第4章-稳定性与李亚普诺方法课件.ppt

1、第第4章章 稳定性与李亚普诺夫方法稳定性与李亚普诺夫方法4.1 4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义李亚普诺夫关于稳定性的定义4.2 4.2 李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法(间接法间接法)4.3 4.3 李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法(直接法直接法)4.4 4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中李亚普诺夫方法在线性系统中的应用的应用4.5 4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用中的应用(自学自学)本章主要学习和掌握内容：本章主要学习和掌握内容：1、系统稳定性的一般定义；、系统稳定性的一般定义；2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方法方法

2、:第一法第一法(间接法间接法)和和第二法第二法(直接直接法法)；3、李亚普诺夫方程及其在线性系统稳、李亚普诺夫方程及其在线性系统稳定性判断中的应用定性判断中的应用n系统的稳定性：系统受到外界扰动后偏离系统的稳定性：系统受到外界扰动后偏离原平衡状态，在扰动消失后系统回到原平原平衡状态，在扰动消失后系统回到原平衡状态的能力衡状态的能力。它也即是系统的自由运动。它也即是系统的自由运动是否能够回到平衡状态的能力。是否能够回到平衡状态的能力。lRouth判据，判据，Hurwity判据，判据，Nyquist判据：基判据：基于系统特征根的分布；适用于单入单出线性定于系统特征根的分布；适用于单入单出线性定常系

3、统常系统l李亚普诺夫第一方法、第二方法：前者通过特李亚普诺夫第一方法、第二方法：前者通过特征根分布判断稳定性；后者适用于任何系统的征根分布判断稳定性；后者适用于任何系统的稳定性分析，并可用于评估系统瞬态响应质量稳定性分析，并可用于评估系统瞬态响应质量以及求解参数最优化问题以及求解参数最优化问题4.1 4.1 李亚普诺夫关于李亚普诺夫关于稳定性的稳定性的定义定义主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和掌握系统的平衡状态的概念；、学习和掌握系统的平衡状态的概念；2、学习和理解李亚普诺夫关于系统稳定性的、学习和理解李亚普诺夫关于系统稳定性的一般定义。一般定义。l线性系统的稳定性只决定于系统

4、的结构及参数，线性系统的稳定性只决定于系统的结构及参数，与系统初始条件及外界扰动大小无关；而非线与系统初始条件及外界扰动大小无关；而非线性系统的稳定性还与初始条件及外界扰动大小性系统的稳定性还与初始条件及外界扰动大小有关。有关。l李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定李亚普诺夫给出了适用于任何系统的关于稳定性的一般定义。性的一般定义。则为定常非线性系统显含若不线性函数的函数，通常为时变非和时间分量的各同维的向量函数，是为与维状态向量，为式中，为：阶系统的齐次状态方程)t t(t t)f f(x x,x x 设设n n txxxxxfnxn,.,21一、系统的运动轨迹及平衡状态一、系统的运动轨

5、迹及平衡状态或或平平衡衡点点。平平衡衡状状态态的的系系统统为为则则称称x x，0 0t t),方方程程f f(x x使使得得状状态态x x状状态态向向量量若若存存在在 e ee ee e。或状态轨线或状态轨迹简称为系统的运动轨迹迹，出发的一条状态运动轨件维状态空间中从初始条在描述了系统为初始状态。系统的解其中，：方程有设在)()x x,(t tx x(t t)t t,x x;(t tx x)t t,x x(t t;x x(t t)唯唯一一解解)下下有有x x,初初始始条条件件(t t 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0n。个个，即系统存在无穷多向量的状态，则满足；若，

6、且的状态向量为，则易知满足，若平平衡衡状状态态有有无无穷穷多多0 0A Ax xA A奇奇异异为为唯唯一一平平衡衡状状态态0 0 x x0 0A Ax xx xA A非非奇奇异异A Ax xx x 例例1 1.e e。平衡状态平衡状态统的统的这三个状态向量均为系这三个状态向量均为系1 10 0 x x,1 10 0 x x,0 00 0 x x，解之得，解之得0 0 x x令令;x xx xx xx xx xx x例2.例2.e3e3e2e2e1e13 32 22 21 12 21 11 1研究。，因而必须分别讨论和的下可能表现出，系统在存在，对于；，因此可笼统讲阵为非奇异时在的。都是针对注意

