混凝土的收缩徐变问题课件.ppt

1、一、对混凝土收缩徐变现象的认识和研究过程1、对混凝土收缩、徐变的认识过程 19世纪20年代，在英国开始波特兰水泥的工厂化生产，从此开始了混凝土结构在世界范围内的发展时期。然而，人们对砼收缩、徐变现象的认识和重视始于20世纪初，而对它的系统研究则始于20世纪30年代，应用于实际结构更晚。直到20世纪40年代后期，多数设计人员仍认为混凝土收缩、徐变只是一个单纯的材料科学范围的学术问题。经过研究试验资料的积累与几十年的实践经验，人们对徐变、收缩对结构影响分析方法的研究已经得到很大发展。许多国家的设计规范对收缩、徐变都给予了详细考虑。关于混凝土收缩、徐变的知识，已经成为结构设计人员所必须掌握的专业知识

2、。2、对混凝土收缩、徐变的研究过程 早在1937年，F.Dischinger就提出了由混凝土徐变、收缩所导致的混凝土与钢筋截面应力重分布与结构内力重分配的微分方程微分方程解解。这种方法对多次超静定的计算十分复杂，而且与实际出入较大。但由于没有更有效计算混凝土收缩、徐变的方法，Dischinget的理论在世界范围内使用了30多年。1967年，H.Trost引入了当时被他称为松弛系数的概念（后被Z.P.Bazant改为老化系数），提出了由徐变导致的应力与应变之间关系的代数方程表达式代数方程表达式，既简化了计算，又提高了精度。1972年，Z.P.Bazant对H.Trost的公式进行了严密的证明，并

3、将它推广应用到变化的弹性模量与无限界的徐变系数。Trost-Bazant将按龄期调整的有效模量法与有限单元法相结合，使得混凝土结构的徐变、收缩计算能够采用更逼近实际的有限单元法及逐步计算法。（1）加载时，混凝土柱体产生的瞬时弹性应变e；（2）加载前，混凝土就产生的随时间增长的收缩应变s；（3）长期持续荷载作用下，混凝土柱体随时间所增加的附加应变c，即徐变；（4）在1时刻卸去荷载，混凝土柱体除瞬时恢复弹性应变e外，还随时间恢复了一部分附加应变v（滞后弹性应变），残留而不可恢复的附加应变部分为屈服应变f。徐变应变c=v+f总应变b=s+e+(v+f)二、混凝土徐变、收缩的概念1、轴心受压混凝土柱体

4、的变形 混凝土柱体在龄期0施加荷载P，至时间1后卸去荷载的变形过程：Pvsfettttesvef 试验表明，加载初期徐变增长较快，后期变慢，几年后就停止增长。结构的累计徐变变形可达到同应力下弹性变形的1.53倍或更大。2、徐变与收缩的影响因素（1）收缩机理 1）自发收缩：水泥水化作用（小）2）干燥收缩：内部吸附水蒸发(大)3）碳化收缩：水泥水化物与CO2反应（2）徐变机理(ACI209,1972)1）在应力和吸附水层润滑的作用下，水泥胶凝体的滑动或剪切产生的粘稠变形；2）应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转动引起的紧缩；3）水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性应变；4）局部发生

5、微裂、结晶破坏及重新结晶与新的连结所产生的永久变形。（3）影响因素 (1)混凝土的组成材料及配合比；(2)构件周围环境的温度、湿度、养护条件；(3)构件的截面面积；(4)混凝土的龄期；(5)应力的大小和性质。3、徐变与收缩对桥梁结构的影响 （1）结构在受压区的徐变和收缩将引起变形的增加；（2）偏压柱由于徐变使弯矩增加，增大了初始偏心，降低其承载能力；（3）预应力混凝土构件中，收缩和徐变导致预应力损失；（4）结构构件表面，如为组合截面，收缩和徐变引起截面应力重分布；（5）超静定结构，引起内力重分布；（6）收缩使较厚构件的表面开裂。4、线性徐变与非线性徐变 （1）线性徐变理论 徐变应变c与弹性应变

