现代控制理论第4章课件.ppt

1、 Lyapunov Lyapunov稳定性分析稳定性分析在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。种简单的情况。4.4 4.4 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析。稳定性分析。4.3 Lyapunov4.3 Lyapunov稳定性定理，非线性系统的稳定性分析。稳定性定理，非线性系统的稳定性分析。4.2 4.2 介绍介绍LyapunovLyapunov意义下的稳定性定义。意义下的稳定性定义。4.1 4.1 概述。概述。本章结构如下本章结构如下 线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性

2、线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。困难，甚至不可能。LyapunovLyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。定性问题的一般方法。4.1 4.1 概述概述),(txfx)(txexx)(txexx),(txfx 在这一历史性著作中在这一历史性著作中，LyapunovLyapunov研究了平衡状态及其稳定性、研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统运动及其稳定性、扰动方程的稳定

3、性，得到了系统 的的给定运动给定运动 (包括平衡状态包括平衡状态 )的稳定性，等的稳定性，等价于给定运动价于给定运动 (包括平衡状态包括平衡状态 )的扰动方程的扰动方程 之原点之原点(或零解或零解)的稳定性。的稳定性。一百多年以前一百多年以前(1892(1892年年)，伟大的俄国数学力学家亚历山大，伟大的俄国数学力学家亚历山大 米哈依诺维奇米哈依诺维奇李亚普诺夫李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)(1857-1918)(A.M.Lyapunov)(1857-1918)，以其，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性运动稳定性的一

4、般问题的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。第二法则是一种定性方法，第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分它无需求解困难的非线性微分方程，转而构造一个方程，转而构造一个LyapunovLyapunov函数，研究其正定性及其对时间函数，研究其正定性及其对时间沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。虽然在非线性系统的稳定性分析中，虽然在非线性系统的稳定性分析中

5、，LyapunovLyapunov稳定性理论稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。非常重要。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们一般我们所说的所说的LyapunovLyapunov方法就是指方法就是指LyapunovLyapunov第二法。第二法。在上述基础上，在上述基础上，LyapunovLyapunov提出了两类解决稳定性问题的方提出了两类解决

6、稳定性问题的方法，即法，即LyapunovLyapunov第一法和第一法和LyapunovLyapunov第二法。第二法。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统即通过分析非线性系统线性化线性化方程特征值分布来判别原非方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；线性系统的稳定性；对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Routh-HurwitzHurwitz稳定性判据

7、和稳定性判据和NyquistNyquist稳定性判据等可资利用。稳定性判据等可资利用。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。本节所要介绍的本节所要介绍的LyapunovLyapunov第二法（也称第二法（也称LyapunovLyapunov直接法）直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。然而，然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳如果系统是非线性的，或是线性时变的，则

8、上述稳定性判据就将不再适用。定性判据就将不再适用。4.2 Lyapunov4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题意义下的稳定性问题0),(txfeex则称则称 为系统的平衡状态或平衡点。为系统的平衡状态或平衡点。,对所有对所有t t(4.2)(4.2)在式在式(4.1)(4.1)的系统中，总存在的系统中，总存在),;(00txt 0tt 0 xx 0000),;(xtxt 假设假设在给定初始条件下，式在给定初始条件下，式(4.1)(4.1)有唯一解有唯一解 ，且当且当 时，时，。于是。于是xn),(txf1x2xnx式中式中 为为 维状态向量，维状态向量，是变量是变量 ,和和t t的的n

9、n维向量函数。维向量函数。),(txfx(4.1)(4.1)考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统4.2.1 4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点平衡状态、给定运动与扰动方程之原点当当A A为奇异矩阵时，为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。系统将存在无穷多个平衡状态。平衡状态的确定平衡状态的确定不包括式不包括式(4.1(4.1）的系统微分方程的解，只）的系统微分方程的解，只涉及式涉及式(4.2)(4.2)的解。的解。exx 对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有对应于系统的常值解（对所有t t，总

10、存在，总存在 ）。）。Axtxf),(0ex如果系统是线性定常的，也就是说如果系统是线性定常的，也就是说 ，则当则当A A为为非奇异矩阵时，非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态系统存在一个唯一的平衡状态 .任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动定运动 都可通过坐标变换，统一化为扰动方程都可通过坐标变换，统一化为扰动方程 之坐标原点，即之坐标原点，即 或或 。)(tx),(txfx 0),0(tf0ex这种所谓这种所谓“原点稳定性问题原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，由于使问题得到极大简化，又不会丧失一般性，从而为稳

