的基础上,当某些参数变化时,利用该图解法可以非常方便上,当某些参数变化时,利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点。的确定闭环极点。当系统当系统开环开环传递函数中某一参数从传递函数中某一参数从0 时,时,闭环系统特征根在闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹,就称作平面上的变化轨迹,就称作。一般取一般取(根轨迹增益
3、(根轨迹增益KgKg)作为可)作为可变参数。变参数。3式中,式中,K为系统的开环比例系数。为系统的开环比例系数。Kg=2K 称为系统的开称为系统的开环环。系统的闭环传递函数为:系统的闭环传递函数为:ggKssKs 2)(2 )2()2(2)15.0(ssKssKssKsGg Ks(0.5s+1)+R(s)C(s)解:系统的开环传递函数为解:系统的开环传递函数为4 系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为:s2+2s+Kg=0 求得闭环特征根为:求得闭环特征根为:gKs 112,1(1)Kg=0:s1=0,s2=2,是根迹的起点是根迹的起点(),用用“”表表示。示。2 j 0 1(2)0 Kg1
4、:112,1 gKjsKg=0Kg=0Kg=1KgKg)2(ssKsGg5 根据根据2阶系统根轨迹的特点,可以推得阶系统根轨迹的特点,可以推得n阶系统,会有如下的阶系统,会有如下的结论:结论:(1)n阶系统有阶系统有n个根,根轨迹有个根,根轨迹有n条分支条分支;(2)每条分支的起点)每条分支的起点(Kg=0)位于开环极点处;位于开环极点处;(3)各分支的终点)各分支的终点(Kg)或为开环零点处或为无限点;或为开环零点处或为无限点;(4)重根点,称为分离点或汇合点。)重根点,称为分离点或汇合点。2 j 0 1Kg=0Kg=0Kg=1KgKg1.1.稳定性稳定性 当当Kg从从0 时,图中时,图中的
5、根轨迹不会越过虚轴进入的根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面,因此二阶系统右半平面,因此二阶系统对所有的对所有的Kg值都是稳定的。值都是稳定的。6 如果高阶系统的根轨迹如果高阶系统的根轨迹有可能进入有可能进入s 右半平面,此右半平面,此时根迹与虚轴交点处的时根迹与虚轴交点处的Kg 值,值,成为成为。开环系统在坐标原点有开环系统在坐标原点有一个极点,系统属于一个极点,系统属于系统,系统,因而根规迹上的因而根规迹上的Kg 值就是静值就是静态速度误差系数态速度误差系数Kv。如果。如果给给定系统对定系统对ess 有要求,则对有要求,则对Kg有要求,由根迹图可以确定有要求,由根迹图可以确定闭环极点位置的容许
6、范围。闭环极点位置的容许范围。2 j 0 1Kg=0Kg=0Kg=1KgKg7 2 j 0 1Kg=0Kg=0Kg=1KgKg 由图可见,由图可见,闭环极点均位于负实轴上,闭环极点均位于负实轴上,系统为系统为系统,单位阶跃响应为非周期过程。系统,单位阶跃响应为非周期过程。当当 时,闭环两时,闭环两个实极点重合,系统为个实极点重合,系统为系统,单位阶跃响系统,单位阶跃响应为非周期过程。应为非周期过程。当当时,闭环极时,闭环极点为一对共轭复数极点,点为一对共轭复数极点,系统为系统为系统,单位系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程。阶跃响应为阻尼振荡过程。8 研究下图所示反馈控制系统的一般结构。研究下图所
7、示反馈控制系统的一般结构。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)+H(s)该系统的闭环特征方程为该系统的闭环特征方程为:D(s)=1 G(s)H(s)=0 或或 G(s)H(s)=1若将系统的开环传递函数若将系统的开环传递函数G(s)H(s)写成如下形式:写成如下形式:njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(9 式中式中。上述方程又可写为:。上述方程又可写为:gnjjmiiKpszs1)()(11 由于满足上式的任何由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点,所以当系统的结构都是系统的闭环极