6、e成线性关系，其比例系数为徐变系数，它与持续应力的大小无关：=c/e 适用性：桥梁结构中，混凝土的使用应力一般不超过其极限强度的4050%，试验发现，当混凝土柱体应力不大于0.5Ra时，徐变变形与弹性变形之比与应力大小无关的假定是成立的。（2）非线性徐变理论 徐变系数与持续应力的大小有关，即徐变应变与弹性应变不成线性关系。（3）分析混凝土徐变时的基本假定 1）采用线性徐变理论；2）不考虑结构配筋的影响，把结构当作素混凝土。三、混凝土徐变系数的数学表达式 从时刻开始对混凝土作用单轴向单位常应力，在时刻t产生的总应变，一般称为徐变函数J(t,)。对于上述两种徐变系数的定义，徐变函数可分别表示为：2

7、、徐变数学表达式 目前国内外对混凝土徐变的分析存在各种不同的理论，考虑的因素不尽相同，采用的计算模式也各不相同。归纳起来，有以下两种表达方式：（1）将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素，如英国BS5400(1984)、美国ACI209(1982)、CEB-FIP(1990)、我国2004桥规等；1、徐变系数的定义 混凝土的徐变大小，通常采用徐变系数(t,)来描述。目前国际上对徐变系数有两种不同的定义。令时刻开始作用于混凝土的单轴向常应力s()至时刻t所产生的徐变应变为c(t,)，第一种徐变系数采用混凝土28天龄期的瞬时弹性应变定义，即 CEB-FIP标准规范

8、（1978及1990）及英国BS5400（1984）均采用这种定义方式。徐变系数的另一种定义为 这一定义是美国ACI209委员会报告（1982）所建议的。),()(),(28stEtc),()()(),(stEtc),(1)(1),(28tEEtJ),(1)(1),(tEtJ （2）将徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和，如CEB-FIP(1978)、我国1985桥规等。下面对目前国际上常用的几种徐变数学表达式作简要介绍。（1）CEB-FIP标准规范（标准规范（1978）认为徐变包括瞬时初应变、滞后弹性应变、残留流塑应变三部分：式中，(t,)加载龄期为，计算龄期为t时的混凝土徐变系数；b

9、a()加载后最初几天产生的不可恢复的瞬时初始变形系数（加载初期急变）；d(t,)可恢复的滞后弹性变形系数；f(t,)不可恢复的流塑变形系数；（2）我国桥规）我国桥规公路钢筋混凝土及预应力混公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范凝土桥涵设计规范（JTJ023-85）式中，d滞后弹性系数，取为0.4；bd 随时间而增长的滞后弹性应变；bf 随混凝土龄期而增长的滞后塑性应变。f流塑系数，依理论厚度和周围环境而定；R()/R加载时混凝土强度与最终强度之比。在规范中，上述各参数多以图形曲线和表格的形式出现，给使用带来了不便。),(),()(),(btttfda/1 8.0)()()()()(),()(

10、RRtttafffddabbbbb（3）CEB-FIP标准规范（标准规范（1990）式中，0名义徐变系数；bc(t,)徐变系数进程系数；RH环境相对湿度修正系数；bfcm 混凝土强度修正系数 b()加载龄期修正系数。（4）英国规范）英国规范BS5400（Part 4）式中，k1环境湿度影响系数；k2加载开始时固化程度影响系数；k3混凝土成分影响系数；k4混凝土构件有效厚度影响系数；k5确定徐变随时间发展的情况。（5）ACI209（1982）采用双曲线的形式）采用双曲线的形式式中，(u)终极徐变系数；b1混凝土加载龄期影响系数；b2环境湿度影响系数；b3混凝土构件厚度影响系数；b4混凝土坍落度影

11、响系数；b5细集料（4.8mm）含量影响系数；b6空气含量影响系数，一般取1。（6）我国）我国2004桥梁规范桥梁规范 各系数的定义与CEB-FIP(1990)相同。),()(),(),(0bbbbtttcfcmRHc54321),(kkkkkt6543216.06.035.2)()()(10)(),(bbbbbbuuttt),()(),(),(0bbbbtttcfcmRHc（7）BP模式模式 Z.P.Bazant与L.Panula对世界范围内庞大的徐变试验数据进行最优拟合后，提出了BP模式，认为徐变由基本徐变和干燥徐变组成，用徐变函数J(t,0)表示总应变：式中，0,t分别为开始干燥时的龄期