11、定性理论的建立奠定了坚实又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是的基础，这是LyapunovLyapunov的一个重要贡献。的一个重要贡献。在本章中，除非特别申明，在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。处之平衡状态的稳定性问题。下面首先给出下面首先给出LyapunovLyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出必要的数学基础，以便在下一小节具体给出LyapunovLyapunov稳定性稳定性定理。定理。类似地，类似地，也可以相应定义

12、球域也可以相应定义球域 S S()和和 S S(）。）。0H2/12222211)()()(neneeexxxxxxxx其中，其中，为向量的为向量的2 2范数或欧几里德范数，即范数或欧几里德范数，即),(txfx 0),(txfe0exHxxe之平衡状态之平衡状态 的的H H邻域为邻域为定义定义4.14.1 设系统设系统4.2.2 Lyapunov4.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义意义下的稳定性定义(1)(1)如果对应于每一个如果对应于每一个 ，存在一个，存在一个 ，使得当，使得当t t 趋于趋于无穷时，始于无穷时，始于 S(S()的轨迹不脱离的轨迹不脱离 S(S()，则式则式(4

13、.1)(4.1)系统之平系统之平衡状态衡状态 称为在称为在LyapunovLyapunov意义下是稳定的。意义下是稳定的。)(S)(S0ex以上定义意味着：以上定义意味着：首先选择一个球域首先选择一个球域S(S()，对应于每一个，对应于每一个S(S()，必存在一个球域，必存在一个球域S(S()，使得当，使得当t t趋于无穷时，始于趋于无穷时，始于S(S()的轨迹总不脱离球域的轨迹总不脱离球域S(S(）。）。H0在在H H 邻域内，若对于任意给定的邻域内，若对于任意给定的 ，均有均有0ex 一般地，实数一般地，实数 与与 有关，通常也与有关，通常也与t t0 0有关。如果有关。如果 与与t t0

14、 0无无关，关，则称此时之平衡状态则称此时之平衡状态 为一致稳定的平衡状态。为一致稳定的平衡状态。(2)(2)如果平衡状态如果平衡状态 ，在，在LyapunovLyapunov意义下是稳定的，意义下是稳定的，并且始于域并且始于域S(S()的任一条轨迹，当时间的任一条轨迹，当时间t t 趋于无穷时，都不脱趋于无穷时，都不脱离离S(S()，且收敛于，且收敛于 ，则称式则称式(4.1)(4.1)系统之平衡状系统之平衡状 态态 为渐近稳定的，为渐近稳定的，其中球域其中球域S(S()被称为平衡状被称为平衡状 态态 的吸引域。的吸引域。0ex0ex0ex0ex 通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。

15、它是发生通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，换句话说，发生于吸引域内发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。的每一个轨迹都是渐近稳定的。实际上，渐近稳定性比实际上，渐近稳定性比LyapunovLyapunov意义下的稳定性更重要。意义下的稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。0ex类似地，类似地，如果如果 与与t t0 0无关，则称此时之平衡状态

16、无关，则称此时之平衡状态 为一致渐近稳定的。为一致渐近稳定的。(3)(3)对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态则平衡状态 称为大称为大范围渐近稳定。范围渐近稳定。0ex然而，然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性性。如果平衡状态不是

17、大范围渐近稳定的，那么问题就转化。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。显然，显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。一个平衡状态。0ex0ex或者说，或者说，如果式如果式(4.1)(4.1)系统之平衡状态系统之平衡状态 渐近稳定的吸渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 为为大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的。(4)(4)如果对于某个实数如果对于某个实数

18、00和任一个实数和任一个实数 00，不管这两个实，不管这两个实数多么小，在数多么小，在S S（）内总存在一个状态）内总存在一个状态 ，使得始于这一状，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开态的轨迹最终会脱离开S(S()，那么平衡状态那么平衡状态 称为不稳称为不稳定的定的。0 x0ex(5)LyapunovLyapunov意义下稳定性的几何意义意义下稳定性的几何意义图图4.1 4.1（a a）稳定平衡状态及一条典型轨迹）稳定平衡状态及一条典型轨迹;（b b）渐近稳定平衡）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹状态及一条典型轨迹;（c c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹）不稳定平衡状态及一条典型轨迹 图图4.1

19、4.1（a a）、）、(b)(b)和和(c)(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图在图4.1(a)4.1(a)、(b)(b)和和(c)(c)中，中，球域球域S S（）制约着初始状态）制约着初始状态 ，而球域，而球域S(S()是起始于是起始于 的轨的轨迹的边界。迹的边界。0 x0 x 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能这是因为轨迹还可能趋于在趋于在S(S(）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，