7、：系统的稳稳定定性性不不同同状状态态不不同同平平衡衡多多个个平平衡衡状状态态可可能能非非线线性性系系统统系系统统稳稳定定性性只只有有一一个个平平衡衡状状态态A A线线性性系系统统平平衡衡状状态态而而言言稳稳定定性性 标标原原点点处处的的稳稳定定性性。从从而而转转为为研研究究系系统统在在坐坐处处，0 0 x x标标原原点点将将该该平平衡衡状状态态平平移移到到坐坐通通常常可可以以通通过过坐坐标标变变换换态态不不在在原原点点，稳稳定定性性时时，若若该该平平衡衡状状在在研研究究某某个个平平衡衡状状态态的的 e e的的计计算算为为：x xx x范范数数状状态态空空间间，欧欧几几里里德德维维；对对于于距距

8、离离间间x x与与x x状状态态向向量量表表示示x xx x范范数数用用欧欧几几里里德德 e ee ee en二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义的的。有有界界是是自自由由响响应应的的或或短短暂暂扰扰动动引引起起t t 由由初初态态x xf f x x,x x系系统统：即即，x x)t t,x x(t t;则则，t tt t，s s()t t,x x(t t;解解的的)为为初初始始时时刻刻(t t为为初初态态x x以以t t f f x x,x x系系统统(3 3)若若。x xx x则则，s s()x x，且且系系统统初初态态s s()有有另另一一邻邻域域(2

9、2)若若x x。的的邻邻域域称称s s()为为x x，当当很很小小时时。x xx x则则，s s()若若x x；为为半半径径的的超超球球体体、为为中中心心x x以以示示(1 1)点点集集s s()表表0 0e e0 00 00 00 00 00 00 0e e0 00 0e ee ee ee ex xx x2222211)(.)()(neneexxxxxxx xx xe e。,.,x x,.,x x其其中中状状态态向向量量T Tn ne e2 2e e1 1e ee eT Tn n2 21 1xxxxxx下下四四种种稳稳定定性性：由由响响应应是是否否有有界界定定义义如如李李亚亚普普诺诺夫夫根根

10、据据系系统统自自的的。一一致致稳稳定定是是x x平平衡衡状状态态称称，无无关关若若与与t t的的。意意义义下下稳稳定定普普诺诺夫夫亚亚李李是是x x平平衡衡状状态态称称，t tt t，x x)t t,x x(t t;出出发发的的解解均均满满足足从从任任意意初初态态x x，)时时t t(,x xx x使使得得当当，)t t,存存在在另另一一正正实实数数(，数数若若系系统统对对任任意意选选定定正正实实 )简简称称稳稳定定普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定(亚亚1 1.李李e e0 0e e0 0e e0 00 00 00 0e e0 00 0 x x。，即即系系统统自自由由响响应应有有界界s s()

11、超超出出内内出出发发的的状状态态轨轨线线均均不不s s()无无限限增增长长时时，从从t t，当当s s()，必必存存在在一一个个s s()即即：对对于于任任意意 。渐渐近近稳稳定定称称x x，且且最最终终收收敛敛于于x x，)态态轨轨迹迹不不仅仅不不超超出出s s(状状，且且当当t t无无限限增增长长时时的的，稳稳定定是是x x：若若平平衡衡状状态态2 2.渐渐近近稳稳定定e ee ee e。不不稳稳定定x x平平衡衡状状态态称称，有有一一条条越越出出s s()至至少少，出出发发的的状状态态轨轨线线内内由由s s()，不不管管多多小小，0 00 0和和对对 4 4.不不稳稳定定e e。称称大大

12、范范围围渐渐近近稳稳定定则则x x，渐渐近近稳稳定定初初始始状状态态出出发发的的轨轨迹迹都都意意任任且且从从状状态态空空间间中中，渐渐近近稳稳定定x x：平平衡衡状状态态3 3.大大范范围围渐渐近近稳稳定定e ee e近近稳稳定定。不不大大，常常称称为为小小范范围围渐渐渐渐近近稳稳定定的的球球域域x x通通常常使使为为性性系系统统：大大范范围围渐渐近近稳稳定定；非非线线：渐渐近近稳稳定定非非奇奇异异系系统统衡衡状状态态。线线性性条条件件是是系系统统只只有有一一个个平平大大范范围围渐渐近近稳稳定定的的必必要要 e e)()(sA关于稳定性关于稳定性定义定义的小结的小结l李亚普诺夫关于稳定性的定义