12、、加载龄期、计算龄期；1/E()单位应力产生的初始弹性应变；c0(t,)单位应力常温、常湿度下产生的基本徐变（无水分转移）；cd(t,)单位应力产生的干燥徐变（有水分转移）；cp(t,)干燥以后徐变的减小值。以上徐变表达式均以试验为依据，通过大量的试验数据总结出相应的经验公式，因此其计算结果与实际的差别较小。以上公式包含的参数众多，比较复杂，不适合进行理论分析。但可在电算中采用。3、偏重理论的徐变数学表达式 除以上表达式外，为便于理论分析，以试验为依据，经过适当假设，提出理论上的徐变计算公式。一般从以下两方面来讨论：1）加载龄期与徐变系数(t,)的关系 根据对加载龄期与徐变系数(t,)的关系的

13、不同假定，可以得出三大理论：老化理论，先天理论和混合理论。2）徐变基本曲线的函数(t,0)在假定加载龄期与徐变系数(t,)的关系时，需要预先知道当=0时的徐变系数曲线，即(t,0)。目前，徐变基本曲线的函数(t,0)最广泛采用狄辛格（Dischinger）公式，因此，(t,0)的表达公式又叫狄辛格公式。),(),(),()(1),(0000tctctcEtJpd（1）(t,)与与 的关系的关系 老化理论老化理论：不同加载龄期的混凝土，其徐变曲线在任意时刻t徐变增长率都相同，即(t,)与无关。由此得出：a、已知(t,0)，将该曲线垂直平移可得(t,1)、(t,2)、(t,3)、；b、(t,)=(

14、t,0)-(,0)c、增大到一定值(35年)，(t,)0。先天理论先天理论：不同加载龄期的混凝土，其徐变增长规律均相同，即(t,0)可表示为(t-0)。由此得出：a、已知(t,0)，将该曲线水平平移可得(t,1)、(t,2)、(t,3)、；b、(,)不因而变化，即(,)=k0；c、加载龄期不同，但持续荷载作用时间(t-)相同，则发生的徐变系数相同，即(t,0)=(t+i,0+i)混合理论混合理论：加载初期用老化理论，加载后期用先天理论。tb先天理论bbb老化理论bbbt老化理论tt,t,t,（2）徐变基本曲线的函数）徐变基本曲线的函数 (t,0)狄辛格于1937年提出徐变基本曲线公式：式中，k

15、0加载龄期=0、t=时的徐变系数（终极值）；b徐变增长速度系数；(t,0)加载龄期=0的混凝土在t时的徐变系数。有了徐变基本曲线公式(t,0)，应用老化理论或先天理论，可得出一般的徐变系数(t,)的计算公式。例如，由老化理论：)1()0,(0tketb)1()1()1()0,()0,(),()(00000000bbbbtkktkeeeett（3）三种徐变理论的比较）三种徐变理论的比较 a、老化理论 对早期混凝土符合较好，对后期加载的徐变系数偏低，不能反映早期加载时徐变迅速发展的特点与滞后弹变，因而虽然计算简单，但难以反映实际情况，往往与试验不符，因此，老化理论渐被淘汰。b、先天理论 不能反映加

16、载龄期的影响，只考虑持荷时间，当持荷时间无穷大时，不同加载龄期的徐变系数都有相同的徐变终极值，因而在缺少实测资料时亦很少应用。先天理论比较符合后期加载的情况。c、混合理论 与上述两种理论相比，一定程度上更好地反映了徐变的基本特征，但对于加载初期，尤其是早期加载的混凝土徐变迅速发展的情况不能很好地反映，对于构件厚度、混凝土配合比的影响都没有给出。四、徐变应力-应变关系2、应力-应变关系的微分方程表达式 将前面介绍的不同徐变系数数学表达式代入公式（1），可推导出应力-应变关系的微分方程式。如对于Dischinger法，微分方程为：但是有些徐变系数表式不能得出常微分方程，故不能用微分方程求解。正因为