20、则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。性系统中，这一结论并不一定正确）。此外，此外，在图在图4.14.1（c c）中，轨迹离开了）中，轨迹离开了S(S(），这说明平衡状态），这说明平衡状态是不稳定的。是不稳定的。注意，注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非引域，因而除非S(S(）对应于整个状态平面，否则这些定义只）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。能应用于平衡状态的邻域。上述各定义的内容，对

21、于理解本章介绍的线性和非线性上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。系统的稳定性分析，是最低限度的要求。例如，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为是稳定在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为是稳定的系统，而仅在的系统，而仅在LyapunovLyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则被称之为不稳定系统。定的系统，则被称之为不稳定系统。两者的区别与联系如下两者的区别与联系如下表所示表所示 最后指出，最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与

22、与LyapunovLyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的。意义下的稳定性概念是有一定的区别的。对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定非线性系统，一般只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定.注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其它文献中还有另外的定义。实际上，在其它文献中还有另外的定义。表表4.1 4.1 线性系统稳定性概念与线性系统稳定性概念与LyapunovLyapunov意义下的稳定性概念意义下的稳

23、定性概念经典控制理论经典控制理论(线性系统线性系统)不稳定不稳定 (Re(s)0)(Re(s)0)临界情况临界情况 (Re(s)=0)(Re(s)=0)稳定稳定 (Re(s)0(Re(s)0)LyapunovLyapunov意义意义下下不稳定不稳定稳定稳定渐近稳定渐近稳定4.2.3 4.2.3 预备知识预备知识1.1.范数的概念范数的概念定义：n 维状态空间中，向量X 的长度称为向量X 的范数，用符号X表示，则有2232221nxxxxX21)(XXT向量的距离：n 维状态空间中，X-Xe 称为向量X 与Xe 的距离，表示为2222211)()()(enneeexxxxxxXX21)()(eT

24、eXXXX域：n 维状态空间中，当X-Xe 限定在某一范围之内时，即 ，记 为X-Xe 的一个域。0,eXX域的几何意义：表示为n 维状态空间中以 Xe为 为半径的一个球域，记为S()。例4.0：设有如下两个向量，分别求其相应的范数及向量的距离。TYX)5,0,2,3,0()5,3,1,2(TWZ)5,1,2,6,0()5,2,1,4(3953122222X解：385023022222Y5)55()23()11()42(2222ZX10)55()10()22()63()00(22222WY2 2、纯量函数的正定性、纯量函数的正定性 如果对所有在域如果对所有在域 中的非零状态中的非零状态 ，有，

25、有 ，且在且在 处有处有 ，则在域则在域（域（域 包含状态空间的原包含状态空间的原点）内的纯量函数点）内的纯量函数 称为正定函数。称为正定函数。0 x0)(xV0 x0)0(V)(xV),(txV则称时变函数则称时变函数 在域在域（包含状态空间原点）内是正包含状态空间原点）内是正定的。定的。),(txV)(xV)(),(xVtxV0tt 0),0(tV0tt 对所有对所有 ,对所有对所有 ,如果时变函数如果时变函数 由一个定常的正定函数作为下限，即存由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数在一个正定函数 ，使得，使得如果如果 -是正定函数，是正定函数，则纯量函数则纯量函数 称为负定函数

26、。称为负定函数。)(xV)(xV)(xV)(xV如果在域如果在域 内，不论域内，不论域 多么小，多么小，既可为正值，也可为既可为正值，也可为负值时，负值时，则纯量函数则纯量函数 称为不定的纯量函数。称为不定的纯量函数。6 6、纯量函数的不定性、纯量函数的不定性)(xV)(xV如果如果 -是正半定函数，是正半定函数，则纯量函数则纯量函数 称为负半定函数。称为负半定函数。5 5、纯量函数的负半定性、纯量函数的负半定性)(xV)(xV如果纯量函数如果纯量函数 除了原点以及某些状态等于零外，在域除了原点以及某些状态等于零外，在域 内的所有状态都是正定的，内的所有状态都是正定的，则则 称为正半定纯量函数