13、中，超球域李亚普诺夫关于稳定性的定义中，超球域s()限制限制着初始状态着初始状态x0的范围的范围(出发区域出发区域)，超球域，超球域s()规定规定了系统自由响应了系统自由响应x(t)的边界的边界(到达区域到达区域)。因此，稳定。因此，稳定性定义可概括为：性定义可概括为：n若响应若响应x(t)有界，则称有界，则称平衡状态平衡状态xe稳定稳定(李亚普诺李亚普诺夫意义下稳定夫意义下稳定)；n若响应若响应x(t)有界且可收敛于有界且可收敛于xe，则称，则称xe渐近稳定渐近稳定；n若响应若响应x(t)有界且收敛于有界且收敛于xe，且出发域，且出发域s()无限制无限制(即为整个状态空间即为整个状态空间)，

14、则称，则称xe大范围渐近稳定大范围渐近稳定;n若响应若响应x(t)无界，则称无界，则称xe不稳定不稳定。l经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定的系经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定的系统，满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统，满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称为临界稳定系统（工程上属于不稳定系统）。统称为临界稳定系统（工程上属于不稳定系统）。4.2 4.2 李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法(间接法间接法)主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统的状态稳定性与输出稳定性、学习和理解系统的状态稳定性与输出稳定性这两个概念。这两个概念。2、学习和掌握利

15、用李亚普诺夫第一方法判断线、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断线性系统和非线性系统的稳定性。性系统和非线性系统的稳定性。李亚普诺夫第一方法在本质上是通过求系统的特李亚普诺夫第一方法在本质上是通过求系统的特征值征值(反映系统解反映系统解)来判别系统状态的稳定性：来判别系统状态的稳定性：l所有特征值均有负实部：系统状态渐近稳定；所有特征值均有负实部：系统状态渐近稳定；l存在正实部特征值：系统状态不稳定；存在正实部特征值：系统状态不稳定；l无正实部但有零实部：李亚普诺夫意义稳定。无正实部但有零实部：李亚普诺夫意义稳定。输出稳定性，系统)稳定(稳定(称系统输出称系统输出输出y也有界输出y也有界对于有

16、界输入u引起的对于有界输入u引起的若若1 1s s1 11 1)1 1)(s s(s s1 1-s sb bA A)c c(s sW W(s s)1 1I。，内渐近；系统部稳定性)部稳定性)负实部(状态稳定性负实部(状态稳定性A的所有特征值均具有A的所有特征值均具有稳定的充要条件是稳定的充要条件是0 0 x xcxcxy ybubuAxAxx x:c)c)b,b,(A,(A,e e0 01 1c c1 11 1b b1 10 00 01 1A A1 1.例例4 4，一、线性系统的稳定性判据一、线性系统的稳定性判据(李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法)。系统输出稳定系统输出稳定，极点在左半s平

17、面极点在左半s平面，即为原点。个平衡状态非奇异，故系统只有一由exA A。的的所有：左半平面左半平面极点均位于s极点均位于s函数W(s)函数W(s)件是传递件是传递c)输出稳定的充要条c)输出稳定的充要条b,b,(A,(A,输出稳定判据输出稳定判据。渐近，故平衡，因稳稳定定状状态态不不为为正正特特征征值值有有一一1 11 12 21 1例例4-1 Matlab4-1 Matlab仿真结果仿真结果12211xyuxxuxx图中红色圆点为初始状态图中红色圆点为初始状态l上例中，状态不渐近稳定，但系统输出稳定：上例中，状态不渐近稳定，但系统输出稳定：状态不稳定是因为正特征值的影响，而输出稳状态不稳定

18、是因为正特征值的影响，而输出稳定则是因为传递函数中正特征值被零点对消，定则是因为传递函数中正特征值被零点对消，使得传递函数中不存在使得传递函数中不存在s右半平面极点。右半平面极点。l推论推论(状态稳定性与输出稳定性之间的关系状态稳定性与输出稳定性之间的关系)：如果系统的传递函数不存在零极相消，系统如果系统的传递函数不存在零极相消，系统状态稳定性与输出稳定性一致。状态稳定性与输出稳定性一致。若系统状态渐近稳定，必输出稳定；若系统状态渐近稳定，必输出稳定；单输入单输出系统，若输出稳定且系统能控单输入单输出系统，若输出稳定且系统能控能观，则系统渐近稳定。能观，则系统渐近稳定。二、非线性系统稳定性二、