17、如此，Dischinger法在国内外被广泛采用，直到20世纪60年代才逐渐被Trost-Bazant法所取代。3、应力-应变关系的代数方程表达式 作变换：式中，sc(t)、c(t)称徐变应力和徐变应变。1、徐变作用下结构的总应变(t)在线性徐变理论中通过徐变系数和弹性应力即可求出总应变。（1）应力不变条件下：(t)=e+c(t)=e1+(t,)其中，徐变系数(t,)是指加载时刻为的t时刻的徐变系数。（2）连续变化的应力条件下：)1(d),(1)(1)(),(1)()()(0000ttEtEtsss0)si)ittst)sct)2(d)(t,d)(t)d(t)d)(1ddttEttEtss)()

18、()()()()()()(000aEttttccssss并注意到sc(0)=0，则 引入老化系数(t,0)（最初H.Trost称其为松弛系数，1972年T.P.Bazant改称老化系数，有些文献也称为时效系数）：于是，式（5）可写为：假定混凝土弹性模量为常数，E()用常量E代替，将式(a)代入(1)，则式(1)可表示为 由于上式含有对应力历史的积分，因此在分析中直接应用上式求解是困难的。由公式（3）得令式中，0 t，E=E(0)。)3(d),(1)(1),()()(000tcctEtEtss)4(d),()(1)()(),()()(0000tcccctEEttEtssss)5(),(1)(),

19、()()(00sstEttEtcc)(d),()(),(0tttctcss),()(d),()(),(),(),(),(00000sstttttttctc)6()(),()(),(),(1)(),()()(000000ssssEtEttEttEtccc式中，E为按龄期调整的有效模量或徐变等效弹性模量：公式（6）称为Trost-Bazant法，它是工程实用分析的基本方程。老化系数(t,0)可根据实验结果曲线插值计算，但不便于电算。也可根据所采用的徐变系数表达式进行推算。许多学者假定了应力随时间的变化规律（即s(t)与s(0)的变化关系），从而求出(t,0)。金成隶假设应力变化符合老化理论，即设

20、s(t)=s(0)e-(t,0)，则有：有关文献经论证提出下列公式：对继效理论，=0.91，b=0.686；对老化理论，=1，b=1，即得到金成隶公式。在实际分析中，不必过分追求老化系数的精确程度，因为徐变计算误差最大的方面还在于徐变系数的选择。),(),(100ttEE),(111),(0),(00tett),(111),(0),(00btett对时间t微分一次，得式中，s(t)=s()+sc(t)，为t时刻的总应力。五、徐变效应分析的力法（一）徐变效应分析的微分方程1、老化理论分析 （1）徐变应力-应变微分关系 假定弹性模量为常数，则公式（3）为按老化理论：(t,0)=(t,i)-(0,i

21、)=(t)-(0)代入式（8），得)8(d),(1)(1),()(),(0000tcctEtEtsstcctctctccEtEttEEtEtEtEtEt0000d)()(1)(1)()()()(d)()(1d)(1)(1)()()(d)()(1)(1)()()(),(0000000ssssssss)9()(d)(d)()(d)(d)()()()(d)()(d)(d)()(d)(d)(),(d000EttEtEttEttEttEttEtEttEtccccccccssssssssss（2）徐变微应变与内力的关系 设M(0)、N(0)为0时刻实际结构的初始弯矩和轴力，在0以后结构成为n次超静定，xj

22、t为徐变在t时刻引起超静定结构的赘余力（j=1,2,n），和 为xjt=1作用于基本结构产生的弯矩和轴力，于是，由赘余力产生的任意截面的徐变弯矩和徐变轴力为由此产生的徐变应力把（a）代入（b）并对时间t微分，得 结构初始内力产生的应力jMjN)(11axNNxMMnjjtjctnjjtjct)()(byIMANtctctcs)()()()(000dyIMANs)(d)()(d1cxyIMANtnjjtjjcsytxMtxMtMEIyxNtxNtNEAxMtMMEIyxNtNNEAxyEIMEANtyEIMEANyEIMEANEttEttnjjtjnjjtjnjjtjnjjtjnjjtjctnj

