函数的凹凸性与作图课件.ppt

1、第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线的凸性一、曲线的凸性曲线的凸性与函数作图 第三三章 二、渐近线二、渐近线三、函数的作图三、函数的作图AB定义定义1.设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续,12,(0,1)xxI(1)若恒有若恒有1212(1)()(1)(),fxxf xf x则称则称的)(xf图形是图形是下凸的下凸的;或称或称f(x)为为I上的上的下凸函数。下凸函数。yox2x1x221xx 一、曲线的凸性一、曲线的凸性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 弦在弧的上方；切线在曲线的下方。弦在弧的上方；切线在曲线的下方。(2)若恒有若恒有12

2、12(1)()(1)(),fxxf xf x则称则称的)(xf图形是图形是上凸的上凸的;或称或称f(x)为为I上的上的上凸函数。上凸函数。弦在弧的下方；切线在曲线的上方。弦在弧的下方；切线在曲线的上方。下凸也称为凸，上凸也称为凹。下凸也称为凸，上凸也称为凹。yox1x221xx 2x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1：设函数：设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续,21Ixx(1)若恒有若恒有1212()()(),22xxf xf xf 则称则称的)(xf图形是图形是下凸的下凸的;（弦在弧的上方，或切线在曲线下方弦在弧的上方，或切线在曲线下方）(2)若

3、恒有若恒有1212()()(),22xxf xf xf 则称则称的)(xf图形是图形是上凸的上凸的.（弦在弧的下方，或切线在曲线上方弦在弧的下方，或切线在曲线上方）等价定义：等价定义：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关于函数凹凸性的判定关于函数凹凸性的判定,有下面的结论：有下面的结论：定理定理1 设函数设函数 f 在区间在区间I上可导，则上可导，则 f 在区间在区间I上下凸上下凸（上凸）的充要条件是（上凸）的充要条件是f (x)在区间在区间I上单调增加（减少）上单调增加（减少）证明：证明：1212(,),(,),xxIxxx 令令221,xxxx 则则112211,

4、(1)xxxxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 必要性：必要性：12()(1)f xfxx若若f 是下凸函数，由定义有是下凸函数，由定义有12()(1)()f xf x 1121()()()(1)()()f xf xf xf xf x 21(1)()()f xf x 21111(1)()()()()f xf xf xf xxxxx 2121()()f xf xxx 221,xxxx 112211,(1)xxxxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2212()()()()(1)()f xf xf xf xf x 21()()f x

5、f x 21222()()()()f xf xf xf xxxxx 2121()()f xf xxx 221,xxxx 112211,(1)xxxxxxx 12121212()()()()()()f xf xf xf xf xf xxxxxxx令令12,xxxx得：得：12()()fxfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 充分性：充分性：设设()fx 单调增加，单调增加，对函数对函数()f x分别在区间分别在区间12(,)(,)xxx x和和上用拉格朗日中值定理得：存在上用拉格朗日中值定理得：存在12(,)(,)xxx x 和和使使得得11()()()f xf xf

6、xx 22()()()f xf xfxx 2211()()()()xxf xf xf xf xxx 1()()1f xf x 12()()(1)().f xf xf x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是下凸的内图形是下凸的;)(xf(2)在在 I 内内,0)(xf则则 在在 I 内图形是上凸的内图形是上凸的.)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx!2)(1f 21)(x221xx)()(2fxf221xx)(f 22

7、1xx)(2x221xx!2)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx)()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明说明(1)成立成立;(2)(f 221xx)(1x221xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数证毕证毕例例1.判断曲线判断曲线4xy 的凸性的凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x,0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是下凸的上是下凸的.xyo机动机动 目录目录 上页上页

8、 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.判断曲线判断曲线3yx 的凸性的凸性.解解:23,yx 6yx 0 x 当时，当时，0;y 0 x 当时，当时，0,y 故曲线故曲线4xy 在在(,0内是上凸的内是上凸的.在在(0,)内是下凸的内是下凸的.曲线凸性的分界点称为曲线凸性的分界点称为拐点拐点定义定义2：设：设0()(),f xC IxI 是是内的点，如果曲线在点内的点，如果曲线在点 00,()xf x的左右两侧凸性相反，则称点的左右两侧凸性相反，则称点 00,()xf x为此曲线的拐点为此曲线的拐点.注意：拐点是曲线上的点，不能说注意：拐点是曲线上的点，不能说0 x是拐点。是拐点。与极值点不

9、一样。与极值点不一样。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点.解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点(0,0)为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点.oxy下凸下凸上凸上凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:1)若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义根据拐点的定义,可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线)(xfy,0连续在点x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)(,(00

10、 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凸性不变则曲线的凸性不变.在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求拐点的步骤见教材求拐点的步骤见教材P162.xxy24362)(3632xx例例4.求曲线求曲线14334xxy的上（下）凸区间及拐点的上（下）凸区间及拐点.解解:1)求求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3)列表判别列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32