19、非线性系统稳定性(李亚普诺夫第一方法李亚普诺夫第一方法);x xf fx xf fx xf fx xf fx xf fx xf fx xf fx xf fx xf fx xf fn nn n2 2n n1 1n nn n2 22 22 21 12 2n n1 12 21 11 11 1T T得得邻邻域域内内按按泰泰勒勒级级数数展展开开x x在在t t)f f(x x,将将向向量量函函数数 处处作作近近似似线线性性化化。x x性性系系统统在在处处的的稳稳定定性性：先先将将非非线线x x系系统统在在；讨讨论论平平衡衡状状态态系系统统的的为为x x，设设t t)对对x x有有连连续续偏偏导导数数f

20、f(x x,x x e ee ee ee e。x xf f式式中中A AA Ax xx x ：线线性性化化方方程程近近似似得得，忽忽略略高高阶阶导导数数项项，x x-x xx x令令e ex xx xT Te e；R R(x x)x x(x xx xf ft t),f f(x xt t)f f(x x,x xe ex xT Te ee e为为雅雅可可比比矩矩阵阵：x xf f项项，为为展展开开式式中中的的高高阶阶导导数数R R(x x)，式式中中T T;f ff ff fn n2 21 1),(txf将原非线性系统近似线性化为线性系统后：如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负实部，则原非线性系

21、统在平衡状态xe处是渐近稳定的，系统稳定性与高阶导数项R(x)无关；如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态xe处是不稳定的；如果A的特征值至少有一个的实部为零，则系统处于临界情况，原非线性系统在平衡状态xe处的稳定性取决于高阶导数项R(x)，不能由A的特征值符号决定。e ex xx xT Te ex xf f式式中中A A，A Ax xx x :线线性性化化近近似似t t)f f(x x,x x，可可将将原原非非线线性性方方程程x x-x xx x令令。不不稳稳定定处处x x在在系系统统；原原非非线线性性1 1，1 1特特征征值值：0 01 1)1 1)(1 10 00

22、01 1A A特特征征方方程程：e e1 12 21 1I;x xx xx xx xx xx xx xx x2 2.例例4 42 21 12 22 22 21 11 11 11 1)x x1 1(x xf f0 0;)x x(0 0 x xf f0 0;)x x(0 0 x xf f1 1;)x x(1 1x xf f0 0 x x0 0 x x1 1x x2 22 20 0 x x0 0 x x2 2x x1 12 20 0 x x0 0 x x1 1x x2 21 10 0 x x0 0 x x2 2x x1 11 12 21 1e e1 12 21 1e e1 12 21 1e e1 1

23、2 21 1e e1 11 10 00 01 1x xf fx xf fx xf fx xf f2 22 21 12 22 21 11 11 11exA(1)先考察系统在先考察系统在xe1处的稳定性：处的稳定性：:平平衡衡状状态态系系统统有有2 2个个1 11 1x x;0 00 0 x xe e2 2e e1 1别讨论其稳定性，需分该例例4-2 Matlab仿真结果仿真结果12 21 12 22 22 21 11 11 1x xx xx xx xx xx xx xx x图中红色圆点为初始状态图中红色圆点为初始状态。处原非线性系统在由特征值，式中的高阶导数项稳定性取决于泰勒展开，特征值，特征值

24、：特征方程：的稳定性的稳定性x x判别判别不能不能R(x)R(x)系统系统实部为0实部为0j j 0 01 11 11 1A A e2e21,21,22 2I0 0)x x1 1(x xf f1 1;)x x(0 0 x xf f1 1;)x x(0 0 x xf f0 0;)x x(1 1x xf f1 1x x1 1x x1 1x x2 22 21 1x x1 1x x2 2x x1 12 21 1x x1 1x x1 1x x2 21 11 1x x1 1x x2 2x x1 11 12 21 1e e2 22 21 1e e2 22 21 1e e2 22 21 1e e2 2:别别讨

