代数学的“青春舞曲”--阿贝尔、伽罗瓦和哈密尔顿课件.ppt

1、 3ayx32yaybyc3,(,0)xmxn m n3333()3xuvuvuvx33;3muvuvn33333();()27muvuvn 33,uv32027mznz232333;24272427nnmnnmuv23233324272427nnmnnmx 1212nniiixxxxxx112,1rggggg说明：说明：（1）群的元素个数，叫做群的阶）群的元素个数，叫做群的阶（2）据拉格朗日定理）据拉格朗日定理:有限群有限群G的子群的阶是的子群的阶是 G的阶的因子，故合成的阶的因子，故合成指数列一定是整数指数列一定是整数古老问题的最后答案古老问题的最后答案 尺规作图的可能性准则尺规作图的可能

2、性准则有理系数三次方程的根可用尺规作图的有理系数三次方程的根可用尺规作图的充要条件是它有一个有理根充要条件是它有一个有理根.OD=a=cos,OE=x=cos/3cos=4cos3/3-3cos/34x3-3x-a=0取=600,可得方程8x3-6x-1=0(无有理根!)ODEn立方倍积 x3-2a3=0特取 a=1 =2此方程无有理根.n化圆为方 x2-r2=0 =特取 r=1是超越数.xax走向新时代!复数还能再“扩张”吗?n自然数 分数 负数 有理数 无理数 复数 na+bi；n复数的“类似物”：a+bi+cj？n如何运算？结合率，分配率，交换率n基本性质能否保留？模法则：|z z1|=

3、|z|z1|实数模法则VS交换率n对于三维复数 a+bi+cj,若保留模法则：必须有i j=0;但是：|i|=1,|j|=1,所以怎么会有|i j|=0?n假设 i j=k,而 j i=-k，即交换率不成立了，但是，这样的假设保证了模法则是成立的。那么，这个不请自来的k 究竟是什么呢？n最早思考这个问题的是爱尔兰数学家哈密尔顿。22|()|abicjabicj哈密尔顿与“四元数”哈密尔顿，少年天才，在语言方面有着常人无法比拟的才能，5岁时掌握了拉丁文、希腊文和希伯莱文，8岁学会了意大利语和法语，10岁时开始学习梵文，甚至还要学习汉语。可是，14岁时，一位来自美国的速算少年的表演，让哈密尔顿迷恋

4、上了数学。17岁时，他通过自学微积分掌握了数学。1823年，考入都柏林的三一学院，1827年他的光束理论建立了几何光学的科学，这篇论文发表在爱尔兰皇家科学院学报上，为此，22岁哈密尔顿被任命为三一学院的天文教授，并得到了爱尔兰皇家天文学家的头衔。二维复数的推广得到了“四元数”！n哈密尔顿假设 i j=k,而 j i=-k，即交换率不成立了，但是，这样的假设保证了模法则是成立的。那么，这个不请自来的k 究竟是什么呢？这只好迫使哈密尔顿考虑下面的一般的乘积：(a+bi+cj)(x+yi+zj)=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz+cy)kn他发现在这个乘积中，“模法则

5、”正好成立。n两个三维空间的向量乘积，是一个四维空间的向量。真是太奇妙了！a+b i+c j+d k哈密尔顿放弃对三元复数”的追求，着手考虑新数的运算法则，经过近十年的苦思冥想，灵感终于来了！那是1843年10月16日的黄昏，哈密尔顿携夫人一道去都柏林出席爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰桥的时候，长期思考问题的大脑中突然亮出了一道“闪电”，“此时此地，我感此时此地，我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花，就是到思想的电路接通了，而从中落下的火花，就是 i i,j j,k k 之间的基本方程，恰恰就是我此后使用它们的样子之间的基本方程，恰恰就是我此后使用它们的样子。”哈密尔顿发现自己被迫做出

6、两个让步：新数必须包含四个分量；新数必须包含四个分量；新数必须放弃乘法交换率。新数必须放弃乘法交换率。这两条对于代数学都是革命性的，这个新的数称为“四元四元数数”。“四元数”乘法表pq qpp=3+2 i+6 j+7 kq=4+6 i+8 j+9 k;pq=-111+24 i+72 j+35 kqp=-111+28 i+24 j+75 k;评价n1843年，哈密尔顿在爱尔兰皇家科学院会议上宣告了四元数的发明。这是他15年思索的结晶，也是他后来22年研究工作的开始。一位英国人曾这样来评价哈密尔顿：n“牛顿的发现对于英国及人类的贡献超过了所有英国的国王；我们无可置疑的1843年哈密尔顿的四元数的伟大数学的诞生，对人类所带来的真正利益，是和维多利亚女皇时代的任何大事件一样重要的。”意义n数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈密尔顿的“四元数”的发明，使得数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的“交换率”去构造一个有意义、有作用的“数”，那么，就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质去构造人为的“数”通向抽象代数的大门被打开了！今日论坛n1 从阿贝尔在巴黎受到的冷遇，谈谈天才成长与社会环境的关系。n2 伽罗瓦为自己孤傲自负付出了生命的代价，我们从中获得什么启示？n3“四元数”的不可交换性对代数学有什么重要意义？