27、。称为正半定纯量函数。4 4、纯量函数的正半定形、纯量函数的正半定形3 3、纯量函数的负定性、纯量函数的负定性 例例4.14.1 本例给出按照以上分类的几种纯量函数，这里假设本例给出按照以上分类的几种纯量函数，这里假设x x为为二维向量。二维向量。22222112)(xxxxV正定的正定的5 52221)xxxxV（4 4不定的不定的22121)23()(xxxxV负定的负定的3 3221)()(xxxV2 2正半定的正半定的22212)(xxxV正定的正定的1 1 建立在建立在LyapunovLyapunov第二法基础上的稳定性分析中，有一类第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重

28、要的作用，即二次型函数。纯量函数起着很重要的作用，即二次型函数。xP注意，注意，这里的这里的 为实向量，为实向量，为实对称矩阵。为实对称矩阵。nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxPxxxV2121222121121121）（例如例如6 6、二次型、二次型2223223222211211221112222nnnnnnnTxpxxpxxpxpxxpxxpxpPxxxV）（nnnnnnnnHxxxpppppppppxxxPxxxV2121222121121121）（例如例如xnP如果如果 是是 维复向量，维复向量，为为HermiteHermite矩阵，则该复二次型函矩阵，则该复二次型函数

29、称为数称为HermiteHermite型函数。型函数。7 7、复二次型或、复二次型或HermiteHermite型型注意：),Im()Im(),Re()Re(xxxxxx的共轭向量，即为nixxxxiiii,2,1),Im()Im(),Re()Re(其中，或njnippppijijijij,2,1,2,1),Im()Im(),Re()Re(其中，且 在基于状态空间的稳定性分析中，经常使用在基于状态空间的稳定性分析中，经常使用HermiteHermite型，而不型，而不使用二次型，使用二次型，这是因为这是因为HermiteHermite型比二次型更具一般性（对于型比二次型更具一般性（对于实向量实

30、向量x x和实对称矩阵和实对称矩阵P P，HermiteHermite型型 等于二次等于二次型型 ）。）。PxxHPxxT)(xV二次型或者二次型或者HermiteHermite型型 的正定性可用的正定性可用赛尔维斯特准则赛尔维斯特准则判断。判断。)(xV该准则指出该准则指出:二次型或二次型或HermiteHermite型型 为正定的充要条件为正定的充要条件是矩阵是矩阵P P 的所有主子行列式均为正值的所有主子行列式均为正值，0,0,02122212112112212121111nnnnnnpppppppppppppp即即注意，注意，是是 的复共轭。对于实二次型，的复共轭。对于实二次型，。ij

31、ijpp ijpijpPxxxVH)(如果如果 P P 是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则则 是正半定的。是正半定的。)(xV)(xV)(xV)(xV如果如果 -是正定的，则是正定的，则 是负定的。同样，如果是负定的。同样，如果 -是正半定的，则是正半定的，则 是负半定的。是负半定的。313221232221422410)(xxxxxxxxxxV 例例4.2 4.2 试证明下列二次型是正定的。试证明下列二次型是正定的。313221232221422410)(xxxxxxxxxxV 解解 二次型二次型 可写为可写为)(xV3213211121412

32、110)(xxxxxxPxxxVT01121412110,041110,010利用赛尔维斯特准则，可得利用赛尔维斯特准则，可得)(xV因为矩阵因为矩阵P P的所有主子行列式均为正值，所以的所有主子行列式均为正值，所以 是正定的。是正定的。18921892年，年，A.M.LyapunovA.M.Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第二提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。尽管采用尽管采用LyapunovLyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时，需要第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相

33、当的经验和技巧，然而当其它方法无效时，这种方法却能相当的经验和技巧，然而当其它方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。解决非线性系统的稳定性问题。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，因此这种方法显示出极大的优越性。因此这种方法显示出极大的优越性。第二法也称为直接法。第二法也称为直接法。第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用LyapunovLyapunov第二第二法，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。法，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳

34、定性。4.3 Lyapunov4.3 Lyapunov稳定性理论稳定性理论第一法第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤，包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤，也称为间接法。也称为间接法。基本思路是：基本思路是：1 1）将非线性系统线性化，）将非线性系统线性化，2 2）计算线性化）计算线性化方程的特征值，方程的特征值，3 3）根据线性化方程的特征值判定原非线性）根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。系统的稳定性。)(if0ex将非线性函数将非线性函数 在平衡状态在平衡状态 处附近展成处附近展成TaylorTaylor级数，级数，),(),(212211021tx