25、讨论论其其稳稳定定性性，需需分分平平衡衡状状态态非非线线性性系系统统有有2 2个个1 11 1x x;0 00 0 x x;x xx xx xx xx xx xx xx x.)续续(2 2例例4 4e e2 2e e1 12 21 12 22 22 21 11 11 1(2)再考察系统在再考察系统在xe2处的稳定性：处的稳定性：0 01 11 10 0 x xf fx xf fx xf fx xf f2 22 21 12 22 21 11 11 12exA例例4-2 Matlab仿真结果仿真结果22 21 12 22 22 21 11 11 1x xx xx xx xx xx xx xx x图

26、中红色圆点为起始位置图中红色圆点为起始位置关于李亚普诺夫第一方法的小结关于李亚普诺夫第一方法的小结l对于线性系统，可直接求取系统的特征值，并通过对于线性系统，可直接求取系统的特征值，并通过特征值实部的符号判断系统在平衡状态处的稳定性特征值实部的符号判断系统在平衡状态处的稳定性(状态稳定性状态稳定性)；可通过系统传递函数的极点的实部；可通过系统传递函数的极点的实部的符号判断系统的输出稳定性。的符号判断系统的输出稳定性。l对非线性系统，需要先对系统在平衡状态处作近似对非线性系统，需要先对系统在平衡状态处作近似线性化，根据线性化的状态方程求其特征值，并根线性化，根据线性化的状态方程求其特征值，并根据

27、特征值的实部符号情况判断原非线性系统在平衡据特征值的实部符号情况判断原非线性系统在平衡状态处的稳定性。状态处的稳定性。4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法(直接法直接法)主要学习和掌握内容：主要学习和掌握内容：1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以及标量函数符号性质的概念；及标量函数符号性质的概念；2、学习和理解实对称矩阵符号性质的概念；、学习和理解实对称矩阵符号性质的概念；学习和掌握利用学习和掌握利用Sylvester判据判别实对称矩阵判据判别实对称矩阵符号性质的方法；符号性质的方法；3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据学习和掌握李

28、亚普诺夫关于稳定性的判据以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性的方法的方法。一、预备知识一、预备知识：标量函数；标量函数、矩阵符号性质：标量函数；标量函数、矩阵符号性质1.标量函数及其符号性质：标量函数及其符号性质：。，非零，而对于另一些，对于某些非零则则称称V V(x x)不不定定0 0V V(x x)x x0 0V V(x x)x x(5 5)，即：，x x量量x x定定义义的的标标量量函函数数设设V V(x x)为为由由n n维维向向 ；则则称称V V(x x)半半正正定定，0 0(2 2)V V(x x)；则则称称V V(x x)负负定定，0

29、0(3 3)V V(x x)；则则称称V V(x x)半半负负定定，0 0(4 4)V V(x x)；则则称称V V(x x)正正定定，0 0(1 1)V V(x x);,.,()(,),.,(2121nTnxxxfxVxxxx x标标量量函函数数符符号号性性质质，若：中所有非零向量；对于域处x x0 0V V(x x)0 0在在x x。，为，有：所以对于所有非零；，；，；易知：半半正正定定0 0V V(x x)x x0 0有有V V(x x)而而对对其其它它x x0 0有有V V(x x)0 0 x xx x0 0和和对对于于x x0 0V V(0 0)2 21 13 3。，为，所以，对于所

30、有非零；，；，；易知：半半正正定定0 0V V(x x)x x0 0有有V V(x x)而而对对其其它它x x0 0有有V V(x x)x x和和非非零零x x0 0对对于于x x0 0V V(0 0)2 21 13 3；2 22 22 21 1x xx x(3 3)设设V V(x x)。，V V(x x)不不定定x xx x(5 5)V V(x x)2 21 1；，；，负负定定0 0)2 2x x(x x(2 2)V V(x x)正正定定0 02 2x xx x(1 1)V V(x x)2 22 22 21 12 22 22 21 1；，；，半半负负定定0 0)x x(x x(4 4)V V