23、jtjctnjjtjjctctcccsss)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(1d)(d)(d)(d)(1d)()(d)()()(d)(d)()(),(d0110110101010000 把（c）、（d）代入（9）中，有d)(d)(d)(1d)(d)(d)(1)(1101100njjtjnjjtjnjjtjnjjtjxMtxMtMEIxNtxNtNEAt式中，0(t)、分别为徐变引起的截面重心处的轴向应变和曲率：（3）变形协调及内力求解 设切口xjt方向的变形为 ，利用虚功原理将0(t)、表达式代入上式，有 结构不同位置的徐变系数是不同的，若最年轻混凝土的徐变系数为(t)，则由老化理论知，

24、其他龄期混凝土的徐变系数为下标s表示杆长的函数。代入上式根据变形协调条件：写成矩阵形式为 此即老化理论求解超静定结构徐变二次力的基本微分方程组。isisiisMstNdd)(0sxEIMMEANNstxEIMMEANNstEIMMEANNjtjijisjtjijisiiidd d)(dd)(d)()(00bbbbd)(d)()()(ssssstttetsEIMMEANNsEIMMEANNsEIMMEANNxxjijiijsjijiijsiiipnjjtijnjjtijipid dd)()(ddd*00*11*bb),.,2,1(0nii)10(0dd*xxd)(d)(d)(1d)(d)(d)(

25、1)(1101100njjtjnjjtjnjjtjnjjtjxMtxMtMEIxNtxNtNEAt 当混凝土龄期相同时，即bs=1，于是*=，*=公式（10）变为令有由此解得即（4）讨论 如果用M2g、N2g表示后期结构的初始弯矩和轴力，Mgt、Ngt为t时刻的结构内力，则 由于于是有将上式代入Mgt表达式，得当结构初始内力是一次落架的内力时，即M(0)=M2g，N(0)=N2g那么这两式右边第二项为零，即徐变二次力为零。另外，上式还表明，先期结构与后期结构之间的内力差别越大，徐变二次力越大，结构内力变化也越大，这些性质对了解结构的徐变效应是十分重要的。0ddxx1xddxxx)1(exx),

26、.,2,1()1(njexxjjt)1()()(1010exMMxMMMnjjjnjjjgtnjjjgxMMM102)()(021MMxMgnjjj)1)()()1)()(020020eNNNNeMMMMggtggt2、一般徐变理论分析（1）基本假定及符号规定l 所有构件具有相同的收缩、徐变特性；l 从前期结构继承下来的荷载为q，在赘余力方向的初内力为xj,1（j=1,2,n）；l 结构体系转换时刻为；l 体系转换之后时刻t产生于赘余力方向的徐变次内力为xj(t,)（j=1,2,n）。（2）相容方程 在体系转换后的任何时刻t的dt时间内，由公式（10）得到第i个赘余力方向的变位增量为：1)由徐

27、变次内力增量dxj(t,)产生的增量：2)由徐变增量产生的增量：3)由荷载及初内力xi产生的增量：式中，ijxj=1产生于基本静定结构第i个赘余力方向的变位；i,1由初荷载q及初内力x1产生于基本静定结构第i个赘余力方向的变位；(t,)时间t-混凝土的徐变系数；则变位相容条件为：njjijtx1),(d),(d),(1ttxnjjij),(d1ti,)(),.,2,1(0),(d),(d),(),(d1,11anitttxtxinjjijnjjij)10(0dd*xx由于公式(a)可化为 另一方面，若以同样的外荷载施加于经体系转换的后期结构中，令第i个赘余力方向的弹性次内力为xi,2(i=1,

28、2,n)，则比较（b）、（c），得到解微分方程，并根据初始条件：t=，xi(t,)=0,(t,)=0得到式中 xi(t,)第i个赘余力方向因徐变产生的次内力；xi,1先期结构在第i个赘余力方向的截面内力；xi,2先期结构荷载按后期结构计算得到的第i个赘余力方向的截面内力。在（e）式的推导过程中，忽略了实际存在的构件施工节段之间徐变特性的差异，而经过体系转换的结构都存在这种差异，这是该式的缺点。)(),.,2,1(),(),(d),(d,11,bnixtxttxqinjjjjijnjjijqiix11,1,)(),.,2,1(,12,cnixqinjjij)(),(),(d),(d2,1,dxx