8、点,所以当系统的结构参数,如参数,如Kg在某一范围内连续变化时,由上式制约的在某一范围内连续变化时,由上式制约的s在在s平面上描平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的。根轨迹的幅值方程:根轨迹的幅值方程:gnjjmiiKpszs111 10根轨迹的幅角方程:根轨迹的幅角方程:)64()12()()(11 kpszsnjjmii式中,式中,k=0,1,2,(全部整数)。(全部整数)。(4-6)通常称为)通常称为(4-7)根据这两个条件,可完全确定根据这两个条件,可完全确定s平面上根轨迹平面上根轨迹及及根轨迹上任一根轨迹上任一点对应的点
9、对应的Kg值。值。是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的,因此,因此,绘制根轨迹时,只需要使用幅角条件;而当需要确定根轨迹上各点绘制根轨迹时,只需要使用幅角条件;而当需要确定根轨迹上各点的的Kg值时,才使用幅值条件。值时,才使用幅值条件。)74(2)()(11 kpszsnjjmiignjjmiiKpszs1)()(11 11已知负反馈系统开环零极点已知负反馈系统开环零极点分布如图示。分布如图示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一点平面找一点s1,画出各开环零、极点到画出各开环零、极点到s1点的向量。点的向量。检验检验s1是否满足幅角条件:是否满足幅角条件:(s1
10、 z1)(s1 p1)+(s1 p2)+(s1 p3)=1 1 2 3=(2k+1)?如果如果s1点满足幅角条件,则是根轨迹上的一点。点满足幅角条件,则是根轨迹上的一点。寻找寻找12在在s 平面内满足幅角条件的所有平面内满足幅角条件的所有s1 点,将这些点连成光滑点,将这些点连成光滑曲线,即是闭环系统根轨迹。曲线,即是闭环系统根轨迹。在在19481948年,伊凡思年,伊凡思(W.R.Evdns)提出了用图解法绘提出了用图解法绘制根迹的一些制根迹的一些,可以迅速绘制闭环系统的根轨,可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图,在根轨迹草图的基础上,必要时可用幅角条件迹草图,在根轨迹草图的基础上,必要时可用幅
11、角条件使其精确化,从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。使其精确化,从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。134-2 绘制系统根轨迹的基本法则4.2.1 4.2.1 绘制绘制180180根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 由于根轨迹增益是连续的,根也是连续的,根轨迹当然也是连由于根轨迹增益是连续的,根也是连续的,根轨迹当然也是连续的。利用这一性质,只要精确画出几个特征点,描点连线即可续的。利用这一性质,只要精确画出几个特征点,描点连线即可画出整个根轨迹。画出整个根轨迹。gnjjmiiKpszs111 )64()12()()(11 kpszsnjjmii在下面的讨论中,假定系统变化的参数是开环根轨迹增
12、益在下面的讨论中,假定系统变化的参数是开环根轨迹增益KgKg,这种根轨迹习惯上称之为这种根轨迹习惯上称之为。绘制常规根轨迹的基本方法。绘制常规根轨迹的基本方法如下:如下:14 由于闭环特征根是实数或者共轭复数,因此根轨迹是由于闭环特征根是实数或者共轭复数,因此根轨迹是关于实轴对称的。利用这一性质,只要绘制出实轴上部关于实轴对称的。利用这一性质,只要绘制出实轴上部的根轨迹,实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。的根轨迹,实轴下部的根轨迹可由对称性绘出。n阶系统,其闭环特征方程有阶系统,其闭环特征方程有n个根。当个根。当Kg 从从0连续连续变化时,变化时,n个根将绘出个根将绘出有有n条轨迹分支。因此根轨