35、xxfxxfxxfxxfftxxxfninniiiini则有则有nitxxxfxnii,2,1),(21或写成或写成),(txfx 0),(txfe设非线性系统的状态方程为设非线性系统的状态方程为4.3.1 Lyapunov4.3.1 Lyapunov第一法第一法 式中式中 为常数，为常数，(i,j=1,2,)i,j=1,2,)为一次项系数，为一次项系数，且且 为余数，即所有高次项之和。为余数，即所有高次项之和。0ifjixf),(21txxxfninnnnnnnnTxfxfxfxfxfxfxfxfxfxtxfA212221212111),(为为JacobianJacobian矩阵。矩阵。其中

36、其中0),0,0,0(0iiftfAxx 由于由于 ，故线性化方程为，故线性化方程为 然而这样做是否正确？然而这样做是否正确？我们知道，线性我们知道，线性(化化)系统与非线系统与非线性系统具有根本的区别，如非线性系统才会出现自振、突变性系统具有根本的区别，如非线性系统才会出现自振、突变、自组织、混沌等，因此一般说来，关于线性化系统的解和、自组织、混沌等，因此一般说来，关于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。线性化方程线性化方程(忽略高阶小量忽略高阶小量)，是一种十分重要且广泛使用，是一种十分重要且广泛使用的近似分析方法。的近似分析方法

37、。0ex 现在我们把问题的范围缩小，只考虑现在我们把问题的范围缩小，只考虑 的稳定性的稳定性问题，并提出在什么条件下，可用线性化系统代替原非线问题，并提出在什么条件下，可用线性化系统代替原非线性系统？性系统？注意：注意：在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非在工程技术中，很多系统实质上都是非线性的，而非线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化系统近似它。线性系统求解十分困难，所以经常使用线性化系统近似它。定理定理4.1(Lyapunov)4.1(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵如果线性化系统的系统矩阵A A的的所有特所有特征值征值都具有都具有负实部负实部，则原非线性系统的平衡

38、状态，则原非线性系统的平衡状态 总是总是渐近稳定渐近稳定的，而且系统的稳定性的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关与高阶导数项无关。0exLyapunovLyapunov证明了三个定理，给出了明确的结论。证明了三个定理，给出了明确的结论。应该指出应该指出，这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的理论与实际意义。理论与实际意义。0ex定理定理4.2(Lyapunov)4.2(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵如果线性化系统的系统矩阵A A的特征的特征值中，值中，至少有一个至少有一个具有具有正实部正实部，则不论高阶导数项的情况，则不

39、论高阶导数项的情况如何，原非线性系统的平衡状态如何，原非线性系统的平衡状态 是是不稳定不稳定的。的。定理定理4.3(Lyapunov)4.3(Lyapunov)如果线性化系统的系统矩阵如果线性化系统的系统矩阵A A有实部为零有实部为零的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原的特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下，原非线性系统平衡状态非线性系统平衡状态 的稳定性决定于高阶导数项，即的稳定性决定于高阶导数项，即可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原可能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征原非线性系统的稳定性了。非线性系统的稳定性了。0ex0ex

40、上述定理为上述定理为“线性化线性化”提供了重要的理论基础，提供了重要的理论基础，即对任一非即对任一非线性系统，若其线性化系统关于平衡状态线性系统，若其线性化系统关于平衡状态 渐近稳定渐近稳定或不稳定，则原非线性系统也有同样的结论。或不稳定，则原非线性系统也有同样的结论。但对临界情况但对临界情况，则必需考虑高阶导数项。，则必需考虑高阶导数项。上述三个定理也称为上述三个定理也称为LyapunovLyapunov第一近似定理。第一近似定理。LyapunovLyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如果即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到

41、平衡状态的系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个定义竟还没有一个定义“能量函数能量函数”的简便方法。的简便方法。4.3.2 Lyapunov4.3.2 Lyapunov第二法第二法为了克服这个困难，为了克服这个困难，LyapunovLyapunov定义了一个虚构的能量函数，定义了一个虚构的能量函数，称为称为LyapunovLyapunov函数。函数。当然，这个函数

42、无疑比能量更为一般，当然，这个函数无疑比能量更为一般，且其应用也更广泛。且其应用也更广泛。由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为（正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。实际上，实际上，任一纯量函数只要满足任一纯量函数只要满足LyapunovLyapunov稳定性定理（见稳定性定理（见定理定理4.44.4和和4.54.5）的假设条件，都可作为）的假设条件，都可作为Lyapuno