29、txttxjjjj)(),.,2,1()1)(),(),(1,2,eniexxtxtiii（二）徐变效应分析的代数方程 T-B分析得到的徐变应力-应变关系的代数方程表达式为（公式6）：仿照老化理论的分析过程，有c(t,0)=0(t)+y式中，利用虚功原理可得切口xit方向的变形：式中，根据变形协调条件：写成矩阵形式：上式是T-B法求解超静定结构徐变赘余力的基本方程，它是代数方程组，很容易求解。)6()(),()()(00ssEtEtccnjjtjnjjtjxIEMtEIMxAENtEANt1001000),()(),()()(jtnjijipnjjijijtiiiiixsIEMMAENNxst

30、EIMMEANNsMstN1*10000d)(d),()()(dd)(),.,2,1(0nii)11(0*xsIEMMAENNstEIMMEANNjijiijiiipd)(d),()()(*000*1、位移法基本方程 由公式（6）得：可以看出，是弹性应变，故结构的徐变应变能为：积分号中的前两项可以通过虚功原理进行变换。如图，设单元ij的徐变等效弹模为E，应变为c(t)，且杆端力和杆端位移分别为：按照有限元理论，得：式中，K弹性刚度阵；K徐变刚度阵，K=(t,0)K六、徐变效应分析的位移法),()()()(00sstEtEtcc),()()(00stEtcvtEtEttEvtEtEUVcVccd

31、),()()12(),()()(2)(21d),()()(2102202002200sssTjjjiiiTjjjiiivuvuMQNMQNF),(0KtKF),(),(11),(000ttEEKKtiiyxNiQMiQMNjjjjijijsc(t)=Ec(t)c(t)s(0)/Eui vi iuj vj ju0i v0i 0iu0j v0j 0j 上图中的(b)、(c)分别为两种虚位移状态，状态a的力对状态b的虚位移所作的虚功方程为：将sc(t)=Ec(t)代入，有(a)同样，状态a的力对状态c的虚位移所做的虚功方程为：(b)式中，F0为初始内力产生的弹性杆端力：F0=K0 (c)将式(a)、

32、(b)代入式(12)中，得 根据卡氏第一定理，有 上式表明了由徐变引起的单元杆端力由两部分组成：第一部分为由徐变位移产生的杆端力，第二部分为与初始杆端力F0引起的徐变相应的杆端力，这部分内力可在用位移法求得的结构初始弹性位移 0后根据式(c)计算。由于徐变分析是以结构初始内力为基础的，所经历的时间段除约束反力发生变化外并不增加新的荷载，因此将各单元在单元坐标系内由徐变引起的杆端力列阵转换到结构坐标系内，进行迭加，便可得到结构总体平衡方程，引入边界条件后，求解得到徐变引起的单元杆端位移，进而得到徐变引起的单元杆端力F。),(d)()(0sKtFvttTTVcc),(d)(02KtvtETVc),

33、()(),(),(d)()(d)()(0000000001FtKtKtFvEtEvEtTTTTVcVcsssVTTVtEEFttKtUd),()(21),(),(),(21022020000s)13(),(),(),(0000FttKtUF2、有限元拟弹性逐步增量法（1）基本分析过程 分析各施工阶段的结构徐变效应时，采用增量形式的徐变变形表达式比较方便。在实际结构中，应力与时间的关系可用下图来近似表示。si表示ti时刻的瞬时弹性应力，s*i表示ti-1 ti时段的徐变应力增量。根据公式(3)可写出至时刻tn的徐变应变为同理可写出至时刻tn-1的徐变应变为则第n个阶段（即tn-1tn）徐变应变增

34、量为：tcctEtEt0d),(1)(1),()()(00ssnittnniininciitEttE1*101d),(1 dd1),(ss111*20111d),(1 dd1),(nittnniininciitEttEssnniittnnittnnnnnniininincncntEttEttEttttE11d),(1 dd1d),(),(dd1),(),(),(*111*1111011ssssyxtitn-1ttni-1t0s0sis*isn-1s*n 注意上式中含有(tn-1,tn-1)，若计算中采用的徐变系数包含加载初期急变项ba()，则(tn-1,tn-1)0；否则(tn-1,tn-1)