31、(x x)半半正正定定0 0)x x(x x(3 3)V V(x x)2 22 21 12 22 21 1；2 23 32 22 21 1x x)x x(x x(2 2)V V(x x),x xx xx xx x3 3例例4 43 32 21 1：,x xx xx x例例2 21 1：；正定2 23 32 22 22 21 1x xx xx x(1 1)V V(x x)ninjjiijxxpppppppppp1 11 1n n2 21 1n nn nn n2 2n n1 12 2n n2 22 22 21 11 1n n1 12 21 11 1n n2 21 1T Tx xx xx xx xx

32、 xx xP Px xx xV V(x x)2 2.二二次次型型标标量量函函数数n n2 21 1x xx xx xx x式中式中P P为实数矩阵；若为实数矩阵；若P P的元素满足的元素满足p pij=p=pji，则，则P P为为实对称阵实对称阵。2 23 33 31 12 22 22 21 12 21 1T Tx xx x4 4x xx xx x2 2x xx xP Px xx xV V(x x)例：阵必唯一。则则P P若若P P为为实实对对称称阵阵，(2 2)。P Px x的的P P阵阵x x，则则满满足足V V(x x)(1 1)若若P P为为实实数数矩矩阵阵T T不唯一若若V(xV(x

33、)可写为如下形式，则称为可写为如下形式，则称为二次型标量函数二次型标量函数：3 32 21 13 32 21 1x xx xx x1 10 02 20 01 11 12 21 11 1x xx xx xV V(x x)上例：4 43 33 34 44 42 22 24 43 32 22 23 34 41 11 14 43 31 11 13 32 21 11 12 22 24 44 44 42 23 33 33 32 22 22 22 22 21 11 11 1T Tx xx x2 2p px xx x2 2p px xx x2 2p px xx x2 2p px xx x2 2p px xx

34、x2 2p px xp px xp px xp px xp pP Px xx xx x为为四四维维时时：2 21 112122 22 222222 21 11111T Tx xx x2p2px xp px xp pPxPxx x维时维时x x：为二3 32 223233 31 113132 21 112122 23 333332 22 222222 21 11111T Tx xx x2p2px xx x2p2px xx x2p2px xp px xp px xp pPxPxx xx为三维时x为三维时：2 22 21 12 21 12 21 11 1p pp pp pp pP P3 33 32

35、23 31 13 32 23 32 22 21 12 21 13 31 12 21 11 1p pp pp pp pp pp pp pp pp pP P？写出实对称阵如何根据P PP Px xx xV V(x x)二二次次型型标标量量函函数数T T4 44 43 34 42 24 41 14 43 34 43 33 32 23 31 13 32 24 42 23 32 22 21 12 21 14 41 13 31 12 21 11 1p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pP Pninjjiijxxp1 11 1T TP Px xx x

36、V V(x x)jixxxVpppxxVpPjijiijiiiii，的系数的中为主对角线上元素的系数，中的中的元素实对称阵1 1/2 22 2)()(;x xx x0 00 0 x xx xP Px x x xP PT TT Tx xx xP PT TT Tx x)x xP P(T T)x x(T TP Px xx xV V(x x)n n1 1i i2 2i ii in n1 1T TT T1 1T TT TT TT TT T。均均大大于于零零的的所所有有特特征征值值P P实实对对称称阵阵件件是是V V(x x)正正定定的的充充要要条条推推论论：二二次次型型函函数数i化化为为：V V(x x

37、)，将将标标量量函函数数x xT Tx x变变换换，通通过过非非奇奇异异)T TT T(即即T T矩矩阵阵必必存存在在正正交交，P Px xx xV V(x x)二二次次型型标标量量函函数数对对于于则则，)p p若若P P为为实实数数对对称称阵阵(p p T T1 1-T Tjiij上式称为上式称为二次型标量函数的标准型二次型标量函数的标准型，它只包含变量，它只包含变量xi的的平方项，其中平方项，其中i 为矩阵为矩阵P P的特征值的特征值(可能为重根）。可能为重根）。0 0所所有有特特征征值值V V(x x)负定P P；p pp pp pp pp pp pp pp pp p；p pp pp p

38、p p；p pn n3 33 32 23 31 13 32 23 32 22 21 12 21 13 31 12 21 11 13 32 22 21 12 21 12 21 11 12 21 11 11 10 0.P P为为记记，P P半半负负定定称称则则，V V(x x)半半负负定定若若 (4 4)0 0;P P为为记记，P P半半正正定定称称则则，V V(x x)半半正正定定若若 (3 3);p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pP Pn nn n2 2n n1 1n n2 2n n2 22 21 12 21 1n n1