11、及及下凸下凸,向上凸向上凸,点点(0,1)及及),(271132均为拐点均为拐点.上在),0(32下凸下凸下凸下凸上凸上凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32)1,0(),(271132例例5：证明不等式：证明不等式1()()(0,0,1)22nnnxyxyxyxy n证明：设证明：设()(0,1)nf tttn则则1(),nf tnt2()(1),nftn nt当当0,1tn()0ft时，有时，有即上述即上述 f（t）为下凸函数，）为下凸函数，于是对任意于是对任意0,0 xy有：有：1()()22nnnxyxy例例5.4 例例5.52xy 无渐近线无渐近线.点点

12、M 与某一直线与某一直线 L 的距离趋于的距离趋于 0,二、二、曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义3.若曲线若曲线 C上的点上的点M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时时,则称直线则称直线 L 为为曲线曲线C 的的渐近线渐近线.例如例如,双曲线双曲线12222byax有渐近线有渐近线0byax但抛物线但抛物线或为或为“纵坐标差纵坐标差”NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若,)(limbxfx则曲线则曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线.by)(x或若若,)(lim0 xfxx

13、则曲线则曲线)(xfy 有垂直渐近线有垂直渐近线.0 xx)(0 xx或例例1.求曲线求曲线211xy的渐近线的渐近线.解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线.21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

14、返回返回 结束结束 )(x或)(x或例例2.求曲线求曲线3223xxxy的渐近线的渐近线.解解:,)1)(3(3xxxy,lim3yx)1(x或所以有铅直渐近线所以有铅直渐近线3x及及1x又因又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 312 xy三、函数的作图三、函数的作图步骤步骤:1.确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,期性期性;2.求求,)(,)(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3.列表判别增减及凹凸区间列表判别

15、增减及凹凸区间,求出极值和拐点求出极值和拐点;4.求渐近线求渐近线;5.确定某些特殊点确定某些特殊点,描绘函数图形描绘函数图形.为为 0 和不存在和不存在的点的点;并考察其对称性及周并考察其对称性及周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.描绘描绘22331xxy的图形的图形.解解:1)定义域为定义域为,),(无对称性及周期性无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大极大)(拐点）拐点）32(极小极小)4)xy133220机动机动 目录目录 上页上页 下

16、页下页 返回返回 结束结束 1231例例4.描绘方程描绘方程044)3(2yxyx的图形的图形.解解:1),)1(4)3(2xxy定义域为定义域为),1(,)1,(2)求关键点求关键点)3(2xy4044yxy)1(223xyxy2)1(4)1)(3(xxxy 42048 yxy)1(241 xyy3)1(2x得令0 y;3,1x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 113)1,()1,1()3,1(),3(xyy y20,)1(4)3(2xxy,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2 xy3)判别曲线形态判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4)求渐近线求渐近线,l

17、im1yx为铅直渐近线为铅直渐近线无定义无定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1x又因又因xyxlim,4141k即即)41(limxybx41)1(4)3(lim2xxxx)1(495limxxx45)1(4)3(2xxy5)求特殊点求特殊点xy049241为斜渐近线为斜渐近线4541xy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)1(4)1)(3(xxxy3)1(2 xy6）绘图）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线斜渐近线1x铅直渐近线铅直渐近线4541xy特殊点特殊点11302)1(4)3(2xxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

18、返回返回 结束结束 2无定义无定义xy113)1,()1,1()3,1(),3(0 xy049241例5.描绘函数21y22xe的图形.解:1)定义域为,),(图形对称于 y 轴.2)求关键点 y21,22xex y2122xe)1(2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10)1,0(),1(3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10)1,0(),1(2221xeyxyoBA21思考与练习思考与练习 1.曲线)(

19、1122xxeey(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1,0上上,0)(xf则则,)1(,)0(ff)0()1(ff或或)1()0(ff的大小顺序是的大小顺序是()0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示提示:利用利用)(xf 单调增加单调增加,)10()()0()1(fff及及B2.设在设在机动

20、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P168 1（3，6）；2;3；5（1，3）6（3，4）；7（2）作业作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线的渐近线.解解:令令 y=t x,代入原方程得曲线的参数方程代入原方程得曲线的参数方程:x,133ttay3213tta,1tx时当因因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1()1(312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy机动机动 目录目录 上页

21、上页 下页下页 返回返回 结束结束 1t313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),()1,(42t图形在第四象限,(0,1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 211xyx有位于一直线的三个拐点有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线求证曲线 证明：证明：yy 222)1(21xxx3223)1()133(2xxxx32)1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2)1()1(222)1(x42)1(x(22)x 22)1(

22、x)21(2xx)1(22x2x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令0y 得得,11x,)1,1(从而三个拐点为从而三个拐点为因为因为32所以三个拐点共线所以三个拐点共线.323x,322x,)34831,32()34831,32(3211348311134831机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明:20 x当当时，时，.2sinxx有有证明证明:2()sinF xxx令令,0)0(F,则则)(xF)(xF)(xF是是凸凸函数函数)(xF即即xx2sin(0)2x 2.0)2(F2cosxsin x0)2(),0(minFF0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (自证自证)