35、=0。利用积分中值定理，有式中，ti-1 t ti。引入系数：则式中，另一方面，公式(13)还可以写成式中，*0为初始内力产生的徐变变形：),(),(1),(),(),(),(),(11*111*111101nnnnnninninnnniinininttttEttttEttEttttEssss),(d),(dd),(1*11nnnttnnntttttnnss2/)(),(),(),(),(),(),(12/12/112/111iiiininnnniininnittttttttttttttt)14(),(),(),(),(),(),(1*1111111*101*11111*10nnnnnnnin

36、iiiiiininiinnnnnnniniininiinttEttEttttEEttEttEEEssssssssEttttttEttEiiiiiiii),(),(),(1),(1111)(),(),(),(),(),(),(),(*00000000000KtKKttKtFttKtF),(00*0t定义为徐变等效固端力，则引入以下记号 *0i第i阶段(ti-1 ti)初始结构内力产生的徐变变形；i第i阶段的总徐变变形；0i第i阶段由si/E产生的弹性变形；Fi第i阶段由徐变引起的总杆端力；F*0i第i阶段徐变等效固端力：Ki第i阶段徐变刚度矩阵：由此可写出第i阶段的单元平衡方程：由(c)式可看出

37、，因为Fi是完全由徐变引起的杆端力，所以由s*i/Ei产生的杆端位移为(i-*0i)。至此，由公式（14）可写出第n阶段由徐变引起的总杆端位移为：整理后即可得到t=0到t=tn-1的结构内力产生的第n阶段(tn-1tn)的徐变位移为：式中的弹性位移0i可由初始阶段的位移法分析得到，总徐变位移i可由式(c)、(d)组集成的结构总体平衡方程解出。)*0FKF*0*0KF)(*0*0aKFiii)(),(1bKttKiii)()()(*0*0dFKFcKFiiiiiiii),(),()(*0111,0111*0100nnnnnniniiiiininiintttt)15(),(),()(111,011

38、1*0100*0nnnniniiiiininiintttt 至此，通过式(c)、(d)、(15)的联立方程，逐阶段进行徐变分析。基本步骤如下：第一阶段（n=1）：1）计算t0时刻的结构弹性变形00；2）令0=*00=0，按式(15)计算第一阶段初始内力产生的徐变变形*01：*01=00 10+00(t0,t0)3）按式(b)计算徐变刚度矩阵K1=(t1,t0)K4）按式(a)计算徐变等效固端力F*01=-K1*015）按一般有限元步骤组集总刚和总荷载阵，列出结构总体平衡方程，处理边界后解出1；6）计算徐变引起的总杆端力F1和支反力。第二阶段（n=2以后的计算）：1）计算t1时刻加载的结构弹性变

39、形01；2）按式(15)计算*02：3）按式(b)计算徐变刚度矩阵K2=(t2,t1)K4）按式(a)计算徐变等效固端力F*02=-K2*025）按一般有限元步骤组集总刚和总荷载阵，列出结构总体平衡方程，处理边界后解出2；6）计算徐变引起的总杆端力F2和支反力；7）返回第一步进行自n=3开始各阶段计算。),(),()(1101101*011100*02ttttninii（2）位移法分析的递推计算 在利用式(15)计算时，需要存储前n-1阶段的0i、i、*0i、ni、(ti,ti-1)，给计算带来不便。若将徐变函数表达为e指数形式，则式(15)的计算可采用递推方式，省去很多存储。具体方法如下：设

40、徐变函数表达式为(16)则 由式(16)，可得 为计算方便，令s*0=0，0=*00=0，这样，式(14)、(15)可写成 上面两式中出现了实际并不存在的E(t0,t-1)、(t0,t-1)两项，计算中可令其为非零值而不影响计算结果。ni41)(1)()0()(),(itqidaieCtbb1)(),(),(1)(),(),(),(),(412/12/112/1),(),(41112/1111nnirninnirnittqttqirirnrnnittqttqirirnrnnreetCtttteetCtttt)15()0()(),()(11,0101*00*0dnanniniiiiiniintt