39、 12 21 11 1n nn nn n2 2n n1 12 2n n2 22 22 21 11 1n n1 12 21 11 1n n),1 1,2 2,(i i行行列列式式其其各各阶阶主主子子i i为的式记，则则，即即有有P P为为实实对对称称阵阵因因jiijpp：所决定的二次型，为设函函数数P Px x为为P Px xV V(x x)n n实实对对称称阵阵n nP PT T0 0;P P为为记记，P P负负定定称称则则，V V(x x)负负定定若若 (2 2)0 0;P P为为记记，P P正正定定称称则则，V V(x x)正正定定若若 (1 1)矩阵矩阵P P的符号的符号性质定义：性质定

40、义：矩阵矩阵P P的符号性质和的符号性质和其决定的二次型函其决定的二次型函数数V(xV(x)的符号一致的符号一致0 0其特征值均其特征值均则P半负定则P半负定 n n0 0)2,4,2,4,为偶数(i为偶数(i0 0)1,3,1,3,为奇数(i为奇数(i0 0(4)若(4)若：，iiii征征值值均均大大于于0 0n n)，则则P P正正定定：其其特特,1 1,2 2,0 0(1 1)若若ii其其特特征征值值均均小小于于0 0则则P P负负定定为为偶偶数数0 0为为奇奇数数0 0(3 3)若若：，iii0 0其其特特征征值值均均则则P P半半正正定定n n0 01 1n n,1 1,2 2,0

41、0(2 2)若若：，iii的的符符号号性性质质P P用用于于判判断断矩矩阵阵:判判据据)希希尔尔维维斯斯特特S Sy yl lv ve es st te er r(式式n n)为为其其各各阶阶主主子子行行列列,1 1,2 2,(i i，p pp p，设设P P为为实实对对称称阵阵i ij ji ii ij j。其其特特征征值值既既有有正正也也有有负负，则则P P不不定定，行行列列式式一一正正一一负负主主子子的的或或有有两两个个奇奇数数阶阶，0 0主主子子行行列列式式(6 6)若若有有一一个个偶偶数数阶阶，则则为为半半负负定定。0 0均均值值，则则为为半半正正定定；若若特特征征0 0征征值值均均

42、由由其其特特征征值值决决定定：若若特特定定，可可能能半半正正定定也也可可能能半半负负P P，则则0 0各各阶阶主主子子行行列列式式均均为为(5 5)若若l李式第二方法特点：不求解微分方程的解(或系统特征值)，而借助一个构造的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状态稳定性进行判断。l基本原理：从能量观点出发，若系统状态可用于表征某能量函数V(x)，且V(x)随时间推移时的变化情况可分析，则可借此判断状态的变化：n若系统受激励后，其储存能量随时间衰减，意味着状态在收敛；在到达平衡状态时，能量衰减至最小。此时，平衡状态渐近稳定；n反之，若系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，意味状态发散，则平衡状态

43、不稳定;n若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量,即储能既不增也不减，则平衡状态就是李亚普诺夫意义稳定。性的结论：则有以下关于系统稳定；满足：；若为，x x均均有有连连续续一一阶阶偏偏导导数数(2 2)V V(x x)对对所所有有 (1 1)V V(x x)正正定定 标标量量函函数数V V(x x)且且存存在在0 0 x x平平衡衡状状态态f f(x x)x x设设系系统统状状态态方方程程 e e与李亚普诺夫第二方法有关的几个稳定判据与李亚普诺夫第二方法有关的几个稳定判据不不稳稳定定.x x系系统统的的平平衡衡状状态态则则，(x x)正正定定V V3 3.若若e e；李，为亚亚普普诺诺夫夫意意义

44、义稳稳定定则则x x半半负负定定d dt td dV V(x x)(x x)V V1 1.若若e e大大范范围围渐渐近近稳稳定定;则则x xV V(x x)x x且且稳稳定定若若x x渐渐近近稳稳定定则则x x0 0不不恒恒(x x)V V0 0)x x(t t但但对对半半负负定定(x x)V V或或(x x)负负定定V V2 2.若若e ee ee e0 0，时，当，近渐。，为沿任一连续轨迹而言任意初态，为；充分非必要条件！充分非必要条件！关于系统稳定性判据的两个补充结论关于系统稳定性判据的两个补充结论；特定曲面系统的运动轨迹为某个诺夫意义下处李亚普，则系统在平衡点恒为：补充结论)稳定(稳定