43、vLyapunov函数（其构函数（其构造可能十分困难）。造可能十分困难）。这种方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。这种方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。),(txVdttxdVtxV/),(),(在在LyapunovLyapunov第二法中，第二法中，和其对时间的全导数和其对时间的全导数 的符号特征，提供了判断平衡状态的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则。处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则。nxxx,21),(21txxxVn),(txV),(21nxxxV)(xVLyapunovLyapunov函数与函数与 和和t t 有关，我们有关，我们用用

44、或者或者 来表示来表示LyapunovLyapunov函数。如函数。如果在果在LyapunovLyapunov函数中不含函数中不含t t,则用则用 或或 表示表示。可以证明：可以证明：如果如果 为为 维向量，且其纯量函数维向量，且其纯量函数 正定，则正定，则满足满足的状态的状态 处于处于 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，这里点附近，这里C C为正常数。此时，随着为正常数。此时，随着 ，上述封闭，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果曲面可扩展为整个状态空间。如果 ，则超曲则超曲面面 完全处于超曲面完全处于超曲面 的内部。的内部。nCxV)(x

45、nx21CC 1)(CxV2)(CxV)(xVxx)(xV)(xV)(xV 对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数 ，并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随着时间的增加并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随着时间的增加，将取越来越小的将取越来越小的C C 值。随着时间的进一步增长，最终值。随着时间的进一步增长，最终 变为零，而变为零，而 也趋于零。也趋于零。这意味着，状态空间的原这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。点是渐近稳定的。1 1、关于渐近稳定性、关于渐近稳定性LyapunovLyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐主稳定性

46、定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定的充分条件。近稳定的充分条件。则在原点处的平衡状态则在原点处的平衡状态 xe 是（一致）渐近稳定的。是（一致）渐近稳定的。),()(ttxftx0),0(tf0tt 定理定理4.4 4.4(Lyapunov,(Lyapunov,皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基基)考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统式中式中,对所有对所有如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数 ，且满足，且满足 1 1、正定；正定；2 2、负定负定),(txV),(txV),(txV以下条件：以下条件：进一步地，

47、进一步地，若若 ，(径向无穷大径向无穷大)，则在，则在原点处的平衡状态原点处的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。是大范围一致渐近稳定的。x),(txV0ex 例例4.34.3 考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统)()(22212122221121xxxxxxxxxx显然原点（显然原点（，）是唯一的平衡状态。）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。试确定其稳定性。01x02x 解解:定义一个正定纯量函数定义一个正定纯量函数V(x),),2221)(xxxV2221)(xxxV)()(22212122221121xxxxxxxxxx)(2)(222)(222121222211212211xxxxxx

48、xxxxxxxxxV)(2)(2222122222111xxxxxxxx0)(222221xxV(x)是负定的，这说明是负定的，这说明V(x)沿任一轨迹连续地减小，因此沿任一轨迹连续地减小，因此V(x)是一个是一个LyapunovLyapunov函数。函数。)(xVx由于由于 随着随着 而变为无穷，则由定理而变为无穷，则由定理4.44.4，该系统，该系统在原点处的平衡状态是在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。图图4.2 4.2 常数常数V V圆和典型轨迹圆和典型轨迹如图如图4.24.2所示。所示。)(xV,021CC210CC0)(xV1)(CxV2)(CxV注意，注意，如

49、使如使 取一系列的常值取一系列的常值 （），则），则 对应于状态平面的原点，而对应于状态平面的原点，而 ，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆，描述了包围状态平面原点的互不相交的一簇圆.由于圆由于圆 完全处在完全处在 的内部，所以典型的内部，所以典型轨迹从外向里穿过各轨迹从外向里穿过各V圆。圆。从而从而LyapunovLyapunov函数函数 的几何的几何意义之一，可解释为意义之一，可解释为状态状态x到状态空间原点到状态空间原点 之间距之间距离的一种度量。离的一种度量。kCxV)(1)(kCxV)(xV0ex0)(txV0)(tx如果原点与瞬时状态如果原点与瞬时状态x x(t t)之间的距

50、离随之间的距离随t t的增加而连续地减的增加而连续地减小，即小，即 ，则，则 。)(xVx)(xV 还应注意，还应注意，由于由于 是径向无穷大的，是径向无穷大的，即随即随着着 ，所以这一簇圆可扩展到整个状态，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。平面。定理定理4.44.4是是LyapunovLyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要第二法的基本定理，下面对这一重要定理作如下几点说明。定理作如下几点说明。(1)(1)这里仅给出了充分条件，这里仅给出了充分条件，也就是说，如果能构造出了也就是说，如果能构造出了LyapunovLyapunov函数函数V(x,t)，那么系统是渐近稳定的。但如果找，那