41、tbb)14(),()0()(),(),(1*111011*nnndnanniniiiiiiniinttEtEttttEEsbbsss)0()(),(111dnanntttbb 定义下面的量则式(15)变成将式(e)两边同乘以 ，有同时，按式(e)Bin的定义，有 上式是一个递推式，说明了Bin+1与Bin的关系。至此，式(15)的复杂计算转化为按式(17)和(19)进行的递推计算，仅需要存储上一阶段的计算结果，省却了大量存储。)(4,3,2,1)()()()()(2/11*010)(02/111eietCttetCBrnirnittqrirrrrnrttqririn)17()0()(1 11

42、,041)(*01dnanittqinnteBnnibb)(1nnittqe)18(4,3,2,1)()()()()(2/11*010)(0)(2/11ietCttetCeBrnirninnittqrirrrrnrttqrirttqin)19(4,3,2,1)()()()()()()()()(2/11*00)()(2/11*00)(012/112/1ietCtttCeBetCttetCBnninnirnirnittqninnnnninttqinttqrirrrrnrttqririn 利用递推公式进行徐变效应分析的基本步骤为：第一阶段（n=1）：1）计算t0时刻的结构弹性变形00；2）令0=*0

43、0=0，且Bi0=0，按式(19)计算Bi1：Bi1=00Ci(t0)3）按式(17)计算第一阶段初始内力产生的徐变变形*01：4）按式(b)计算徐变刚度矩阵K1=(t1,t0)K5）按式(a)计算徐变等效固端力F*01=-K1*016）组集总刚和总荷阵，列出结构总体平衡方程，处理边界后解出1；7）计算徐变引起的总杆端力F1和支反力。第二阶段（n=2以后的计算）：1）计算t1时刻的结构弹性变形01；2）按式(19)计算Bi2：3）按式(17)计算第2阶段初始内力产生的徐变变形*02：4）按式(b)计算徐变刚度矩阵K2=(t2,t1)K5）按式(a)计算徐变等效固端力F*02=-K2*026）组

44、集总刚和总荷阵，列出结构总体平衡方程，处理边界后解出2；7）计算徐变引起的总杆端力F2和支反力。8）返回第一步进行自n=3开始各阶段计算。)0()(1 00041)(1*0101daittqiteBibb)(2/1101*011101)(122/11101)()()()(ttqiittqiiiietCtttCeBB)0()(1 10141)(2*0212daittqiteBibb（3）徐变系数的拟合公式 将公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范JTJ023-85中附录4中的徐变系数，按最小二乘法原理拟合成如下的指数函数：式中，q1=0.0036，q2=0.046，bd(0)=0.108f=f

45、1 f2，f1的值查表1。式中，Ah混凝土构件截面面积；u构件与大气接触的截面周边长；湿度系数，见表1。uAhhhf20.12602602)0(1)()(),(41)(ditqiaieCtbb)3(4)3(3212243)()(12.0)(172.0)(4756.6)6817.3(lg4967.71 8.0)(bqfqfaeDCeCCCC环境条件相对湿度 系数f1系数水中1000.830.0很潮湿大气901.05.0野外一般大气702.01.5很干燥大气403.01.0表1 系数f1表2 曲线拟合系数取值表h501002004008001600C0.500.470.410.350.290.20

46、D0.390.420.480.540.600.69q30.0330.03350.0340.0350.0380.05q40.00150 0.00130 0.00110 0.00085 0.00065 0.00053徐变位移法分析的基本过程流程图徐变位移法分析的递推计算流程图对0、*00赋初值0对各阶段循环i=1,n由Fi=Kii+F*0i得总徐变杆端内力；求解徐变约束反力求解得徐变位移列阵i将Ki组集成徐变总刚将F*0i组集成荷载列阵按式(c)求徐变等效固端力F*0i按式(d)计算徐变刚度阵Ki按式(15)计算*0i计算弹性变形0,i-1对0、*00赋初值0对各阶段循环j=1,n由Fj=Kjj+F*0j得总徐变杆端内力；求解徐变约束反力求解得徐变位移列阵j将Kj组集成徐变总刚将F*0j组集成荷载列阵按式(c)求徐变等效固端力F*0j按式(d)计算徐变刚度阵Kj按式(17)、(19)计算Bij、*0j计算弹性变形0,j-1