45、(x x0 0(x)(x)V V若若1 1e e；处不则系统在平衡点，为时在为半正定，且：补充结论稳稳定定x x0 0不不恒恒0 0 x x(x x)V V(x x)V V若若2 2e e。平衡状态，因此时，；又因为处，夫稳定性判据结论。因此，根据李亚普诺为容易判断大范围渐近稳定大范围渐近稳定x xV(x)V(x)x x渐近稳定渐近稳定0 0系统在x系统在x2 2负定负定(x)(x)V Ve ee e;)x x(x xx xx xx x)x x(x xx xx xx x4 4.例例4 42 22 22 21 12 21 12 22 22 22 21 11 12 21 12 22 22 22 2

46、1 12 22 22 21 12 21 12 22 22 22 21 11 12 21 12 22 21 11 12 22 21 11 1)x x2 2(x x)x x(x xx xx x2 2x x)x x(x xx x x x2 2x xx x2 2x xx x2 2x xd dt td dx xx xV Vd dt td dx xx xV V(x x)V V，满足前提。又：，且有一阶连续偏导数，对：，V V(x x)正正定定0 0)V V(x xx xV V(x x)显显然然x xx x选选V V(x x)e e2 22 22 21 1。系统，解得解：令唯唯一一平平衡衡状状态态0 0为为

47、x xe e 0)(xf结果同前.结果同前.负定;负定;，为，为)x x(x(xx xx xx x2x2x)x xx x)()(x x(x(x(x)(x)V V而而；正定正定，为，为x xx x1 11/21/21/21/23/23/2x xx x x x2x2x)x x(x(x2 21 1若选V(x)若选V(x)2 22 22 21 12 22 21 11 12 21 12 21 12 21 12 21 12 22 22 21 12 22 21 1x x1 11 11 10 0 x x5 5.例例4 4。且又唯一解，故为；又因系统为线性系统可知平衡点。根据稳定性判据结论则，即：若足处满在。表

48、明：易得：状态方程。由，则，要使分析：大大范范围围渐渐近近稳稳定定渐渐近近稳稳定定2 20 0(x x)V V0 0 x x0 0(x x)V V0 00 00 0 x xx xx x只只0 0 x xx xx xx x0 0 x x0 0 x x时时t t则则要要求求t t0 02 2x x(x x)V V若若2 21 11 12 21 12 22 22 20 02 22 2；为唯一为非奇异阵，因此解：平平衡衡状状态态0 0 x xA Ae e为半负定。，且：满足稳定性判据条件，易知函数(x x)V V 0 02 2x xx x2 2x xx x2 2x x(x x)V VV V(x x)x

49、 xx xV V(x x)选选正正定定2 22 22 22 21 11 12 22 22 21 10 0(x x)V V何时为分析稳稳定定性性分分析析如如右右图图所所示示系系统统的的6 6.例例4 4 x x0 01 1y yu u1 10 0 x x0 01 11 10 0 x x：一实现系统 0 0)x xx xx x2 2(x xx x2 2x xx x2 2x x(x x)V V x xx xV V(x x)正正定定0 0平平衡衡状状态态x x1 12 22 21 12 22 21 11 12 22 22 21 1e e，则：标量函数为；选择唯一，闭环传函j j闭闭环环极极点点:1 1

50、s s1 1(s s)2 2弦弦震震荡荡。系系统统，自自由由解解为为等等幅幅正正经经典典控控制制理理论论：不不稳稳定定故故为为稳稳定定。响响应应有有界界，为为半半径径的的圆圆，系系统统状状态态C C中中心心、轨轨迹迹是是一一系系列列以以原原点点为为统统运运动动的的相相C C(常常数数)，这这表表示示系系x xx x0 0可可知知：V V(x x)(x x)V V由由定定。为为李李亚亚普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳判判断断，x x0 0，根根据据补补充充结结论论1 1可可(x x)V V由由2 22 22 21 1e e例例4-6 Matlab仿真结果仿真结果图中红色圆点为初始状态图中红色圆点为初