13、迹的条条轨迹分支。因此根轨迹的条数或分支数等于其闭环特征根的个数,即系统的阶数。数或分支数等于其闭环特征根的个数,即系统的阶数。15 j 0K=0K=0KK 0j 0j Kg Kg Kg 16 0 j 0 j-1-2 j117 根轨迹上根轨迹上的点为起点,的点为起点,时的点为终点。时的点为终点。njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1+G(s)H(s)=0证明:证明:当当 Kg=0 时,有时,有 s=pj (j=1,2,n)上式说明上式说明Kg=0时,闭环特征方程的根就是开环极点。时,闭环特征方程的根就是开环极点。18
14、当当 Kg 时,有时,有 s=zi (i=1,2,m)所以根轨迹必终止于开环零点。所以根轨迹必终止于开环零点。在实际系统中,开环传函中在实际系统中,开环传函中 m n,有,有m 条根轨迹终条根轨迹终点为开环零点处,另有点为开环零点处,另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处,条根轨迹的终点将在无穷远处,可以认为可以认为。0)()(111 njmiijgzspsK将特征方程改写为:将特征方程改写为:19 根据根据,当开环传递函数中,当开环传递函数中m 0Kg0否?否?)分分离点上根轨迹的分离角为离点上根轨迹的分离角为90。0j 如果方程的阶次高时,可用如果方程的阶次高时,可用试探法试探法确定分离点。
15、确定分离点。d1=0.472)5)(1()(sssKsGgkkd/180 29 例例4-34-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为)3)(2()1()(ssssKsG试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解:解:0j 213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd=2.5 左左=0.67 右右=0.4d=2.01 左左=0.99 右右=99.49d=2.25 左左=0.8 右右=3.11d=2.47 左左=0.68 右右=0.65d=2.4730 若根轨迹与虚轴相交(临界稳定状态),则交点上的坐标(若根轨迹与虚轴相交(临界稳定状态),则交点上的坐
16、标()可按下述两种方法求出:)可按下述两种方法求出:方法二:由劳斯稳定判据求出。方法二:由劳斯稳定判据求出。例例4-54-5 求例求例4-1系统的根轨迹与系统的根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标。平面虚轴的交点的交点坐标。解:解:0)5)(1(1)()(1)(sssKsHsGsDg方法一:方法一:s3+6s 2+5s +Kg=0令令s=j,则,则 (j)3+6(j)2+5(j)+Kg=031 3+5=0 62+Kg=05,0 Kg=0(),Kg=30方法二:方法二:s3+6s 2+5s +Kg=0劳斯表为劳斯表为s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 当当Kg=30时,时
17、,s1行全零,劳斯表第一列不变号,系统行全零,劳斯表第一列不变号,系统存在共轭虚根。共轭虚根可由存在共轭虚根。共轭虚根可由s2行的辅助方程求出:行的辅助方程求出:6s 2+Kg=05js (j)3+6(j)2+5(j)+Kg=032 0 j d=0.472 Kg=305jKg Kg Kg j2.24 Kg=30)5)(1()(sssKsGgk33 根轨迹离开根轨迹离开处的切线与正实轴方向的夹角,称为出处的切线与正实轴方向的夹角,称为出射角射角(起始角起始角),用,用 nxjjjxmiixpppzpx,11)()(180 mxiiixnjjxzzzpzx,11)()(180 xp xz 根轨迹进
18、入根轨迹进入处的切线与正实轴方向的夹角,称为入处的切线与正实轴方向的夹角,称为入射角射角(终止角终止角),用,用 表示;表示;求出这些角度可按如下关系求出这些角度可按如下关系表示。表示。证明:设开环系统有一对共轭复数极点证明:设开环系统有一对共轭复数极点px,x+1。在十分靠近待。在十分靠近待求起始角的复数极点求起始角的复数极点px 的根轨迹上取一点的根轨迹上取一点s1。pxpx 1zxzx 134pxPx+1 j 0s1xp 由于由于s1无限接近无限接近 px,因此,因此,除除px 外,所有其它开环零、极点外,所有其它开环零、极点到到s1点的向量幅角,都可以用它们点的向量幅角,都可以用它们到
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